Ứng dụng số phức giải một số bài toán vật lý liên quan đến hàm điều hòa

Trong khóa luận này, em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán vật lý liên quan đến hàm điều hòa... SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 5 Bố cục khóa luận gồm 2 ch

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀM ĐIỀU HÒA

Giảng viên hướng dẫn : TS HOÀNG NHẬT QUY

Sinh viên thực hiện : TRẦN THỊ THANH NHÀN Lớp : 15ST

ĐÀ NẴNG – năm 2019

ĐÀ NẴNG – NĂM 2019

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀM ĐIỀU HÒA

Giảng viên hướng dẫn : TS HOÀNG NHẬT QUY

Sinh viên thực hiện : TRẦN THỊ THANH NHÀN

Chuyên ngành : Sư phạm Toán Lớp : 15ST

ĐÀ NẴNG – năm 2019

ĐÀ NẴNG – NĂM 2019

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 1

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Tiến sĩ Hoàng Nhật Quy – người thầy tận tình dìu dắt, chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán, khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã hướng dẫn, dạy bảo

em tận tình trong suốt thời gian học tập tại trường

Nhân dịp này, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn

cổ vũ, động viên, hỗ trợ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, tháng 01 năm 2019

Sinh viên

Trần Thị Thanh Nhàn

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 2

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

NỘI DUNG 7

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ 7

BÀI TOÁN VẬT LÝ LIÊN QUAN ĐẾN 7

HÀM ĐIỀU HÒA 7

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

1.1 Số phức và các phép toán về số phức 8

1.2 Dao động điều hòa 12

1.2.1 Phương trình động lực học 12

1.2.2 Dao động điều hòa 13

1.3 Sóng cơ 14

1.4 Dao động điện 19

1.4.1 Mạch LC 19

1.4.2 Điện tích q phụ thuộc thời gian q t( ) 19

1.4.3 Đoạn mạch xoay chiều chỉ có điện trở thuần Các giá trị hiệu dụng 21

1.4.4 Đoạn mạch xoay chiều chỉ có tụ điện 23

1.4.5 Đoạn mạch xoay chiều chỉ có cuộn cảm thuần 26

1.4.6 Đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp 28

1.5 Giới thiệu một số tính năng tính toán số phức bằng máy tính

CASIO 30

Chương 2 NỘI DUNG CỤ THỂ 32

2.1 Ứng dụng số phức trong dao động điều hòa 32

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 3

2.1.1 Viết phương trình dao động điều hòa 33

2.1.3 Tổng hợp dao động điều hòa 37

2.2 Ứng dụng số phức trong sóng cơ 41

2.3 Ứng dụng số phức trong dòng điện xoay chiều 43

2.3.1 Bài toán cộng điện áp trong đoạn mạch xoay chiều 44

2.3.2 Tìm biểu thức u, i trong mạch điện xoay chiều 45

2.3.3 Bài toán hộp đen 46

2.3.4 Bài toán tổng hợp 48

KẾT LUẬN 50

Tài liệu tham khảo 51

Số phức không chỉ quan trọng trong toán học mà còn ngay cả trong vật lý, số phức cũng xuất hiện rất nhiều do Vật lý cũng liên quan đến hình học và có nhiều đại lượng không chỉ dùng để đo độ lớn mà còn

có hướng Vì vậy, khi nói đến hướng là phải nhắc đến số phức bởi số

ảo i đại diện cho sự quay 90 độ Đặc biệt, một số đại lượng vật lý có tính chất sóng, được biểu diễn theo hàm sóng, số phức giúp cho việc hình dung hiện tượng và tính toán các đại lượng dễ dàng hơn

Đặc biệt hiện nay, với việc chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm trong các kỳ thi đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia, yêu cầu học sinh không những nắm vững lý thuyết mà còn phải tính được kết quả chính xác trong thời gian ngắn Trong số các phương pháp,

em nhận thấy rằng phương pháp số phức là phương pháp đơn giản, gần gũi và có tính hiệu quả cao Không những vậy, bắt kịp xu hướng dạy học tích hợp và tạo mối liên hệ chặt chẽ giữa các môn khoa học

tự nhiên, giúp học sinh dễ dàng tiếp nhận và chủ động liên hệ giữa các môn học giúp cho việc học toán trở nên thú vị và đồng thời giảm bớt gánh nặng cho chương trình vật lý lớp 12

Trong khóa luận này, em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán vật lý liên quan đến hàm điều hòa

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 5

Bố cục khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị cho nội dung chính gồm các kiến thức

về số phức, dao động điều hòa, sóng cơ và mạch điện xoay chiều

Chương 2: Nội dung chính của khóa luận trình bày về cách ứng dụng

số phức vào giải nhanh từng dạng bài tập vật lý có liên quan đến hàm điều hòa

2 Mục đích nghiên cứu

 Đề tài nghiên cứu giúp các em học sinh hiểu rõ thêm tầm quan trọng của số phức, từ đó tạo được niềm yêu thích và hứng thú học tập môn toán

 Giúp học sinh có thêm một lựa chọn tốt khi giải các bài toán liên quan đến hàm dao động điều hòa, ứng dụng giải nhanh các bài toán trên máy tính cầm tay

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu

 Kiến thức cơ bản về số phức và biểu diễn số phức

 Các bài toán về dao động cơ, sóng cơ, mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp

 Phương pháp giải bài tập dao động cơ, sóng cơ, mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp bằng số phức và ứng dụng giải trên máy tính cầm tay CASIO fx-570ES; fx-570ES PLUS; FX-

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 6

570VN PLUS hoặc Vinacal 570 ES PLUS; Vinacal 570 ES PLUS II

 Phạm vi nghiên cứu

 Khái niệm, tính chất và cách biểu diễn số phức

 Các bài tập về dao động cơ, sóng cơ, mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp thuộc chương trình Vật lý 12

4 Phương pháp nghiên cứu

 Tìm hiểu, đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu trên mạng Internet, sách tham khảo

 Tổng hợp từ kinh nghiệm học tập và giảng dạy của cá nhân và học hỏi kinh nghiệm giảng dạy của thầy cô

 Lựa chọn các dạng bài tập phù hợp với nội dung và chuẩn kiến thức của chương trình học

 Quan sát biểu hiện hứng thú của học sinh và sự linh hoạt của học sinh khi áp dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 7

NỘI DUNG

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ LIÊN QUAN ĐẾN

HÀM ĐIỀU HÒA

Mỗi phần tử z ( , )a b được gọi là một số phức

Ký hiệu

Re

a z gọi là phần thực của z

Im

b z gọi là phần ảo của z

Mỗi số phức dạng z ( , 0)a được đồng nhất với số thực a

Đơn vị ảo: Đặt i (0,1), ta có:

(0,1).(0,1) ( 1,0) 1.

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 9

Định nghĩa 1.1.2: (Dạng đại số của số phức) Giả sử z ( , )a b  Khi đó ta gọi biểu thức z a bi là dạng đại số của z Và ta gọi z a bi là số phức liên hợp của z

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 10

Định nghĩa 1.1.4: (Argument của số phức) Giả sử z  a bi 0 Góc  tạo bởi vectơ Oz và chiều dương của trục Ox gọi là argument của z

 Argument chính: Ký hiệu arg z, với     

 Argument phụ: Ký hiệu Argz argzk2 với k

Định nghĩa 1.1.5: (Dạng lượng giác của số phức) Với mỗi z0, đặt r  z ,

được gọi là dạng lượng giác của số phức z

Chú ý: Có thể chứng mình được các tính chất sau đây:

i

z re , r  z ,  arg z được gọi là dạng mũ của số phức

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 12

1.2 Dao động điều hòa

1.2.1 Phương trình động lực học

Con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m, gắn vào đầu một lò xo

có độ cứng k, đầu kia của lò xo cố định (hình 1.2.1)

2

2

" d x

x dt

1.2.2 Dao động điều hòa

Chuyển động của một vật mà li độ x biến đổi theo thời gian theo quy luật dạng sin (1.2.5) gọi là dao động (cơ học) điều hòa với:

 gọi là tần số góc của dao động, tần số góc có đơn vị là rad s/

 A là li độ cực đại, và được gọi là biên độ dao động

 ( t ) được gọi là pha của dao động tại thời điểm t

Với một biên độ A đã cho thì pha xác định li độ

Vào thời điểm t  0 thì pha có giá trị bằng  Vì vậy,  gọi là pha ban đầu của dao động

Nếu pha của dao động biến đổi một góc 2 thì:

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 14

Như vậy, cứ sau một khoảng thời gian T 2



 , x trở lại giá trị cũ Người

ta nói rằng li độ x là một hàm tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ T

2



 (1.2.6)

và như thế dao động điều hòa là một chuyển động tuần hoàn với chu kỳ

T , giai đoạn chuyển động trong một chu kỳ T được gọi là một dao động

Số dao động f trong một đơn vị thời gian gọi là tần số của dao động

1 2

f T





  (1.2.7) Vận tốc trong dao động điều hòa có phương trình x Asin( t  )

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 15

Hình 1.3.1

Nếu sóng truyền theo chiều OP (chiều dương của trục Ox) với vận tốc v

thì từ mặt sóng qua O đến mặt sóng qua P mất một khoảng thời x

v Như vậy nếu không có sự hấp thụ sóng thì đại lượng đặc trưng cho dao động

tại M vào thời điểm t bằng đại lượng đó tại O vào thời điểm t x

u t  A  t (1.3.4) Dao động lan truyền theo chiều dương Ox với vận tốc v là sóng Sóng này tạo thành dao động tại M, theo (1.3.4) đại lượng đặc trưng cho dao động tại M có biểu thức:

0 (0, ) sin ( x)

A gọi là biên độ của sóng tại M (và trên mặt sóng qua M) ω là tần số góc của sóng

Đối với hàm sin ở vế phải (t x) 0

Nếu chú ý rằng chu kì dao động T là T 2

Bước sóng  là khoảng cách mà sóng lan truyền được trong một chu kì

Ta có thể viết lại phương trình của sóng như sau:

0 (0, ) sin 2 (t x)

2cos( )

     : là độ lệch pha của hai sóng tại M

Pha ban đầu:

Hình 1.4.1

Nếu ban đầu tụ điện được tích một điện lượng Q (bản A có điện tích Q, bản B có điện tích – Q) thì nó sẽ phóng điện qua cuộn dây, tạo thành dòng điện xoay chiều (có cường độ biến đổi theo thời gian theo định luật dạng sin), người ta nói là có dao động điện trong mạch

Gọi q và i là giá trị đại số của điện tích bản A và cường độ dòng điện chạy trong mạch, chiều dương quy ước là chiều đi về bản A biểu diễn bằng mũi tên trên hình

1.4.2 Điện tích q phụ thuộc thời gian q t( )

Cường độ i liên quan với điện tích q như sau: trong khoảng thời gian

dt dòng điện chuyển qua một điện tích idt đến tích thêm vào bản A, vậy

idt  dq , ta suy ra:

dq i dt

+

LC Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.4.3) có dạng:

qAsin( t ) (1.4.2.4)

A và  là hai hằng số phụ thuộc điều kiện ban đầu

* Điều kiện ban đầu

Nếu lấy gốc thời gian t  0 vào lúc bản A có điện tích Q và tụ điện bắt đầu phòng điện, chưa kịp có dòng điện trong mạch, ta sẽ có điều kiện ban đầu:

0 (0) ;i(0) 0

q Q 

từ đây, ta có thể viết: qQ0sin( t )

với Q là điện tích cực đại (biên độ)

1.4.3 Đoạn mạch xoay chiều chỉ có điện trở thuần Các giá trị hiệu dụng

 Đoạn mạch xoay chiều chỉ có điện trở thuần

Đặt một điện áp xoay chiều uU0cost vào hai đầu đoạn mạch chỉ có điện trở thuần R (hình 1.4.3.1.)

Hình 1.4.3.1

Trong những khoảng thời gian rất nhỏ, điện áp và cường độ dòng điện coi như không đổi, ta có thể áp dụng định luật Ohm cho đoạn mạch như đối với dòng điện không đổi:

0

0

U u

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 22

Như vậy, cường độ dòng điện trên điện trở thuần biến thiên cùng pha với điện áp giữa hai đầu điện trở và có biên độ xác định bởi:

0 0

U I R

Công suất tỏa nhiệt trung bình của dòng điện xoay chiều trong một chu kỳ, gọi tắt là công suất tỏa nhiệt trung bình, có giá trị là:

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 23

Đó cũng là công suất tỏa nhiệt trung bình trong thời gian t rất lớn so với chu kỳ vì phần thời gian lẻ so với chu kỳ rất nhỏ, gây sai lệch không đáng kể Vậy nhiệt lượng tỏa ra trong thời gian tlà:

2 0 2

RI

Q t

Nếu cho dòng điện không đổi cường độ I chạy qua điện trở nói trên trong cùng thời gian t sao cho nhiệt lượng tỏa ra cũng bằng Q, nghĩa là:

Tương tự như vậy, người ta xác định được suất điện động hiệu dụng của nguồn điện xoay chiều:

0 2

E

E

và điện áp hiệu dụng ở hai đầu đoạn mạch xoay chiều:

0 2

nên ta thấy cường độ dòng điện qua

tụ điện biến thiên sớm pha

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 25

U C

 Biểu diễn bằng vectơ quay

Tại thời điểm t0, vectơ quay I biểu diễn cường độ dòng điện

 Định luật Ohm đối với đoạn mạch chỉ có tụ điện Dung kháng

Chia hai vế của công thức I0 CU0 cho 2, ta có:

Đó là công thức định luật Ohm cho đoạn mạch xoay chiều chỉ có tụ điện Đối với dòng điện xoay chiều tần số góc ω, đại lượng Z C giữ vai trò tương tự điện trở đối với dòng điện không đổi và được gọi là dung kháng của tụ điện

I

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 26

1.4.5 Đoạn mạch xoay chiều chỉ có cuộn cảm thuần

 Giá trị tức thời của cường độ dòng điện và điện áp

Giả sử dòng điện xoay chiều có cường độ:

0 cos

iI t

chạy qua cuộn cảm thuần có độ tự cảm L (hình 1.4.5.1)

Hình 1.4.5.1

Chiều dương của dòng điện qua cuộn cảm được quy ước là chiều chạy

từ A đến B Đây là dòng điện biến thiên theo thời gian nên nó gây ra trong cuộn cảm một suất điện động cảm ứng:

 Biểu diễn bằng vectơ quay

Tại thời điểm t0, vectơ quay I biểu diễn cường độ dòng điện

s

L

U

I X

thì:

L

U I Z

Giả sử dòng điện trong mạch có biểu thức iI0cost Dựa vào tính chất của các đoạn mạch chỉ chứa một loại phần tử đã học, ta viết được biểu thức của các điện áp tức thời:



Đại lượng Z nêu ở trên được gọi là tổng trở của mạch

 Độ lệch pha của điện áp so với cường độ dòng điện

Trong máy tính Casio có chế độ tính toán với số phức như sau:

1 Ấn MODE → 2:CMPLX để vào chế độ tính toán với số phức

Khi đó các nút quang trọng sau:

2 Nút ENG phía trên có chữ i nhỏ, khi chuyển sang chế độ tính toán phức thì sẽ là i

3 Đặc biệt, khi ấn SHIFT 2 máy hiện như hình dưới:

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 31

Ở đây:

1:arg là argument của số phức

2: Conjg là hiển thị số phức liên hợp của số phức ( Ở đây Conjg là viết tắt của conjugate)

3: Dạng lượng giác của số phức

4: Từ dạng lượng giác của số phức chuyển thành dạng chính tắc

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 32

Chương 2

NỘI DUNG CỤ THỂ

2.1 Ứng dụng số phức trong dao động điều hòa

Ta có phương trình dao động điều hòa:

0 0

cosAa

Vậy t = 0 hàm điều hoà có thể biểu diễn bằng số phức

0 0 t

vb

xasin

Av

cosAx)

tsin(

Av

)tcos(

A

x

2.1.1 Viết phương trình dao động điều hòa

Ví dụ 1: Treo một con lắc lò xo thẳng đứng tại nơi có gia tốc trọng

s

 hướng lên trên Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều dương hướng xuống dưới, gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật Viết phương trình dao động

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 34

Cách giải thông thường:

A là biên độ dao động, vmax   A là vận tốc dao động cực đại

Áp dụng công thức độc lập theo thời gian:

2 4

v v rad

x (cm;s)

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 35

Ví dụ 2: Cho một con lắc lò xo vật nhỏ có khối lượng m = 250 g, độ

cứngK 25 N m/ Từ vị trí cân bằng người ta truyền cho vật một vận tốc 40 cm/s theo chiều dương Viết phương trình dao động của vật chọn gốc toạ độ ở VTCB, gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật

Giải:

25 10 0.25

s m

  

Ta có x0 = 0, v0 40 cm

s



Cách giải thông thường

Vật được truyền vận tốc tại vị trí cân bằng nên

2.1.2 Tìm điều kiện kích thích ban đầu

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình

4 (4 )(cm;s)

x cos  t Tìm điều kiện kích thích ban đầu

Cách giải thông thường

Ta có kết luận ban đầu kéo vật tới vị trí có li độ 4cmrồi thả nhẹ

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình 4 2 cos( )

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn Trang 37

Sử dụng số phức

Để nhập

42

 Vậy ta có kết luận ban người

ta kéo vật tới li độ 4 cm rồi truyền cho vật một vận tốc 4 cm

s

 theo chiều dương

2.1.3 Tổng hợp dao động điều hòa

Ví dụ 4: Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần

số với phương trình x1  cos(2 t )(cm s; ), 2 3 cos(2 )( ; )

2

x  t cm s

Viết phương trình dao động tổng hợp

Giải:

Cách giải thông thường

Hai dao động trên có phương trình dạng

2

A

A A