PT BPT co chua can thuc LTDH

 Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất của phương trình: Ta thường sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng hoặc giảm tron[r]

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

−−−−−−−

 Kiến thức cơ bản:

● Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng:

 Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản

 Ví dụ: Giải phương trình: 3x29x    1 x 2 0

Giải:

2

2

2

1 3

2 1

2

x

x

x

  



 



 



 

  



 Vậy phương trình có nghiệm: 1

2

x  

 Bài tập:

Giải các phương trình sau:

 6 4 x x 2   x 4 0

 2x 6x2 1 x 1

 4 3 10 3  x x 2

 x x( 1) x x( 2)2 x2

( ) ( )

f x

f x g x

f x g x

ïï

ïî

(hoặc g x ( ) 0)

▪

2 2

( ) 0

( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

f x

g x

f x g x g x

f x g x

f x g x

ìï ³

ï

ïïî

▪

[ ]2

( ) 0

( ) ( )

f x

f x g x g x

f x g x

ìï ³ ïï ïï

ïï

ï <

ïïî

▪

2

( ) 0

( ) ( ) 0

( ) ( )

( ) 0

( ) ( ) ( )

g x

I

f x

f x g x

g x

II

f x g x

éì ïïê <

íêï ³ ïîê

> Û ê ì

³ ïêï êí

ïê >

ïîë

nghiệm của BPT đã cho là hợp của nghiệm hệ (I) với

hệ (II)

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 2 - Cell phone: 0935228284

 Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức

 Ví dụ: Giải phương trình: 2x9 4x  3x 1

Giải:

2x9 4x 3x (1) 1

Điều kiện:

1

3

x

x





  



(1)

2

2 9 2 5 2 (3 1)(4 ) (3 1)(4 ) 2

0 11 3

x x

 





 



(nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 11

0;

3

S  

 Bài tập:

Giải các phương trình sau:

 x 5 x32  x 1 x6 x9

 x9 5 2x4  5x 1 3x2 x 1 0

 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ phương trình đại số:

 Ví dụ: Giải phương trình: (x5)(2x) 3 x23x

Giải:

(x5)(2x) 3 x23x(1)

0

x

x

  





(1) (x 3 ) 10 3x   x 3x

Đặt t x23x t( 0) Phương trình trở thành: 2 2( )

3 10 0

5( )

 

 



4

x

x

 

 



(nhận) Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   4;1

 Bài tập:

Giải các phương trình sau:

 x 1 4x (x1)(4x)5

 3x215x2 x25x 1 2

 3(x2) (2 x1) 2 x33x2   3 8 0

 2x 3 x 1 3x2 2x25x 3 16

 x 1 3x (x1)(3x) 2

 2x25x 2 2 2x25x6 1

 3 x x2  2 x x2 1

 x2 x 4 x2  x 1 2x22x9

 Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số: A.B=0 hoặc A.B.C=0

 Ví dụ: Giải phương trình:

2

x

Giải:

2

x

(1)

2

x  x

2

2

( 1)( 2) (1 ) 3 2 0

1 1

1 2

x x

x x

 



  





So với điều kiện ban đầu ta được: x=1 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1

 Bài tập:

Giải các phương trình sau:

 x2 7x 2 x  1 x28x 7 1

 2x28x6 x2 1 2(x1)

 Phương pháp 5: Quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức

 Ví dụ: Giải phương trình: 3x 2 3 x3 32x 1

Giải:

3 x 2 3 x3 32x (1) 1

Đặt u3 x2;v3 x 3

3

3 3 3

3 3

3 3

3 3

0 5 0

(1)

5

5

0 5

u v v

uv u v

u v

 











  



  



  







Do đó:

3

2

3 5 5

x x

v



 





3

3

5

x x

u



  

 



3

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1

2; 3;

2

S   

 Bài tập:

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 4 - Cell phone: 0935228284

Giải các phương trình sau:

 3 x343 x3 1  3 x 1 3 x2 32x 3

 2(x22) 5 x31  2(x23x2) 3 x38

 32x  1 x 1

 3(2x)2 3(7x)2 3(7x)(2x) 3

x - x x + - x =

 x + 17 - x2 + x 17 - x2 = 9

 Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất của phương trình:

Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f (x) c có không quá

một nghiệm trong khoảng (a;b) Do đó nếu tồn tại x 0 (a,b) sao cho f (x 0 ) c thì x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình f (x) c

Tính chất 2: Nếu hàm f là hàm tăng trong khỏang (a,b) và hàm g là hàm giảm trong khoảng (a,b) thì

phương trình f (x) g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a,b) Do đó nếu tồn tại x 0 (a,b) sao cho f

(x0 ) g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình

 Ví dụ: Giải phương trình: x5+ x3- 1 - 3 x + 4 = 0

Giải:

Điều kiện: 1

3

x  Đặt   5 3

1 3 4 0

f x x x   x 

Ta có:   5 4 3 2 3 0

2 1 3

x

    



1 3

x

   f (x) đồng biến trên  ,1

3







Mặt khác f (1)  0 nên phương trình f (x)  0 có nghiệm duy nhất x  1

● Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng:

 Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản:

 Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x2- 4 x + 3 < x + 1

2 2

1

3

x x

x

x

x x x x

ïï

ïî

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 1 ;1 [ 3; )

3

S = æ ç çç è ù ú ú û È + ¥

 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ( x + 1)(4 - x ) > x - 2

2 0

2

x x

x x x

x x x x

+ - > - Û êì êï ê ï í - ³ Û ê ê êë < <

ï - + + > - + êïîë

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = - [ 1; 2 ) ( È 0; 7 )

 Bài tập tương tự:

Giải các bất phương trình sau:

2

2 2

a x x x

c x x x

+ + < +

+ - >

+ - + >

- - >

- Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức:

 Ví dụ : Giải bất phương trình: x + 11 - 2 x - 1 ³ x - 4 (1)

Điều kiện:

11 0

4 0

x

x

ì + ³

ïï

ïï - ³ Û ³

í

ïï - ³

ïïî

(1) Û x + 11 ³ x - 4 + 2 x - 1

12

x

x

é £

-ê

Û

ê £ £

ë

Kết hợp điều kiện ta được: 5 £ x £ 8 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [ 5;8 ]

 Bài tập tương tự:

Giải các bất phương trình sau:

c x x x

+ + <

- Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số:

2 x + 4 x + 3 3 - 2 x - x > 1 (1)

Điều kiện: 3 - 2 x - x2³ 0 Û - 3 £ x £ 1

(1) Û 3 - x - 2 x + 3 > + 1 2( - x - 2 x + 3) - 6 (2)

Đặt t = - x2- 2 x + 3 ( t ³ 0) Bất phương trình (2) trở thành:

2

t - t - < Û - < < t

So sánh điều kiện t ³ 0ta được: 5

0

2

t

2

Þ - - + < Û + + > " Î ¡

So với điều kiện ban đầu ta được tập nghiệm của bất phương trình (1) là: S = - [ 3;1 ]

 Bài tập tương tự:

GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 6 - Cell phone: 0935228284

Giải các bất phương trình sau:

2 2

x x

- Phương pháp 4: Biến đổi bất phương trình về dạng tích số hoặc thương:

 Ví dụ : Giải bất phương trình: 2 2

( x - 3 ) 2 x x - 3 x - 2 ³ 0 (1)

Điều kiện: 2

1

2

x

x x

x

é

ê £

ê

³ êë

 TH1: Với 1

2

x = - hoặc x = 2 thì (1) thỏa mãn Suy ra 1

2

x = - ; x = 2 là nghiệm của (1)

 TH2: Với 1

2

x < - hoặc x>2 thì (1) 2 0

3

x

x x

x

é £ ê

ê ³ ë

So sánh điều kiện ta được: 1

2

x < - hoặc x ³ 3

Vậy nghiệm của bất phương trình là: 1

2

x £ - x = x ³

 Bài tập tương tự:

Giải các bất phương trình sau:

2

2

2( 16)

x

-Nguyên tắc thành công: Suy nghĩ tích cực; Cảm nhận đam mê; Hành động kiên trì !