TÀI LIỆU ÔN TOÁN 9 Hoàng Thị Kim Ngân Chuyên viên Phòng Giáo dục Trung học Sở Giáo dục và Đào tào Tuyên Quang.. DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC...[r]
Trang 1TÀI LIỆU ÔN TOÁN 9
Hoàng Thị Kim Ngân Chuyên viên Phòng Giáo dục Trung học
Sở Giáo dục và Đào tào Tuyên Quang
DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Trang 2Bài 1: Cho biểu thức
P = 1
2(1+√a)+
1
2(1 −√a)− a
2 + 2
1− a3
a) Rút gọn P
b) Tìm Min P
Gải:
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x Tính giá trị biểu thức : P = x2+y2+xy
xy - 1
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x-yx + y
Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức
P = 15√x −11
x +2√x −3+
3√x −2
1-√x −
2√x +3
√x+3
a) Tìm các giá trị của x sao cho P = 12
b) Chứng minh P ≤ 32
Bài 5: Cho biểu thức
P = 3a+√9a −3
a+√a − 2 −
√a+1
√a+2+
√a− 2
1−√a
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên
Bài 6: Cho biểu thức
P = √
a+4√a-4+√a − 4√a-4
√1-8
a+
16
a2
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên
Bài 7: Cho biểu thức
P = ( √a
√a− 1 −
1
a −√a):(√a+11 −
2
a − 1)
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 √2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0
Bài 8: Cho biểu thức
P = (2+4√√x x −
8x
4 − x):(x − 2√x − 1√x −
2
√x) a) Rút gọn P
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( √x - 3)P > x + 1
Trang 3Bài 9: Cho biểu thức
P = (√x −y - √xy
√x +√y):(√xy + y x +
y
√xy − x −
x+ y
√xy)
a) Tìm x, y để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 √3
Bài 10: Cho biểu thức
P = (x −1 x +1 −
x-1
x +1+
x2− 4x − 1
x2−1 )x +2007 x
a) Tìm x để P xác định
b) Rút gọn P
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên
Bài 11: Rút gọn P.
P = (a − a+√ √a a22− b −b22− a −√a2−b2
a+√a2− b2):4√a4− a2b2
b2
Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
P = (√x −2
x+2
x +2√x +1).(1− x√2 )2
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0
c) Tìm GTLN của P
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P = 2x
x +3√x+2+
5√x+1
√x +10 x+5√x +6
Không phụ thuộc vào biến số x
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P = √x+
3
√2 −√3 √67+4√3− x
4
√9 −4√5 √2+√5+√x
Không phụ thuộc vào biến số x
Bài 15: Cho biểu thức
P = √ x2−√x
x +√x+1 −
x2+√x
x −√x+1+x +1
Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1
Bài 16: Cho biểu thức
P = x2−√x
x +√x+1 −
2x +√x
√x +
2(x −1)
√x −1
a) Rút gọn P
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để biểu thức Q = 2√x
P nhận giá trị là số nguyên
Bài 17: Cho biểu thức
Trang 4P = (2x√x x +x −√x −1√x −
x+√x
2x+√x − 1+
√x
2√x − 1
a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó
Bài 18: Rút gọn biểu thức
P = 3+√5
√10+√3+√5−
3−√5
√10+√3 −√5
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A = √4+√7 −√4 −√7
b) B = √4+√10+2√5+√4 −√10+2√5
c) C = √4+√15+√4 −√15 −2√3−√5
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P = √x+24 +7√2 x −1+√x+4 −3√2 x −1
Với 12 ≤ x ≤ 5
Bài 21: Chứng minh rằng:
P = 2√3+√5−√13+√48
√6+√2
là một số nguyên
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:
1+√3 2 1+√1+√3
2 +
1 −√3
2
1 −√1 −√3
2
=1
Bài 23: Cho x = 3
√5√2+7 −√35√2− 7
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x
Bài 24: Cho E = 1+xyx+ y − 1− xy
x − y
Tính giá trị của E biết:
x = √4+√8.√2+√2+√2 √2 −√2+√2
y = 3√8 − 2√12+√20
3√18 −2√27+√45
Bài 25: Tính P = 1+2007
2+ ¿ 2007 2
2008 2
+ 2007 2008
√ ¿
Bài 26: Rút gọn biểu thức sau:
P = 1+1
√5 + 1
√5+√9 + + 1
√2001+√2005
Bài 27: Tính giá trị của biểu thức:
P = x3 + y3- 3(x + y) + 2004 biết rằng
x = 3
√3+2√2+√33 −2√2
y = 3
√17+12√2+√317 −12√2
Trang 5Bài 28: Cho biểu thức A = (√√a− 1 a+1 −
√a −1
√a+1+4√a) (√a− 1
√a)
a) Rút gọn A
b) Tính A với a = (4 + √15 )( √10 - √6 ) √4 −√15
Bài 29: Cho biểu thức
A = √x −√4 ( x −1)+√x+√4 ( x − 1)
x − 1)
a) x = ? thì A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 30: Cho biểu thức
P = 1+√1 − x
1 − x +√1− x+
1 −√1+ x 1+ x+√1+x+
1
√1+ x
a) Rút gọn P
b) So sánh P với √22
Bài 31: Cho biểu thức
P = 1
√x +1 −
3
x√x +1+
2
x −√x +1
a) Rút gọn P
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1
Bài 32: Cho biểu thức
P = 2√a −9
a− 5√a+6 −
√a+3
√a− 2 −
2√a+1
3 −√a
a) Rút gọn P
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên
Bài 33: Cho biểu thức
√xy −2 y −
2√x
x +√x −2√xy −2√y −
1− x 1−√x
a) Rút gọn P
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0
Bài 34: Cho biểu thức
√xy −2 y −
2√x
x +√x −2√xy −2√y −
1− x 1−√x
a) Rút gọn P
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0
Bài 35: Cho biểu thức
P = [ (√1x+
1
√y)√x +2√y+
1
1
+y√x+x√y+√y3
√xy3+√x3y
a) Rút gọn P
b) Cho xy = 16 Tìm Min P
Trang 6DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab
Tính giá trị của biểu thức: P = a− b a+b
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy
Tính giá trị biểu thức E = x − y x+ y
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:
M = yz
x2 + xz
y2 + xy
z2
Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức:
P = (1+a
b)(1+b
c)(1+c
a)
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 Tính giá trị của biểu thức: A = x2007+ y2007 + z2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức:
P = a4 + b4 + c4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007
Trang 7Bài 8: Cho x a+y
b=1 và xyab =−2 Tính x
3
a3+
y3
b3
Bài 9: Cho a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức
b2 +c2− a+
1
a+c2− b2 + 1
a+b2− c2
Bài 10: Cho x4
a +
y4
1
a+b ; x2 + y2 = 1 Chứng minh rằng:
a) bx2 = ay2;
b)
a+b¿1004
¿
x2008
a1004+
y2008
b1004=
2
¿
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:
1+ y+yz+
1
1+ z+xz = 1 Bài 12: Cho a + b + c = 0 Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau Tính giá trị của biểu thức:
P = a2
(a − b)(a −c )+
b2 (b− c )(b −a)+
c2 (c − b)(c −a)
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:
b − c
(a − b)(a −c )+
c −b
(b− c )(b −a)+
a− b
(c − a)(c −b)=
2
a −b+
2
b − c+
2
c − a
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng: p − a1 + 1
p −b+
1
p − c −
1
p=
abc
p (p − a)( p −b)( p −c )
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1 Chứng minh :
a
b3− 1+
b
a3−1=
2(ab −2)
a2b2+3
Bài 18: Cho x a+y
b+
z
c=1 và a x+b
y+
c
z=0
Tính giá trị biểu thức A = x2
a2+
y2
b2+
z2
c2
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và b− c a + b
c −a+
c
Trang 8Tính giá trị của P =
b − c¿2
¿
c − a¿2
¿
a − c¿2
¿
¿
¿
a
¿
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh rằng biểu thức
A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2
Tính giá trị biểu thức: A = x − y x+ y
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy
Tính giá trị của phân thức A = 2 xy
− 6 x2+xy+ y2
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007
Tính giá trị của biểu thức: P =
bc ¿
ax 2
+ by 2 +cz 2
¿
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008
Tính giá trị biểu thức:
P = x3
(x − y)(x − z )+
y3
(y − x )( y − z)+
z3
(z − y)(z − x)
Bài 27: Cho
¿
x + y +z=1
x2+y2+z2=1
x3+y3+z3=1
¿ {{
¿
Tính giá trị của biểu thức: P = x2007+ y2007+ z2007
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác Tính giá trị của biểu thức:
P =
b+c¿2
a2−¿ (a+b − c)
¿
a −c¿2−b2
¿
(a+b+c)¿
¿
¿
Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2
Trang 9Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0 Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:
¿
xy + y +z=3
yz + y +z=8
zx +x+ z=15
¿ { {
¿
Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
¿
x2 +y2 +z2 =1
x3+y3+z3=1
¿ {
¿
Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003)
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = √2+√3+√6+√8+4
√2+√3+√4
b) Tính giá trị biểu thức: Q = x − y x+ y
Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0 (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2
a) So sánh a và b + c
b) So sánh a3 và b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0
2) Tính A = 3
√20+14√2+√320 − 14√2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn
điều kiện x12 + x22 10
Trang 10Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
¿
c>0
(c +a)2<ab+bc − 2 ac
¿ {
¿
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0 Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
¿
x1− x2 =5
x13− x23 =35
¿ {
¿
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm
Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm nếu 2 b a ≥ c
a+4
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x12 - x22 = 59
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
b) B = x12 + x22 - đạt GTNN
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m
Bài 11: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x2 - cx + 2c - 1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức:
S = x1
1
3 + 1
x23
Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 √3 x + 1 = 0 Có hai nghiệm là x1,x2 Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
A = 3 x1
2
+5 x1x2+3 x22
4 x1x23+4 x13x2
Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 = 6
3 Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
Trang 11x1 < 1 < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Tìm GTNN của M = x12 + x22
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
1
a+
1
b=
1 2
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN đó
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 10
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
E = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương
CMR: a2 + b2 là một hợp số
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.
Giải phương trình:
Bài 1: x3 + 2x2 + 2 √2 x + 2 √2
Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Trang 12Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 7: a) (x + √2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 √2
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0
b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0
Bài 9: a) x4 = 24x + 32
b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 Bài 10: |x − 8|5+ |x −9|3=1
3 x2− x+2 −
7 x
3 x2 +5 x+2=1
Bài 12: x2 + 4 x
2
(x +2)2=12
Bài 13: 20 (x −2 x +1)2−5(x −1 x+2)2+ 48x
2
− 4
x2−1=0
Bài 14: a) 3 x
x2−3 x+1+
7 x
x2 +x +1=− 4
x2− 6 x+15 =
4 x
x2− 12 x +15
c) x2−3 x +5
x2−4 x+5 −
x2−5 x +5
x2−6 x +5=−
1 4
Bài 15: a) x2 + 81 x
2
(x +9 )2=40
b) x2 + x
2
(x +1)2=15
Bài 16: a) (x −1 x )2+(x −2 x −1)2= 40
9
b) (x+2 x+1)2+(x −2 x −1)2−5
2
x2− 4
x2−1=0
c) x 8− x x −1(x − 8 − x
x − 1)=15
Bài 17: x2 + (x −1 x )2 = 8( Đề thi HSG V1 2004)
Bài 18: √x −1 −√5 x −1=√3 x −2
Bài 19: 3
√x+1+√37 − x=2
Bài 20: √x+2√x −1+√x − 2√x −1=2
Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2 √x+7 x +7=2
Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 Bài 25: a) x3 - 6x + 4 = 0
Trang 13b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0
b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 Bài 27: x32+ 48
x2 −10(x3−
4
x)=0
Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab
b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 √x3+ 1
( Đề thi HSG 1998) Bài 29: √x −5 − x −14
3+√x − 5=3
Bài 30: x4 - 4 √3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)
Bài 31: x4+4
Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0
b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 Bài 33: (x + 3 √x + 2)(x + 9 √x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
Bài 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 √2 x +3
b) 3 √x3 +8 = 2x2 - 6x + 4 c) √2− x+ 4
√2− x+3=2
Bài 35: 3
√x+1+√3 x +2+√3x +3=0
Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m
a) Giải phương trình khi m = 5
b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm
Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0
Bài 40: x2 + 9x+ 20 = 2 √3 x +10
Bài 41: x2 + 3x+ 1 = (x + 3) √x+1
Bài 42: x2 + √x+2006 =2006
DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1) Với a, b > 0 thì a+b2 ≥√ab Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
(a2+b2)(x2+y2)≥ (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0 Cm: √ab+√cd ≤√(a+c ) (b+d )
Bài 4) CM bất đẳng thức:
√a2
+b2
+√c2 +d2≥√(a+ c)2+(b+ d )2
Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức:
a2
b2
c +a+
c2
a+b+c
2
Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì:
Trang 141
n+2+ +
1
2n>
1 2
Bài 7) Cho a3 + b3 = 2 Cmr: a + b 2
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a2 + b2 + c2 = 2 (2)
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn [− 43 ;0] khi biễu diễn trên trục số
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5
CMR: 2a2 + 3b2 5
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1
CM: a2 + 4b2 1
5 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003)
Bài 11) Chứng minh: 2 −√2+√2+√2+√2
2−√2+√2+√2 <
1
3 (Đề thi HSG 2001)
Bài 12) Chứng minh:
a) (a2
+b2 )(x2 +y2 )≥ (ax + by)2 b) 0<√x − 2+√4 − x ≤2
Bài 13) Cho a, b, c > 0 Cm: b+c a + b
c +a+
c
3 2
Bài 14) Cho S=1+ 1
√2+
1
√3+ +
1
√100 CMR: S không là số tự nhiên
Bài 15) a) Cho x, y dương CMR: 1x+ 1
y ≥
4
x+ y Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Tam giác ABC có chu vi P= a+b +c
2
p −b+
1
p − c ≥ 2(1a+
1
b+
1
c)
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 16) a) CM x > 1 ta có: x
√x − 1 ≥ 2
b) Cho a > 1, b > 1 Tìm GTNN của: P= a
2
b −1+
b2 a− 1
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì (1a+
1
b+
1
c)≥ 9 Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005)
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5 Cm: a + 2b 10 Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab