Tính được AC R 3, BC R Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Pơtoleme ta có: AD.BC+AB.CD=AC.BD.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH ĐẾ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3 điểm)
Cho
2 3 2 2( 3 1)
Tính giá trị của biểu thức:
2
A
2x 3x
Bài 2 (3 điểm)
Giải phương trình:
2x 2x 1 2x 3 ( x x 2 1)
Bài 3 (3 điểm)
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 2y 2x 21 2x 2y 21 1 x y 3 3
Bài 4 (3 điểm)
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx+ c Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0
Chứng minh rằng:
5a 3b 2c
1
a b c
Bài 5 (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N Chứng minh: PM = PN = PA
Bài 6 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C, có BAC 30 0 Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC Chứng minh rằng: 3BD2 5AD25CD2 DC 2DA.
Bài 7 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
a (1 2b) b (1 2c) c (1 2a)
Hết
Trang 2-Họ và tên thí sinh: Số báo danh :
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Gồm 04 trang)
Câu 1
Cho
2 3 2 2( 3 1)
x
.Tính giá trị của biểu thức:
2
A
x x
3.0
2
3 1 2
x
2
A
2
x
2
3 1
Vậy A 3 3.
0.5
Câu 2 Giải phương trình: 2x2 2x 1 2x 3 ( x 2 x 2 1) (1) 3.0
Đặt
t x x 2 x t x 2 Thay vào pt(1) ta có pt: x2 2x 1 t 2 x 2 2x 3 (t 1)
0.5
2
t 2x 3 t (x 1)(x 2) 0
t x 1
t x 2
0.5
Với t x 1 ta có pt: x2 x 2 x 1
2 2
0.5
x 1
x 1
0.5
Trang 32 2
2 2
x
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm
2
x 1, x
3
0.5
Câu 3 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 2y 2x 21 2x 2y 21 1 x y (1) 3 3 3.0
Đặt
a x y
b xy
vì x, y nguyên nên a, b nguyên
Khi đó ta có pt : 4ab 2a 1 b 3 với a, b nguyên
0.5
3
2a 2b 1
2b 1
Vì a, b nguyên, nên 2b – 1 phải là ước của 7
2
0.5
Với a = 0, b = 1 ta có hệ
x y 0
xy 1
Với a = 2, b = -3 ta có hệ
2
y x 2
x y 2
(VN)
KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là : x = y = 1, x = y = -1
0.25
Câu 4
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx+ c Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0
Chứng minh rằng:
1 (1)
a b c
a b c
3.0
Từ giả thiết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0 suy ra được
2 4
b c
Vậy
a b c
a b c a b c a c b
2
4 4 b
Trang 4Áp d ng B T Côsi ta có ụ Đ
2 b
4a
a c b
V y (1) úng.ậ đ
0.5
Câu 5
Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến
đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và
song song với BC, lấy điểm P Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N
Chứng minh: PM = PN = PA
3.0
K
d
N
I
M
C
B P
Có PA2 = AI2 + PI2
= PO2 – (OI – AI)(OI + AI)
= PO2 – OC2 ( hệ thức trong tam giác vuông OAC) 0.5 = PO2 – ON2
= PN2 ( vì tam giác PNO vuông tại N)
Câu 6 Cho tam giác ABC vuông tại C, có
0 30
BAC Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy
điểm D thuộc cung nhỏ AC Chứng minh rằng: 3BD2 5AD2 5CD2 DC 2DA. 3.0
R 30°
C
D
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Pơtoleme ta có:
AD.R CD.2R BD.R 3
AD 2CD BD 3
0.5
Vậy ta có:
0.5
Trang 5
3BD 5AD 5CD
AD 4CD 4AD.CD 5AD 5CD
2
(2AD CD) 0
CD 2AD
0.5
Câu 7
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2(1 2 ) 2(1 2 ) 2(1 2 )
P
2.0
Do a, b, c (0;1) nên a(1-a), b(1-b), c(1-c),
1 ,1 ,1 0
Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương ta có :
2
2
2
(1 )
(1 ) 2 (1 ) (1 )
(1 ) 2 (1 ) (1 )
(1 ) 2 (1 )
b
c
a
0.25
Cộng vế với vế của 3 bđt trên ta có: P a b c 2(a b c ) 2( ab bc ca ) 0.25 P(a b c ) 2 vì ab bc ac 1 0.25
D u b ng x y ra khi ấ ằ ả
1 3
a b c
Vậy P Min 3 2
0.25
Hướng dẫn chung:
+ Trên đây là các bước giải bắt buộc và biểu điểm tương ứng, thí sinh phải có lời giải chặt chẽ, chính xác mới công nhận cho điểm
+ Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa
+ Chấm từng phần Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn, tính đến 0.25 điểm ST: Phạm Văn Vượng