Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều lµ sè chÝnh ph¬ng... Trêng THCS Trêng L©m Hớng dẫn giải đề thi HSG lớp 9 huyện Tĩnh Gia..[r]
Trang 1Phòng GD - ĐT đề thi học sinh giỏi cấp huyện Huyện tĩnh gia năm học 2012 – 2013
Môn Toán học lớp 9
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát
đề )
Bài 1 ( 4,0 điểm ) Cho biểu thức:
P=(√x+√y)
2
− 4√xy
x√x + y√x
√xy
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa?
b) Khi P có nghĩa, chứng tỏ P không phụ thuộc vào x.
Bài 2 ( 4,0 điểm )
1 So sánh: 1
3
√6 −√3+
4
2 Giải bất phơng trình:
2− x −3
x −2>
x −2
x −1 .
Bài 3 ( 4,5 điểm )
1 Cho a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = a3 + b3 + ab
2 Biết ax + by + cz = 0 hãy tính giá trị biểu thức
x − y¿2
¿
z − x¿2+ ab ¿
y − z¿2+ ca ¿
bc ¿
P=¿
Bài 4 ( 4,0 điểm )
Cho tam giác ABC, lấy C’ thuộc đoạn thẳng AB Qua A vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt BC tại A’ Qua B vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt AC tại B’
Chứng minh rằng: 1
AA ' +
1
BB '+
1
CC '
Bài 5 ( 3,5 điểm )
Một học sinh viết dãy số sau: 49, 4489, 444889, 44448889, (Số đứng sau đợc viết
48 vào giữa số đứng trớc) Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều
là số chính phơng
Chú ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Giáo viên: Hồ Sĩ Hoàng Trờng THCS Trờng Lâm
Hớng dẫn giải đề thi HSG lớp 9 huyện Tĩnh Gia.
Bài 1 ( 4,0 điểm ) Cho biểu thức:
Trang 22
− 4√xy
x√x + y√x
√xy
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa?
b) Khi P có nghĩa, chứng tỏ P không phụ thuộc vào x.
a) HD: Điều kiện để P có nghĩa là:
x 0 x > 0
y 0 ⇔ y > 0 x.y > 0 x y
√x −√y ≠ 0
b) Với x > 0, y > 0 và x y ta có:
P=(√x −√y)
2
√xy(√x +√y)
√xy ⇔ P=√x −√y −(√x+√y ) ⇔ P=− 2√y không phụ thuộc vào x
Bài 2 ( 4,0 điểm )
1 So sánh: 1
3
√6 −√3+
4
2 Giải bất phơng trình:
2− x −3
x −2>
x −2
x −1 .
HD: 1 Ta có
1
3
√6 −√3+
4
√7 +√3 =
3 (√6+√3)
4 (√7−√3)
4 = √6+√7
3
√6 −√3+
4
√7 +√3 .
2 Điều kiện: x 1 và x 2
BPT ⇔ 2− x −3
x −2>
x −2
x −1 ⇔ 2( x −2)−(x −3)
x − 2 >
x − 2
x − 1 ⇔ x −1
x −2>
x −2
x −1
⇔ (x −1)
2
− ( x − 2)2 (x −1) ( x −2 ) >0 ⇔
2 x −3
(x −1) ( x −2 )>0 .
Lập bảng xét dấu ta có nghiệm của bất phơng trình là: 1 < x < 3/2 hoặc x > 2
Bài 3 ( 4,5 điểm )
1 Cho a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = a3 + b3 + ab
2 Biết ax + by + cz = 0 hãy tính giá trị biểu thức
x − y¿2
¿
z − x¿2+ ab ¿
y − z¿2+ ca ¿
bc ¿
P=¿
HD: 1 Ta có:
Q = (a + b)(a 2– ab + b 2 ) + ab = a 2 + b 2 ( vì a + b = 1 )
_
+ +
_
O
Trang 3mà a 2 + b 2 (a+b )
2
1
2 Suy ra Q 1/2.
Vậy GTNN của Q là 1/2 khi a = b = 1/2
2 Đặt Q=bc ( y − z)2+ca ( z − x )2+ab ( x − y )2
Ta có Q=bcy2
+ bcz 2 + caz 2 + cax 2 +abx 2 +aby 2− 2(bcyz+acxz +abxy) (1)
Từ giả thiết suy ra:
a2x2+b2y2+c2z2+ 2(bcyz+acxz+ abxy)=0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Q=ax2(b+c)+by2(a+c )+cz2(a+b)+a2x2+b2y2+c2z2
= ax2(a+b+ c)+by2(a+b+ c)+cz2(a+ b+c )
= (a+b+c )(ax2+ by2+ cz2)
Do đó:
ax2+ by2+cz2=a+b+c
Bài 5 ( 3,5 điểm )
Một học sinh viết dãy số sau: 49, 4489, 444889, 44448889, (Số đứng sau đợc viết
48 vào giữa số đứng trớc) Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều
là số chính phơng
HD
Cách 1 (lớp 8)
Đặt 11 1 = a thì 10n = 9a + 1
n/cs1
Dãy số đã cho có số hạng tổng quát nh sau:
H = 44 4 88 89
n/cs4 n-1/cs8
Ta còn viết đợc H = 44 4 88 8 + 1 = 4a.10n+ 8a + 1
n/cs4 n/cs8
= 4a(9a + 1) + 8a + 1 = 36a2 + 12a + 1 = (6a + 1)2 = (66 67)2
n-1/cs6
Là số chính phơng ==> điều phải chứng minh
Cách 2( lớp 6)
Ta cú 44 488 89 = 44 488 8 + 1 = 44 4 10… … … … n + 8 11…1 + 1
n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1
= 4 10n −1
9 10
n + 8 10n −1
9 + 1 = 4 102 n − 4 10 n+8 10n − 8+9
4 102 n+ 4 10n+1
9 = (2 103n+1)
Ta thấy 2.10n +1=200…01 cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 3 nờn
n-1 chữ số 0 nú chia hết cho 3
2
2
Trang 4⇒ (2 103n+1) Z hay cỏc số cú dạng 44…488…89 là số chớnh phương.
Bài 4 ( 4,0 điểm )
Cho tam giác ABC, lấy C’ thuộc đoạn thẳng AB Qua A vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt BC tại A’ Qua B vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt AC tại B’
Chứng minh rằng: 1
AA ' +
1
BB '+
1
CC '
HD:
A
C’
B C A’
B’
Dễ thấy các cặp tam giác sau đồng dạng:
Δ AC’C Δ ABB’; Δ BC’C Δ BAA’ và Δ ACA’ Δ B’CB ta suy ra các tỉ số đồng dạng sau:
AC '
AB =
AC
AB '=
CC '
BB ' (1)
BC'
AB =
BC
BA '=
CC'
AA ' (2)
AA ' BB' =
CA
CB'=
CA '
CB (3)
Đặt AC '
AB =
AC
AB '=
CC '
BB ' = k Suy ra
1
BB'=
1
CC' ⋅ k (4)
Từ (2) suy ra 1
AA '=
1
CC' ⋅BC
BA ' (*)
mà BA '
BC =
BC+CA '
CA '
BC =1+
CA
CB'
Lại có CB'
CA =
AB ' − AC
AB '
AC −1=
1
k −1=
1 −k
k ⇒ ACAB '= k
k −1 ⇒
BA '
BC =1+
k
1 −k=
1
BA '=1− k thay vào (*) ta đợc:
1
AA ' =
1
CC' ⋅(1− k) (5)
Từ (4) và (5) ta có: 1
AA '+
1
BB'=
1
CC'(1 − k)+
1
CC' ⋅k= 1
Trờng Lâm, ngày 12 tháng 12 năm 2012
Giáo viên Hồ Sĩ Hoàng