Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm t[r]
Trang 1UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
==============
Câu 1
(5 đ) Câu 1.1 (3 điểm)
Gọi A x ; y , B x ; y , C x ; y 1 1 2 2 3 3là 3 điểm thẳng hàng trên (T) và thuộc đường
thẳng : y ax b
PT tiếp tuyến tại A là: 2
y 3x 3 x x y (d1)
0,5
x 3x 2 3x 3 x x x 3x 2
x x x xx x 3 x x 3x 3 x x 0
1
d1 cắt (T) tại A ' x ' ; y ' 1 1 với x '1 2x1
0,5
y ' x ' 3x ' 2 8x 6x 2 8 x 3x 2 18x 18
Chứng minh tương tự A’, B’, C’ cùng thuộc đường thẳng có PT:
Suy ra, đpcm
Chú ý: Học sinh có thể chứng minh và sử dụng bổ đề:
“Cho ba điểm A x ; y , B x ; y , C x ; y 1 1 2 2 3 3 thuộc đồ thị hàm số
a
”
0,5
Câu 1.2 (2 điểm)
Xét hàm số: 2n 1
f x x 2011x 2012
2n
f ' x 2n 1 x 2011 0, x nên hàm số đồng biến trên
Suy ra, PT f(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm
0,5
2n 2n 1
2011 2012
2n 2n 1
2011 2012
, suy ra PT f x 0 có nghiệm thuộc (a;b)
Từ đó suy ra, đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm
Chú ý: Học sinh có thể tính
x lim f (x), lim f (x) x
rồi lập bảng biến thiên và suy ra f(x)=0 có nghiệm duy nhất
0,5
Trang 2Câu 2
(5 đ)
Câu 2.1 (2,5 điểm) Giải phương trình:
log x log x log x log x log x log x (1)
1 log x log 2.log x log 2.log x 2 4 2 6 2 log 2log x log 2.log x log 2.log x 3 2 5 2 7 2 0,75
Ta có: 1 log 2 3 0, 4 5
log 4 log 5
log 6 log 7
nên 1 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2 4 6 3 5 7 0 0,5
(2) log x2 0 x 1
Câu 2.2 (2,5 điểm) Giải phương trình: 2 1 2 1
ĐK: x 7
5
Xét hàm số: 2 1
t 1
với
7 t 5
3
5
2 t 1
Suy ra, f(t) đồng biến trên
7
; 5
3 5x 6 x x
2
(thỏa mãn)
Vậy PT có nghiệm duy nhất x 3
2
Chú ý: Nếu HS ghi ĐK t > 1 và chỉ ra hàm số f(t) đồng biến trên 1; thì điểm
vẫn cho tối đa
0,5
Câu 3
(3 đ)
Kí hiệu k
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử 0 k n; k, n , tính tổng sau:
S C 2C 3C 2010C 2011C Xét hàm số: 2010
Ta có: 2010 0 1 2 2 2010 2010
2010 2010 2010 2010
2010 0 1 2 2 3 2010 2011
2010 2010 2010 2010
f x x 1 x C x C x C x C x
2010 2010 2010 2010
f ' x C x C x C x C x '
C 2C x 3C x 2011C x
Mặt khác 2010 2010 2009
f ' x x 1 x ' 1 x 2010x 1 x
Với x=1 ta được:
2011
Trang 3Câu 4
(5đ) Câu 4.1 (3 điểm)
Gọi O là giao điểm của AC và BD do ∆SAC, ∆SBD cân tại S nên
Từ giả thiết suy ra OA OB OC OD ABCD là hình chữ nhật 0,25
AB x, x 0 AC 16a x
2 2 ABCD
3 ABCD
8a
3
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ
vtpt của mp(SCD) là n SCD0;1; 2 0,25
2 cos
10
, với là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) 0,25 Vậy cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) (khi VABCD lớn nhất) bằng
2
z
y x
O D
C B
A
S
Chú ý: Học sinh có thể tính thể tích của khối chóp S.ABCD bằng cách đặt SO=x
S.ABCD
1
V 4a.x 8a 4x
3
lời giải hoàn toàn tương tự
Trang 4Câu 4.2( 2 điểm)
u AE w
v u
E
D
C B
A
Đặt u AB, v AD, w AC u v w 1
AE
Câu 5
(2 đ)
Do hàm y cos xlà hàm chẵn nên ta chỉ cần xét với x 0, y 0
Ta có
0,25
cos x cos y 2cos cos 2cos
1 cos xy 1 cos
2
0,25
Ta sẽ chứng minh
2
2 cos 1 cos
Đặt x y t, t 0;
, (1) trở thành
2
1 cos t 2 cos t 0
f (t) 1 cos t 2cos t với t 0;
2
0,25
t 1;
2
ta có
t t sin t sin t t sin t f '(t) 0
0,25
Trang 5f( π
2)
f(1) 0
π 2 -+ 0 1
0
0
f(t)
f '(t)
t
0,25
Vậy
2
f (t) 0, t 0; 2 cos 1 cos
Từ đó suy ra, cosx cosy 1 cos(xy)
Dấu bằng xảy ra khi x y 0
Chú ý: Học sinh có thể đặt t xy và cách làm cũng hoàn toàn tương tự
0,25
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh
phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa
2 Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm
chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó Mọi
vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ
cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ
3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm