MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC pdf

MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC Đã có rất nhiều bài viết về những phương pháp giải phương trình có chứa căn thức, sau đây tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi

MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC

Đã có rất nhiều bài viết về những phương pháp giải phương trình có chứa căn thức, sau đây tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức

mà chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi…

Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng dụng trong giải toán sau:

Lời giải: Điều kiện

Nhận thấy không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:

Vì Nhân vào hai vế của phương trình ta được:

Nhận thấy là một nghiệm của phương trình xét , chia cả hai vế của

phương trình cho ta được:

Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm và (loại)

Vậy phương trình có hai nghiệm và

Ví dụ 2: Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện

Phương trình tương đương với:

Vì

Nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:

Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:

Giải phương trình này ta được

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3: Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện và

Phương trình tương đương với:

Vì , nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:

+Nếu

+Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Lời giải: Điều kiện

Nhận thấy không phải là nghiệm của phương trình , viết lại phương trình dạng:

được:

+Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:

Giải phương trình này ta được

Vậy phương trình có hai nghiệm và

Sau đây là một số bài tập:

Giải các phương trình sau:

-Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!

Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh

Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số bài toán phương trình có phần "nhỉnh" hơn một chút Ở đây vẫn trình bày dưới dạng các ví dụ minh họa cho từng dạng

Ví dụ 5: (Phương trình chứa căn ở mẫu) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện:

Phương trình tương đương với:

Nhận thấy là một nghiệm của phương trình, xét , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 6: (Phương trình chứa nhiều loại căn thức) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện:

Nhận thấy là một nghiệm của phương trình, xét , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 7: (Phương trình không có nghiệm hữu tỉ ) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện

Nhận thấy và là các nghiệm của phương trình Xét Chia

cả hai vế của phương trình cho ta được:

Dễ thấy

Vậy phương trình có hai nghiệm và

Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra là nghiệm (^_^)

Ví dụ 8: (Tìm nhân tử chung !) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện:

Xét Chia cả hai vế của phương trình cho ta được:

và (loại!)

Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra là nhân tử chung (^_^)

Sau đây là một số bài tập:

Giải các phương trình sau:

-Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!

Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh

chứa căn thức.

Không dừng lại ở đó, mình xin trình bày những vấn đề tiếp theo xung quanh phương pháp này Tin rằng đây sẽ là một phương pháp thực sự hiểu quả để hỗ trợ các bạn trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức.

Để tăng tính thuyết phục và hơn hết là làm nổi bật cái hay, cái đẹp của phương pháp này Mình xin phép được lấy các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi và các kì thi olympic để làm ví dụ minh họa Qua đó chúng ta cũng thấy được tính ứng dụng rộng rãi và hiệu quả của nó.

( Đề chính thức Olympic 30 - 4 năm 2006)

Lời giải:

Vì không là nghiệm của phương trình ta viết phương trình dưới dạng:

( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và

Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp để tìm ra nhân tử chung là Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này

Sau đây, mình xin trình bày một phương pháp để tìm ra lượng nhân tử chung trên

Xét phương trình:

Bây giờ ta chỉ cần xác định sao cho:

và

Từ đó ta suy ra lời giải toán của bài toán như đã trình bày

Ví dụ 10: Giải phương trình

( Đề đề nghị, Olympic 30 - 4 năm 2007)

Lời giải:

Điều kiện:

Bằng phương pháp đã nêu trên ta tìm được Vậy:

và

( Phương trình này vô nghiệm)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và

Ví dụ 11: Giải phương trình

( Thi HSGQG, năm 1995, bảng A)

Lời giải:

Điều kiện:

Nếu Suy ra:

Suy ra: hay ( vì )

Dễ thấy vế trái của phương trình liên tục và luôn đồng biến trên , vế phải của phương trình liên tục và luôn nghịch biến trên Lại có là nghiệm vậy cũng là nghiệm duy nhất của phương trình Nghiệm này loại vì

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 12: Giải phương trình

( Toán học và tuổi trẻ 365/2007)

Lời giải:

Vì không là nghiệm của phương trình ta viết phương trình dưới dạng:

( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình có 2 nghiệm là và

Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc

Giải các phương trình sau:

( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)

( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)

( Đề đề nghị Olympic 30-4)

( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)

( Toán học và tuổi trẻ)

( Thi HSGQG, năm 1995, bảng B)

-Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!

Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh