Cac de thi cua cuoc thi Mathley

Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác A1 B1 C1 và A2 B2 C2 tiếp xúc với nhau tại một điểm nằm trên O.. Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại Thương, Hà Nội Copyright c 201[r]

Trang 1

trung điểm của các cạnh của hình lục giác ABCDEF Chứng minh rằng

√3

trong đó p(.) ký hiệu chu vi của đa giác

Nguyễn Tiến Lâm

Đại học Ngoại Thương Hà Nội

của AM và EF X là hình chiếu của N trên BC Y, Z theo thứ tự là hình chiếu của X trên

AB, AC Chứng minh rằng N là trực tâm của tam giác AY Z

Nguyễn Minh Hà

Đại học Sư phạm Hà Nội

AE DI lần lượt cắt AB, AC tại P, Q MQ cắt N P tại T Chứng minh rằng D, O, T thẳnghàng

Trần Quang Hùng

Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Nguyễn Văn Linh

Copyright c 2011 HEXAGON

Trang 2

be the midpoints of the sides of the hexagon ABCDEF Prove the inequality

√3

where p(.) denotes the perimeter of the polygon

Đại học Ngoại Thương Hà Nội

the intersection of AM and EF X is the projection of N on BC Y, Z are respectively theprojections of X onto AB, AC Prove that N is the orthocenter of triangle AY Z

Đại học Sư phạm Hà Nội

E Line through D parallel to OH meet AB, AC at M, N , respectively Let I be the midpoint

of AE, and DI intersect AB, AC at P, Q respectively MQ meets N P at T Prove that D, O, Tare collinear

2

Trang 3

điểm thứ hai F, E Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE cắt đường thẳng CF tại M, N sao cho

cho P nằm giữa B và E Đường thẳng qua N vuông góc AN cắt BE tại R Đường thẳng qua

cắt đường tròn (O) tại hai điểm P và Q Qua P, Q lần lượt kẻ các đường vuông góc với AP, AQ,các đường này cắt đường thẳng BC lần lượt tại hai điểm M, N Chứng minh rằng đường thẳngqua P và vuông góc với OM và đường thẳng qua Q và vuông góc với ON cắt nhau tại mộtđiểm nằm trên đường tròn (O)

theo thứ tự vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy tại mộtđiểm thuộc OI

Đại học Sư phạm Hà Nội, ĐHQGHN

Trang 4

points M, N such that M is between C and F The circumcircle of triangle ACF meets theline BE at two points P, Q such that P is betweeen B and E The line through N perpendicular

to AN meets BE at R; the line through Q perpendicular to AQ meets CF at S Let U bethe intersection of SP and N R, V be the intersection of RM and QS Prove that three lines

triangle meets the circle (O) at two points P , Q Two lines through P, Q that are perpendicular

to AP , AQ respectively meet BC at M, N respectively Prove that the line through P dicular to OM and the line through Q perpendicular to ON meet each other at a point on thecircle (O)

perpen-Nguyễn Văn Linh

concurrent at I The points M, N, P are respectively on EF, F D, and DE such that IM, IN ,

concurrent at a point on OI

Đại học Sư phạm Hà Nội, ĐHQGHN

2

Trang 5

Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, Nhà Xuất Bản Giáo Dục

M B = M F

sao cho P E, QF vuông góc với δ Chứng minh rằng đường thẳng qua M vuông góc với P Qluôn đi qua một điểm cố định

Trường chuyên ĐHSPHN, Đại học Sư phạm Hà Nội

Trường chuyên KHTN, Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội

Sinh viên Đại học Ngoại Thương Hà Nội

Trang 6

the circumcircles triangles BP Q and CP Q at I, J Prove that OI = OJ.

Hồ Quang Vinh

to P Q has a fixed point

are collinear

2

Trang 7

Bùi Quang Tuấn

Minh Khai, Hà Nội, Việt Nam

(K) cắt đoạn thẳng BC tại M, N sao cho N nằm giữa B và M F M giao EN tại I Đườngtròn ngoại tiếp các tam giác IF N và IEM cắt nhau tại J khác I Chứng minh rằng IJ đi qua

Trường chuyên KHTN, Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội

tròn nội tiếp của tam giác (I) tiếp xúc với AC, AB tại E và F Các điểm M và N thuộc (I)sao cho EM k F N k BC Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của BM, CN với (I) Chứng minhrằng

i) BC, EP, F Q đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là K

ii) đường tròn ngoại tiếp các tam giác BP K, CQK cùng tiếp xúc với (I) và cùng đi qua mộtđiểm thuộc (O)

minh rằng bốn đường thẳng Euler của các tam giác ABC, AMN, BSR, CP Q đồng quy

Sinh viên Đại học Ngoại Thương Hà Nội

Trang 8

Bùi Quang Tuấn

respec-tively (K) cuts BC at M, N such that N lies between B and M F M intersects EN at I Thecircumcircles of triangles IF N and IEM meet each other at J distinct from I Prove that IJpasses through A and KJ is perpendicular to IJ

incircle of the triangle (I) touches AC and AB at E, F respectively Points M and N are onthe circle (I) such that EM k F N k BC Let P, Q be the intersections of BM, CN and (I).Prove that

i) BC, EP, F Q are concurrent, and denote by K the point of concurrency

ii) the circumcircles of triangle BP K, CQK are all tangent to (I) and all pass through acommon point on the circle (O)

lines P S, MQ, N R parallel to BC, CA, AB (R, Q are on the line BC; N, P on the line AC;

are concurrent

2

Trang 9

luôn đi qua O, M cắt a, b theo thứ tự tại A, B khác O Chứng minh rằng trung điểm của ABluôn thuộc một đường thẳng cố định.

Hạ Vũ Anh

Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc

nhật đó Biết rằng các đường thẳng AU, CV cắt nhau tại P ; các đường thẳng BU, DV cắt nhautại Q, phân biệt với P Chứng minh rằng

Sainte Catherine, Rouen, France

với đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp I và trung điểm BC Định nghĩa tương tự với

đường thẳng Euler của tam giác MN P

Lê Phúc Lữ

Sinh viên Đại học FPT, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam

Sinh viên Đại học Ngoại Thương, Hà Nội

Trang 10

circle (C) passes through O, M intersecting a, b at A, B respectively, distinct from O Provethat the midpoint of AB is on a fixed line.

Hạ Vũ Anh

line through A parallel to the line that joins the incenter I of the triangle ABC and the midpoint

are concurrent and their point of concurrency lies on the Euler line of the triangle MN P

Lê Phúc Lữ

2

Trang 11

kỳ τ của đường tròn ngoại tiếp Nói cách khác nếu ký hiệu δ(P ) là khoảng cách từ điểm P tớitiếp tuyến τ của đường tròn ngoại tiếp thì ta có thể chọn các dấu cộng trừ hợp lý để

Luis González

Universidad del Zulia (LUZ), Maracaibo, Venezuela

đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC

Đỗ Thanh Sơn

Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

phía với dây cung AB sao cho chúng cùng tiếp xúc trong với (O) và lần lượt tiếp xúc với ABtại C, D;C nằm giữa A và D) Gọi H là giao điểm của XY và AB M là điểm chính giữa cung

tại K, J Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IKJ tiếp xúc với (O)

định

Trang 12

other words, if δ(P ) denotes the distance from a point P to τ ; then with appropripriate choices

of signs, we have

Luis González

circumcircle (O) of the triangle ABC

of the chord AB such that they are both internally tangent to (O) and they are tangent to AB

at C, D respectively, C is between A and D Let H be the intersection of XY and AB, Mthe midpoint of arc AB not containing X and Y Let HM meet (O) again at I Let IX, IYintersect AB again at K, J Prove that the circumcircle of triangle IKJ is tangent to (O)

2

Trang 13

Chứng minh rằng EK = EL.

tròn nội tiếp của tam giác có tâm I, tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Một đường

Michel Bataille

kì qua E lần lượt cắt AD, BC tại M, N, P, Q (M, N ∈ AD, P, Q ∈ BC) Hai đường thẳng

tuyến thứ hai kẻ từ F tới đường tròn nội tiếp các tam giác EMN, EP Q Chứng minh rằng

song song với AD

Trang 14

(F AB), (F CD) meet F I at K, L Prove that EK = EL.

incircle has centre I and touches BC, CA, AB at D, E, F , respectively A circle with centre I

Michel Bataille

arbitrary lines through E meet AD, BC at M, N, P, Q respectively (M, N ∈ AD, P, Q ∈

intersections make a tangential quadrilateral

touches DB, DC and is internally tangent to (K) Prove that one of the two external common

2

Trang 15

Kostas Vittas

National Technical University of Athens, Greece

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC K, L lần lượt đối xứng M qua IB, IC BK giao

giác Đường thẳng qua A và song song với OH lại cắt (O) tại K Đường thẳng qua K và songsong với AH lại cắt (O) tại L Đường thẳng qua L song song với OA cắt OH tại E Chứngminh rằng các điểm B, C, O, E cùng thuộc một đường tròn

trên (O)

Trang 16

Kostas Vittas

through A is parallel to OH meets (O) at K A line through K is parallel to AH, intersecting(O) again at L A line through L parallel to OA meets OH at E Prove that B, C, O, E are onthe same circle

touch each other at a point on (O)

2

Trang 17

vn theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB tại A 0 , B 0 , C 0 BC, CA, AB theo thứ tự cắt B 0 C 0 , C 0 A 0 , A 0 B 0

tại A 1 , B 1 , C 1 Chứng minh rằng OI đi qua trực tâm của các tam giác A 0 B 0 C 0 , A 0 B 1 C 1 , B 0 C 1 A 1 ,

C 0 A 1 B 1

2. Cho tam giác ABC, gọi ABDE, BCF Z và CAKL là ba hình chữ nhật tùy ý dựng ra phía ngoài của tam giác đó Gọi M là giao điểm của EF với ZK Gọi N là giao điểm của các đường thẳng đi qua F, Z vuông góc với F L, ZD tương ứng Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng.

Kostas Vittas

National Technical University of Athens, Greece

3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Kí hiệu (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ), (O 4 ) lần lượt là các đường tròn bất kì đi qua các cặp điểm (A, B); (B, C); (C, D); (D, A) Gọi X, Y, Z, T lần lượt là giao điểm thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ), (O 2 ) và (O 3 ), (O 3 ) và (O 4 ), (O 4 ) và (O 1 ).

(a) Chứng minh X, Y, Z, T cùng thuộc một đường tròn có tâm I.

(b) Chứng minh trung điểm các đoạn thẳng O 1 O 3 , O 2 O 4 , OI thẳng hàng.

4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M thuộc trung trực BC I 1 , I 2 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác M AB, M AC Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AI 1 I 2 luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di chuyển.

Trang 18

1. Let ABC be a triangle with (O), (I) being the circumcircle, and incircle respectively Let (I) touch

BC, CA, and AB at A 0 , B 0 , C 0 ; let BC, CA, and AB intersect B 0 C 0 , C 0 A 0 , A 0 B 0 at A 1 , B 1 , and C 1

respectively Prove that OI passes through the orthocenter of four triangles A 0 B 0 C 0 , A 0 B 1 C 1 , B 0 C 1 A 1 ,

C 0 A 1 B 1

2. Let ABDE, BCF Z and CAKL be three arbitrary rectangles constructed outside a triangle ABC Let

EF meet ZK at M , and N be the intersection of the lines through F, Z perpendicular to F L, ZD Prove that A, M, N are collinear.

Kostas Vittas

3. Let ABCD be a quadrilateral inscribed in a circle (O) Let (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ), (O 4 ) be the circles going through (A, B); (B, C); (C, D); (D, A) Let X, Y, Z, T be the second intersection of the pairs of the circles: (O 1 ) and (O 2 ), (O 2 ) and (O 3 ), (O 3 ) and (O 4 ), (O 4 ) and (O 1 ).

(a) Prove that X, Y, Z, T are on the same circle of radius I.

(b) Prove that the midpoints of the line segments O 1 O 3 , O 2 O 4 , OI are collinear.

4. Let ABC be a triangle inscribed in a circle (O), and M be some point on the perpendicular bisector of

BC Let I 1 , I 2 be the incenters of triangles M AB, M AC Prove that the incenters of triangles AI 1 I 2

are on a fixed line when M varies on the perpendicular bisector

2

Trang 19

vn Đường tròn (O b ) tiếp xúc với BA, BC và tiếp xúc trong với (O) tại B 1 Đường tròn (O c ) tiếp xúc với

CA, CB và tiếp xúc trong với (O) tại C 1 Gọi S là giao điểm của BC với B1C 1 Chứng minh rằng

∠AIS = 90 ◦

2. Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC nhọn không cân có (O), (I) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp

và đường tròn nội tiếp tam giác Gọi A 1 là giao điểm của trục đẳng phương của (O) và (I) với đường thẳng BC Giả sử A 2 là tiếp điểm không nằm trên BC của tiếp tuyến kẻ từ A 1 đến (I) Các điểm

B 1 , B 2 , C 1 , C 2 được xác định tương tự Chứng minh rằng (a) các đường thẳng AA 2 , BB 2 , CC 2 đồng quy.

(b) tâm đẳng phương của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCA 2 , CAB 2 và ABC 2 nằm trên đường thẳng OI.

Lê Phúc Lữ

Sinh viên Đại học FPT, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam

3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) d là tiếp tuyến tại A của (O) P là điểm bất kỳ D, E, F là hình chiếu của P lên BC, CA, AB DE, DF lần lượt cắt d tại M, N Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF lần lượt cắt CA, AB tại K, L khác E, F Chứng minh rằng KN cắt LM tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

4. Cho n-giác nội và ngoại tiếp A 1 A 2 A 3 A n Kí hiệu I i là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

Ai−1A i A i +1 ; A i (i+1) là giao điểm của A i A i +2 và Ai−1A i +1 ; I i (i+1) là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác A i A i (i+1) A i +1 (i = 1, n) Chứng minh rằng 2n điểm I 1 , I 2 , , I n , I 12 , I 23 , , I n 1 cùng thuộc một đường tròn.

Trang 20

(a) the lines AA 2 , BB 2 , CC 2 are concurrent.

(b) the radical centers circles through triangles BCA 2 , CAB 2 and ABC 2 are all on the line OI.

Lê Phúc Lữ

3. Let ABC be a triangle inscribed in a circle (O) d is the tangent at A of (O); P is an arbitrary point in the plane D, E, F are the projections of P on BC, CA, AB Let DE, DF intersect the line d at M, N respectively The circumcircle of triangle DEF meets CA, AB at K, L distinct from E, F Prove that

KN meets LM at a point on the circumcircle of triangle DEF

4. Let A 1 A 2 A 3 A n be a bicentric polygon with n sides Denote by I i the incenter of triangle Ai−1A i A i +1 ;

A i (i+1) the intersection of A i A i +2 and Ai−1A i +1 ; I i (i+1) is the incenter of triangle A i A i (i+1) A i +1 (i =

1, n) Prove that there exist 2n points I 1 , I 2 , , I n , I 12 , I 23 , , I n 1 on the same circle.

2

Trang 21

Nguyễn Văn Quý

Sinh viên lớp K56 A1T, Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN

2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) cắt nhau tại T Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc tia BT, CT sao cho BM = BC = CN Đường thẳng M N cắt

CA, AB theo thứ tự tại E, F ; BE giao CT tại P , CF giao BT tại Q Chứng minh rằng AP = AQ.

3. Cho tam giác ABC cân với AB = AC và gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác Nếu BM cắt AC tại D, chứng minh rằng

DM

DA = AM

AB nếu và chỉ nếu ∠AMB = 2∠ABC.

Michel Bataille

4. Cho tam giác ABC, với P là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng tam giác đó Các đường thẳng AP, BP ,

CP cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1 Gọi A2, B2, C2lần lượt là các điểm Miquel của

tứ giác toàn phần AB1P C1BC, BC1P A1CA, CA1P B1AB Chứng minh rằng sáu đường tròn ngoại tiếp các tam giác AP A2, BP B2, CP C2, BA2C, AB2C, AC2B đồng quy tại một điểm.

Sinh viên Đại học Ngoại thương, Hà Nội

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	920,85 KB