Số phức và ứng dụng trong hình học phẳng

LỜI MỞ ĐẦU ---    --- Do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số,từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy nền toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 4

Chương 1 5

SỐ PHỨC, BIẾN PHỨC LỊCH SỬ VÀ CÁC DẠNG BIỂU DIỄN 5

1.1 LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC 5

1.2 CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 9

1.2.1 Biễu diễn số phức dưới dạng cặp 9

1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số 12

1.2.3 Biểu diễn hình học của số phức 15

1.2.4 Dạng lượng giác của số phức 16

1.2.5 Dạng mũ của số phức 19

1.2.6 Biểu diễn số phức nhờ ma trận 19

1.2.7 Biểu diễn các số phức trên mặt cầu Riemann 20

Chương 2 23

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 23

2.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM HÌNH HỌC CƠ BẢN 23

2.1.1 Khoảng cách 23

2.1.2 Tỉ lệ 24

2.1.3 Góc định hướng 24

2.1.4 Tích vô hướng của hai số phức: 26

2.1.5 Tích có hướng của 2 số phức 27

2.2 MÔ TẢ CÁC PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC 30

2.2.1 Phép dời hình 30

2.2.2 Phép vị tự: 31

2.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 31

2.3.1 Phương trình tổng quát 31

2.3.2 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng: 33

2.3.3 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm : 33

2.4 TAM GIÁC 34

2.4.1 Quan hệ đồng dạng giữa 2 tam giác: 34

2.4.2 Công thức tính diện tích 34

2.5 ĐƯỜNG TRÒN 37

2.5.1 Phương trình tổng quát: 37

2.5.2 Phương trình đường tròn qua ba điểm 38

2.5.3 Đường tròn đơn vị 39

2.5.4 Đường tròn Euler 43

2.6 BÀI TẬP ÁP DỤNG 45

2.6.1 Ứng dụng số phức vào giải toán hình học chứng minh và tính toán 45

2.6.2 Ứng dựng số phức trong giải toán dựng hình: 61

2.6.3 Ứng dụng số phức giải toán quỹ tích 65

KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

LỜI MỞ ĐẦU -    -

Do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số,từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy nền toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học kỷ thuật.Ở nước ta sau nhiều lần cải cách ,cuối cùng số phức

đã được đưa vào chương trình Giải tích 12,tuy nhiên còn rất đơn giản,học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của

số phức còn rất hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán hình học là một vấn đề khó, nhưng nó lại có rất nhiều thuận lợi, nhất là việc xem xét các vấn đề liên quan đến các phép biến hình của mặt phẳng cùng với hình học của chúng

Với những lí do trên tôi dã chọn đề tại nghiên cứu là : “Số phức và ứng dụng

trong hình học phẳng “

“Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” (1572) của R Bombelli (1530 – 1572) Nhà toán học Đức Felix

Klein (1849 – 1925) đã đánh giá công trình của G Cardano như sau: “Tác phẩm

quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học thời cổ đại”

Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu

√−1 là lời giải hình thức của phương trình 𝑥2+ 1 = 0

Xét biểu thức 𝑏√−1 là nghiệm hình thức của phương trình 𝑥2+ 𝑏2 = 0 Khi

đó biểu thức tổng quát hơn có dạng 𝑎 + 𝑏√−1 , 𝑏 ≠ 0 có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình (𝑥 − 𝑎)2+ 𝑏2 = 0

Về sau biểu thức dạng 𝑎 + 𝑏√−1 , 𝑏 ≠ 0 xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau

đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là 𝑎 + 𝑏𝑖, trong đó kí hiệu

𝑖 ≔ √−1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”

Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn ra rất chậm chạp Ngay tên gọi và kí hiệu 𝑖 ≔ √−1 là đơn vị ảo cũng đã gây nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì

chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem nó là một kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa i2   1

Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các

số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu Chẳng hạn như nghịch lí sau đây:

vì 𝑖 ≔ √−1 nên 𝑖 ≔ √−1, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy tắc thông thường của phép toán khai căn bậc hai lại thu được

Như vậy   1 1

Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức i2   1 là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số phức Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh, nó chỉ là quy ước

Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó.Trong cuốn sách

“phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S Pointriagin đã mô tả lại chứng minh

đó như sau:

Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính AB Từ điểm R tùy ý của

nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của các

đoạn AS và SB Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng bình phương đoạn RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS Bây giờ, trở về với mặt phẳng phức, kí hiệu điểm -1 là A, điểm +1 là B và điểm i là R Khi đó S sẽ là điểm 0 Tác giả của

phép chứng minh đã lập luận như sau:

Đoạn thẳng RS là i, đoạn thẳng AS là -1 và SB là +1 Như vậy theo định lí vừa

{𝑥 + 𝑦 = 10

𝑥𝑦 = 40Cardano đã tìm được nghiệm 5   5 và ông đã gọi nghiệm này là “ âm thuần túy” và thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”

Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “ một thời ngây thơ đáng trân trọng của số học”

Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I Newton đã không thừa nhận cá đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đó giữa cái có thật và cái không có thật”

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính

là nhà toán học Italy R Bombelli Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”

Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K Gauss (năm 1831) Vào thế kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng.Chẳng hạn L Euler (1777 – 1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn

A Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Anh nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736)

Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy

là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong công trình công bố năm 1799 Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng được gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R Argand – người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập

Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có thứ

tự (a,b),𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton (1837) Ở đây đơn vị “ảo” ichỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực

Cho đến thế kỉ thứ XIX,Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức ℂ mọi phương trình đa thức đều có nghiệm

Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) ℂ của trường số thực ℝ thu được bằng phép ghép đại số cho ℝ nghiệm i

của phương trình 2

1 0

x   Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường ℂ trở thành trường đóng đại số.Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới Đương nhiên trường số thực ℝ (và do đó cả trường hữu tỉ ℚ) không có tính chất đóng đại số Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không có nghiệm thực

Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái niệm về số có thể tóm tắt bởi ℕ → ℤ → ℚ → ℝ → ℂ với các bao hàm thức:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng mở rộng tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan K.Weierstrass

đã chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức

Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ mỗi lần khi đưa vào những số mới các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào các quy tgawcs thực hiện các phép toán trên chúng.Đồng thời với điều đó các nhà Toán học luôn luôn cố gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản (luật giao hoán của phép cộng và

phép nhân, luật kết hợp và luật phân bố, luật sắp xếp tuyến tính của tập hợp số).Tuy nhiên sự bảo toàn đó không phải khi nào cũng thực hiện được, ví dụ như khi xây dựng trường số phức người ta không bảo toàn được luật sắp xếp tuyến tính vốn có trong trường số thực

Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức

L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết: “Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả

các loại số còn lại đều là công trình sáng tạo của con người”

Có thể nói rằng với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nền móng vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang sở hữu

1.2 CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

1.2.1 Biễu diễn số phức dưới dạng cặp

Dưới dạng cặp ,mỗi số phức z được biểu diễn bởi một cặp số thực có thứ tự (x;y),với x,y ∈ ℝ

𝑥2+𝑦2 ; −𝑦

𝑥2+𝑦2) Vậy ta đã chứng minh được rằng tập hợp các số phức ℂ lập thành một trường Trong tập số phức mọi số thực a được đồng nhất với cặp (a;0) nghĩa là :

(a;0):=a hay (a;0)  a

Hai số phức z1=(x1;y1) ; z2=(x2;y2) được gọi là bằng nhau nếu {𝑥𝑦1 = 𝑥2

1 = 𝑦2Hai số phức z=(x;y) và z=(x;-y) được gọi là liên hợp với nhau

Dưới dạng cặp các phép toán trên ℂ được thực hiện theo nguyên tắc sau:

1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số

Mỗi số phức (x;y)  ℂ đều biểu diễn được dưới dạng:

(x;y)= (x;0) + (0;y) = (x;0)+ (0;y)(0;1) = x +y.i

Trong đó cặp (0;1) được kí hiệu bởi chữ i

Rõ ràng:

i2=i.i = (0;1)(0;1) = (0.0-1.1;0.1+0.1)=(-1;0) =-1

Như vậy dạng đại số của số phức là z= x+y.i với i2=-1

Định nghĩa:

Số phức là số có dạng z= x+yi trong đó x;y  ℝ và i gọi là đơn vị ảo (i2+1=0)

x: gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu: Rez

y: gọi là phần ảo của số phức z , kí hiệu:Imz

Đặc biệt:

Nếu y=0, khi đó z = x+0.i gọi là số thực

x=0, khi đó z = 0+yi gọi là số thuần ảo

kí hiệu ℂ :{ z = x+yi / x,y  ℝ } là tập hợp tất cả các số phức

Số phức có dạng 𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖 gọi là số phức liên hợp của số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

1.2.3 Biễu diễn hình học của số phức

Vì mỗi số phức được định nghĩa như một cặp số thực có thứ tự nên trong không gian Eclide với hệ tọa dộ Descartes vuông góc ℝ2 ,mỗi số phức z =(x;y) được biểu diễn tương ứng với 1 điểm M(x;y) có hoành độ là x và tung độ là y Quan hệ tập hợp giữa các số phức và tập hợp các điểm trong mặt phẳng là tương ứng một – một.Số phức z gọi là nhãn hay là tọa vị của điểm M

Như vậy số phức z= x + yi có thể biểu diễn bằng 1 vectơ đi từ gốc tọa độ với các hình chiếu x và y lên các trục tọa độ

Với cách biểu diễn số phức dưới dạng vectơ đi từ gốc tọa độ các phép cộng trừ

số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ vectơ

Ví dụ:trên mặt phẳng phức cho 𝑀1(1; 3), 𝑀2(3; −1) là hai điểm biểu diễn của

1.2.4 Dạng lượng giác của số phức

Quay lại cách sử dụng tọa độ cực trên mặt phằng phức ℂ

Độ dài bán kính vectơ OM:

|𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝑟 = |𝑧| = √𝑧 𝑧̅ = √𝑥2 + 𝑦2

Góc cực =Argz gọi là argumen của z

Nếu z0 ; x=r cos ,

y=r sin

 z= x+yi = r(cos +i.sin)

( đây gọi là dạng lượng giác của số phức z)

Công thức tính Argumen của z với - <  :

𝑀1(1; 3)

M(4;2)

𝑀2(3; −1)

O

 - /2 < -0 <  /2 - = arctg y

x = +arctg y

x x<0 ,y<0 , - <  -/2

z1z2=r1r2(cos1+ isin1)(cos2+ isin2)

=r1r2 [cos1cos2-sin1sin2+i.(cos1sin2+sin1cos2) ]

y

x

Ta xét tập hợp tất cả ma trận cấp 2 có dạng đặc biệt của trường số thực

1 𝑥1) (−𝑦𝑥2 𝑦2

2 𝑥2) = (−(𝑥𝑥1𝑥2− 𝑦1𝑦2 𝑥1𝑦2+ 𝑥2𝑦1

1𝑦2+ 𝑥2𝑦1) 𝑥1𝑥2− 𝑦1𝑦2) Trong phép biểu diễn mày mọi số thực a được đồng nhất bởi ma trân: (𝑎 0

1.2.7 Biểu diễn các số phức trên mặt cầu Riemann

Trong không gian Eclide 3 chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc ( ; ;) ta xét mặt cầu tâm tại (0;0; 1/2) với bán kính bằng 1/2 :

2

=14

Lấy mặt phẳng =0 làm mặt phẳng phức sao cho trục thực ox trùng với trục o , trục ảo oy trùng với trục o Gọi P(0;0;1) là điểm cực bắc của mặt cầu S Từ mỗi điểm z(x;y) tùy ý của mặt phẳng phức ,ta kẻ Pz cắt mặt cầu S tại A(; ;).Ngược lại , từ mỗi điểm A(z)  S\{P} ta kẻ tia PA.Tia này sẽ cắt mặt phẳng phức tại z(x;y).Phép tương ứng này gọi là phép chiếu nổi

z= x+i.y = +i.

1-  |z|2= 2+2

(1-)2

Vì A(z)  S nên tọa độ của nó thõa mãn phương trình: 2+2 + 

2

=14

khi điểm A(z) dần về P thì z = +i.

1- sẽ chuyển qua giới hạn khi  dần về 1.Ta có

nhãn ( tọa vị) của điểm M Kí hiệu M(z), hoặc kí hiệu đơn giản hơn là M, đồng thời

cũng đồng nhất số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 với véctơ OM uuur trong đó điểm đầu O là gốc tọa

độ, điểm cuối M là điểm biểu diễn số phức z, vì vậy nếu nói M tọa vị z thì cũng nói véctơ OM uuur có tọa vị là z Nhờ vậy, nếu A(z), B(z’) thì vectơ uur AB OB OA  uur  uur có tọa

vị là (z’ -z) hay |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐴 − 𝐵|.Chuyển các biểu thức hình học về thực hiện trên các phép toán đai số, vì vậy việc chứng minh một số bài toán hình học trở nên dễ dàng

2.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM HÌNH HỌC CƠ BẢN

2.1.1 Khoảng cách

Trên mặt phẳng phức cho trước hai điểm 𝑀1(𝑧1)𝑣à 𝑀2(𝑧2), khoảng cách giữa

𝑀1𝑣à 𝑀2 chính là môđun của số phức z1-z2 Kí hiệu là:

Trong mặt phẳng phức cho trước đoạn thẳng AB.Khi đó điểm M chia đoạn thẳng

AB theo tỷ số 𝑘 ∈ ℝ\{1} khi và chỉ khi:

Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A(a), B(b),C(c).Với k=-1 ta tìm được tọa trung

2 .Trọng tâm G của tam giác ABC sẽ chia đoạn thẳng CM thành 2 đoạn CG và GM theo tỉ lệ 2:1 nên với k=-2 ta có tọa vị của trọng tâm G là 𝑔 =𝑐+2𝑚

1+2 =𝑎+𝑏+𝑐

3

2.1.3 Góc định hướng

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm 𝑀1(𝑧1), 𝑀2(𝑧2) 𝑣à 𝛼𝑘 = 𝑎𝑟𝑔𝑧𝑘, 𝑘 = 1,2 khi

đó góc định hướng 𝛼 tạo bởi 2 tia đi qua gốc tọa độ O là:

𝛼 = 𝑥𝑂𝑀̂ − 𝑥𝑂𝑀2 ̂ = 𝛼1 2− 𝛼1 = 𝑎𝑟𝑔𝑧2− 𝑎𝑟𝑔𝑧1 = 𝑎𝑟𝑔𝑧2

𝑧1

Trong trường hợp hai tia xuất phát từ điểm 𝑀′𝑜(𝑧𝑜′) bất kì không trùng gốc O ta cũng làm tương tự

𝛼 = arg(𝑧2′− 𝑧𝑜′) − arg(𝑧1′− 𝑧0′) = 𝑎𝑟𝑔𝑧2

′− 𝑧𝑜′

𝑧1′− 𝑧0′

Một cách tổng quát biểu diễn độ đo góc theo hướng dương của 2 vectơ bất kỳ 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1𝑀2

và 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với nhãn tại các điểm tương ứng là 𝑧3𝑀4 1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4 ,ta cần phải quay vectơ đơn vị của 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đi một góc 𝜃 theo chiều dương ,nghĩa là 1𝑀2

2 +1

2𝑖) 𝑧2Các nhận xét trên có ích khi giải các bài toán hình học bằng phương pháp số phức 2) Kí hiệu 𝑉(𝑧2, 𝑧1, 𝑧𝑜) = 𝑧2 −𝑧𝑜

𝑧 1 −𝑧 𝑜 là tỷ số đơn của các số phức 𝑧2, 𝑧1, 𝑧𝑜 (viết theo thứ tự đã chỉ ra).Do đó argument của 𝑉(𝑧2, 𝑧1, 𝑧𝑜) chính là góc định hướng giữa các vectơ 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑀𝑜𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Điều kiện cần và đủ để 3 điểm 𝑧𝑜𝑀2 𝑜, 𝑧1, 𝑧2thẳng hàng là góc định hướng giữa hai vectơ 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑀𝑜𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ bằng 0 hoặc 𝑜𝑀2

±𝜋, nghĩa là tỷ số đơn 𝑉(𝑧2, 𝑧1, 𝑧𝑜) là một số thực

2.1.4 Tích vô hướng của hai số phức:

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm 𝑀1(𝑧1), 𝑀2(𝑧2) khi đó:

𝑂𝑀1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀2 1 𝑂𝑀2 𝑐𝑜𝑠𝑀̂ 1𝑂𝑀2Nếu 𝑧𝑘 có modul bằng 𝑟𝑘 và có argument bằng 𝛼𝑘 thì

𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟2 1 𝑟2 cos(𝛼2− 𝛼1) = 𝑟1𝑟2(𝑐𝑜𝑠𝛼1𝑐𝑜𝑠𝛼2+ 𝑠𝑖𝑛𝛼1𝑠𝑖𝑛𝛼2)

Do đó 𝑧1 𝑧2 =1

2(𝑧1 𝑧̅ + 𝑧2 ̅ 𝑧1 2) Vậy tích vô hướng của 2 số phức 𝑧1, 𝑧2 là:

Ta dễ dàng thấy được 𝑧̅̅̅̅̅̅̅ =1 𝑧2 1

2(𝑧̅ 𝑧1 2+ 𝑧1𝑧̅ ) = 𝑧2 1 𝑧2 do đó 𝑧1 𝑧2 ∈ ℝ ,nghĩa là tích vô hướng của 2 số phức là một số thực và tích vô hướng của 2 số phức cũng có những tính chất như tích vô hướng cuả 2 vectơ

Nếu A(a),B(b),C(c) và D(d) là bốn điểm phân biệt của mặt phẳng phức thì các mệnh

đề sau là tương đương:

𝐶𝐷 khi và chỉ khi 𝑂𝑀 ⊥ 𝑂𝑁.nghĩa là 𝑚 𝑛 = (𝑏 − 𝑎)(𝑑 − 𝑐) = 0.Sử dụng tính chất 5) ở trên ta thấy ngay được 𝑖𝑖) ⇔ 𝑖𝑖𝑖),nghĩa là 𝑀𝑂𝑁̂ = 900 nên 𝑅𝑒 (𝑏−𝑎

𝑑−𝑐) = 0

2.1.5 Tích có hướng của 2 số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm 𝑀1(𝑧1), 𝑀2(𝑧2) khi đó

𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑂𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑂𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑂𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑠𝑖𝑛𝑀2 ̂ 1𝑂𝑀2Nếu 𝑧𝑘 có modul bằng 𝑟𝑘 và có argument bằng 𝛼𝑘 thì

𝑂𝑀1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟2 1 𝑟2 sin(𝛼2− 𝛼2) = 𝑟1𝑟2(𝑠𝑖𝑛𝛼2𝑐𝑜𝑠𝛼1− 𝑐𝑜𝑠𝛼2𝑠𝑖𝑛𝛼1)

Do đó 𝑧1× 𝑧2 = 𝑖

2(𝑧1 𝑧̅ − 𝑧2 ̅ 𝑧1 2)

Vậy tích có hướng của 2 số phức 𝑧1, 𝑧2là :

Từ đó 𝑧̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =1× 𝑧2 𝑖

2(𝑧̅ 𝑧1 2− 𝑧1 𝑧̅ ) = −𝑧2 1× 𝑧2 nên suy ra 𝑅𝑒(𝑧1× 𝑧2)=0 Tích có hướng của 2 số phức cũng có những tính chất như tích có hướng cuả 2 vectơ

2𝑖(𝑎 𝑏̅ − 𝑎̅𝑏)

=1

2(𝑎 𝑏̅ − 𝑎̅𝑏) = 𝑎 × 𝑏 3)

Ta dịch ba điểm A,B,C theo 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑂𝐶′ ⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑐,khi đó ảnh của điểm A,B,C là

𝐴′, 𝐵′, 𝑂

Với tọa vị của chúng lần lượt là 𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑐 , 0 Rõ ràng diện tích tam giác ABC sẽ bằng diện tích tam giác 𝐴′𝐵′𝑂.Với tam giác ABC được xác định hướng như hình vẽ thì

Phép tịnh tiến : phép tịnh tiến theo vectơ 𝑣 = (𝑣) là phép biến hình biến điểm

𝑀(𝑧) thành điểm 𝑀′(𝑧′) sao cho 𝑀𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 Do đó,biểu thức của phép tịnh tiến là: ′

𝑧′ = 𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑣

Phép quay Phép quay tâm 𝑀𝑜(𝑧𝑜) góc quay 𝛼 là phép biến hình biến 𝑀(𝑧) thành điểm 𝑀′(𝑧′) mà 𝑀𝑜𝑀 = 𝑀𝑜𝑀′ và (𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑀𝑜𝑀̂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑜𝑀′) = 𝛼 𝑚𝑜𝑑(2𝜋)

Từ đó biểu thức của phép quay là: 𝑧′ − 𝑧𝑜 = 𝑒𝑖𝛼(𝑧 − 𝑧𝑜)

Phép đối xứng –trục Phép đối xứng qua đường thẳng ℓ là phép biến hình biến mỗi

điểm 𝑀(𝑧) thành điểm 𝑀′(𝑧′) sao cho ℓ là trung trực của 𝑀𝑀′ Từ đó

i) Phép đối xứng qua trục thực : 𝑧′ = 𝑓(𝑧) = 𝑧̅

ii) Phép đối xứng qua trục ảo : 𝑧′ = 𝑓(𝑧) = −𝑧̅

iii) Do 2(𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ ; ℓ⃗ )̂ = (𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝑀̂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+ (𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝑀̂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )′ ,(ở đây ℓ⃗ = (𝑧𝑜)) nên phép đối xứng qua đường thẳng ℓ đi qua góc O và điểm 𝑧𝑜 = 𝑒𝑖𝛼2 có biểu thức 𝑧′ =𝑓(𝑧) = 𝑒𝑖𝛼𝑧̅

Từ đó nếu Δ = 𝑇𝑣⃗ (ℓ) với 𝑣 = (𝑧𝑜) thì phép đối xứng qua ∆ có biểu thức 𝑧′ =

đặt 𝛼 =𝐴−𝐵.𝑖

2 ∈ ℂ∗ và 𝛽 = 𝐶 ∈ ℝ thì ta có phương trình đường thẳng là:

𝛼̅ 𝑧̅ + 𝛼 𝑧 + 𝛽 = 0 (Đ𝑃𝐶𝑀) Nếu 𝛼 = 𝛼̅ thì B=0, ta có phương trình của một đường thẳng đứng,

𝛼 ≠ 𝛼̅ thì hệ số góc của đường thẳng được xác định theo công thức

Ta có các vị trí tương đối giữa hai đường thẳng này là:

i Song song với nhau khi và chỉ khi: 𝛼̅̅̅̅ 1

𝛼 1 =𝛼̅̅̅̅ 2

𝛼 2

𝛼 ̅

2.3.2 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng:

Khoảng cách từ một điểm 𝑀𝑜(𝑧𝑜) bất kì đến một đường thẳng 𝑑 có phương trình

𝛼̅ 𝑧̅𝛼 𝑧 + +𝛽 = 0 , 𝛼 ∈ ℂ∗ được tính theo công thức

Từ phương trình trên ta rút 𝑧̅ = −𝛼.𝑧−𝛽

𝛼 ̅ sau đó thay 𝑧̅ vào phương trình dưới ta được

𝛼 𝑧 − 𝛼𝑧𝑜 = −𝛼𝑧 − 𝛽 − 𝛼̅ 𝑧̅ 𝑜 ⇒ 𝑧 =𝛼𝑧𝑜 − 𝛼̅ 𝑧̅ − 𝛽𝑜

2.3.3 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm :

Trong phần trước ta thấy điều kiện cần và đủ để ba điểm khác nhau

𝑀0(𝑧𝑜), 𝑀1(𝑧1), 𝑀2(𝑧2) nằm trên một đường thẳng là góc định hướng giữa 2 vectơ

𝑀2𝑀0

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ bằng 0 hoặc ±𝜋, nói một cách khác tỷ số đơn 𝑉(𝑧2𝑀1 𝑜, 𝑧1, 𝑧2) là một

số thực.Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới dạng như sau:

(𝑧̅ − 𝑧1 ̅ )(𝑧 − 𝑧2 2) − (𝑧1− 𝑧2)(𝑧̅ − 𝑧̅ ) = 0 2

⇔ (𝑧̅ − 𝑧1 ̅ )𝑧 − (𝑧2 1− 𝑧2)𝑧̅ + (𝑧1𝑧̅ − 𝑧2 ̅ 𝑧1 2) = 0 Đây là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm 𝑧1𝑣à 𝑧2

2.4 TAM GIÁC

2.4.1 Quan hệ đồng dạng giữa 2 tam giác:

Cho hai tam giác đồng dạng 𝐴1𝐴2𝐴3, và 𝐵1𝐵2𝐵3

cùng hướng nào đó (các cạnh tương ứng cuả hai

tam giác có cùng hướng với trục tọa độ, khi đó

Chứng minh: trong tọa độ Descartes ,diện tích tam giác với các đỉnh

𝑧3−𝑧 ̅̅̅32.𝑖 1

|

| = 1 8.𝑖|

Từ đây ta có thể suy ra để ba điểm bất kì 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 cùng nằm trên một đường

thẳng là diện tích tam giác 𝐴1𝐴2𝐴3 bằng không ,nghĩa là |