tai lieu boi duong HSG TOAN9

Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Khi giải các phơng trình mà ẩn nằm trong dấu giái trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta xét từng khoảng giá trị của biến.. Phơng t

Nếu a≠ 0 ,a≠ 1thì phơng trình có một nghiệm duy nhất

Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm đúng với mọi x khi b = 0, phơng trình vô nghiệm khi b≠ 0

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

Giải:

Phơng trình trên có hệ số bằng chữ ở mẫu thức Điều kiện để phơng trình có nghĩa là a≠ ± 1 Với

điều kiện này, phơng trình đã cho tơng với

(a+x)(a+1) – (a-x)(a – 1) = 3a

Sau khi biến đổi ta đợc: 2ax = a (1)

Nếu a ≠ 0, phơng trrình có nghiệm duy nhất

Nếu a = 0, phơng trrình (1) trở thành 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x

Kết luận: Nếu a≠ 0 ,a≠ ± 1, phơng trình có nghiệm duy nhất

Nếu a = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Nếu a = ±1, phơng trình vô nghiệm

Bài tập vân dụng Bài 1: Tìm giá trị của m sao cho phơng trình:

311 103

313 101

315−x+ −x+ −x+ −x+ =

16 4

1

−

− + +

− + +

−

−

a

a x a

a x a

a x

c

b a x b

a c x a

c b x

d)

1

) 1 ( 2 1

1 2 1

1 1

− +

−

−

a

x a a

x a

x a

x

1

3 1

x a a

x a

II Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức.

1 Ví dụ

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

1 16

6 8 1 4

2 4

=

x x

Giá trị này thoả mãn điều kiện trên Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x =

2

1

Ví dụ 4: Giải phơng trình:

) 3 5 )(

5 1 (

4 5

3

2 1 5

a)

) 1 (

3 1

1 1

1

2 4 2

−

− + +

+

x x x x

x

x x

x

x

b)

16 8

1 ) 2 ( 2

1 8

7 8 4

5

−

= +

−

−

x x

x

x x x x

x

c)

bx ax

b b

b a bx

b a b a

2

d)

) 10 )(

(

10 10

11 1

+ +

= +

+

− +

+ +

x a x x

x a x

a x

a x

Bài 4: Với giá trị nào của a thì phơng trình sau có một nghiệm duy nhất?

1 1

1

2

2 2

2

−

= +

III Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Khi giải các phơng trình mà ẩn nằm trong dấu giái trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta xét từng khoảng giá trị của biến Cần nhớ và năm vững lý thuyết sau:

1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối:

Với A ≥ 0

{A

A

2 Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a≠ 0 ):

Nhị thức cùng dấu với a khi x >

− là nghiệm của nhị thức Do vậy định lý trên đợc phát biểu nh sau:

“ Nhị thức ax + b (a≠ 0 ) cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái dấu với a với các trí trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức“.

+ Nếu − 2 ≤x≤ 3, thì x – 3 < 0 => x− 3 = 3 – x và x + 2 > 0 => x+ 2 = x + 2, khi đó phơng trình có dạng 3 – x + x + 2 = 7 <=> 0x = 2, phơng trình vô nghiệm

+ Nếu 4 ≤x≤ 9, thì x – 4 > 0 => x− 4 = x – 4 và x - 9 < 0 => x− 9 = 9 - x, khi đó phơng trình có dạng x – 4 + 9 - x = 5 <=> 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét, tức là 4 ≤x≤ 9.+ Nếu x > 9, thì x – 4 > 0 => x− 4 = x – 4 và x - 9 > 0 => x− 9 = x - 9, khi đó phơng trình có dạng

x – 4 + x - 9 = 5 <=> x = 9, không thuộc khoảng đang xét

IV Phơng trình bậc cao giải bằng cách đa về phơng trình bậc nhất một ẩn

Để giải các phơng trình bậc cao dạng f(x) = 0, ta phân tích đa thức f(x) thành nhân tử để đa về giải các phơng trình bậc nhất một ẩn

Sau khi biến đổi ta đợc y2(y2 + 6) = 0, do đó y = 0 Vậy x = -4.

Ví dụ 10: Giải các phơng trình sau:

b) Cách 1: Đa phơng trinh về dạng (x – 1)2(x2 – x + 1) = 0 Phơng trình có một nghiệm x = 1

Cách2: Chia hai vế của phơng trình cho x2 (Vì x ≠ 0)ta đợc:

Giải: Ta thấy x – 1 ≠0 vì x = 1 không nghiệm đúng phơng trình

Nhân hai về của phơng trình với x – 1 ≠0 ta đợc x5 – 1 = 0 hay x = 1, không thoả mãn điều kiện trên.Vậy phơng trình vô nghiệm

Bài tập vận dụng Bài 6:Giải các phơng trình sau:

Bài 8: Giải các phơng trình sau:

a) Tìm các giá trị của m để một trong các nghiệm của phơng trình bằng 1

b) Giải phơng trình ứng với các giá trị đó của m

Phần IIPhơng trình bậc hai và phơng trình bậc cao I/ Phơng trình bậc hai một ẩn.

ở phần này tôi xin chỉ đa ra một số bài tập cơ bản và đơn giản mà không nói sâu, tôi xin tập chung sâu ở các phơng trình có liên quan tới bậc hai trở lên (phơng trình bậc cao) cùng với một số ph-

Để PT (1) có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0

Để PT (1) có hai nghiệm cùng dấu <=> { 0

P S

P S

B/ Bài tập

Bài 1: Cho phơng trình: 2x2 + mx – 5 = 0

a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 1.Tìm nghiệm còn lại

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1.Tìm nghiệm còn lại

Bài 2: Cho phơng trình: x2 + 2(m - 1)x – 2m +5 = 0

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn:

-

1

2 2

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thảo mãn:

- x1 + x2 + 2x1x2 ≤ 6

- x1 + x2 + 4x1x2 = 10

Bài 4: Cho phơng trình: x2 – 8x + m + 5 = 0

a) Giải phơng trình với m = 2

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng

c) Tìm m để phơng trình có một nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia Tìm các nghiệm trong trờng hợp này

Bài 5: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m = 0

a) Chứng tỏ rằng(CTR) phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình CTR: A = x1 + x2 –x1x2 không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

x1 + x22 - 3x1x2 = 6

Bài 6: Cho phơng trình: x2 – (2m – 1)x + m2 – m – 2 = 0

a) CTR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để 2x1x2 + x1 + x2 ≤3

Bài 7: Cho phơng trình: x2 + 2x + 2m + 5 = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt?

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tính A = x1 + x2 theo m

b) CTR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để x1 x2 + x1x2 = 10

Bài 9: Cho phơng trình: x2 – 2x + m – 2 = 0

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu?

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

3

10 1

2 2

1 + =

x

x x

x

Bài 10: Cho phơng trình: 3x2 – 4x + m – 1 = 0

a) Giải phơng trình với m = 6

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x1 = 3x2

Bài 1 1 :

Cho phơng trình: x2 – 4x + m = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Với giá trị nào của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x22 = 12

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x1 + x2

Bài 12 : Cho phơng trình: x2 – 3x - m + 2 = 0 (1)

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu?

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thảo mãn: x1 + x2 = 8

d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đôi các nghiệm của phơng trình (1)

Bài 13 :

Cho phơng trình: x2 – 2(a – 1)x + 2a - 5 = 0

a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi a

b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x2 < 1 < x1

- Nếu trờng hợp n > 2 Đặt xn = y, phơng trình (1) đa đợc về dạng

{x y

c by ay

n=

= +

Phơng trình này không có nghiêm x = 0, chia cảc hai về của phơng trình cho

x2 ≠ 0 rồi nhóm lại ta đợc: a(x2 + 12

Trở lại ví dụ 2 tacó cách giải sau:

Chia hai vế của phơng trình cho x2, rồi nhóm lại ta có:

Hạ bậc của phơng trình theo lợc đồ Hoóc ne

Ta đợc phơng trình: (x + 1)[ax4 + (b – a)x3 + (a – b – c)x2 + (b – a)x + a] = 0

Giải tiếp phơng trình đối xứng bậc chẵn:

ax4 + (b – a)x3 + (a – b – c)x2 + (b – a)x + a = 0, ta tìm đợc nghiệm của phơng trình.

Qua hai ví dụ trên ta thấy rằng:

- Nếu hạ bậc của một phơng trình đối xứng bậc lẻ, ta lại đợc một phơng trình đối xứng

- Các nghiệm của một phơng trình đối xứng đôi một nghịch đảo của nhau Nh vậy nếu a là một nghiệm của phơng trình đối xứng thì

a

1 cũng là nghiệm của phơng trình Vì lẽ đó các phơng trình đối xứng (bậc chẵn hay bậc lẻ) còn đợc gọi là phơng trình thuận nghịch (bậc chẵn hoặc bậc lẻ)

Bài tập vận dụng Bài 17: Giải các phơng trình sau:

VI/ Một số cách giải các phơng trình bậc cao

ở chơng trình toán sau này chúng ta sẽ có dịp là quen với phép giải tổng quát phơng trình bậc cao ở đây chúng ta nghiên cứu một số cách giải khác để giải phơng trình bậc cao

1 Phơng pháp đặt ẩn phụ.

Thực ra phơng pháp nay đã đợc tôi đề cập đến ơ trên khi trình bày về phơng trình bậc nhât một

ẩn Song ở trên tôi cha đi sâu mà mới chỉ đa ra và đề cập đến những phơng trình đa về phơng trình bậc nhất một ẩn ở đây tôi xin đa ra ở mức độ sâu hơn

y= +

Giải:

Ta biến đổi phơng trình (4) về dạng: (x2 + 14x + 24)(x2 + 11x + 24) 4x2

Phơng trình không có nghiệm x = 0; chia cả hai vế của phơng trình cho x2 ≠0, ta đợc: (x + 14 +

2

129 15

6 −x+ −x = 7 – x, rồi đa phơng trình (5) về dạng: y4 – 6y2 – 7 = 0 Đây là phơng trình

trùng phơng, ta rễ ràng tìm ra nghiệm y1 = 1; y2 = 8 rồi suy ra

Ta nhóm các hạng tử thích hợp ở vế trái tạo thành các bình phơng đúng rồi sử dụng công thức A2 – B2

= (A – B)(A + B) để biến vế trái thành tích

Vế phải là một đa thức bậc 4, giả sử phân tích đợc thành hai nhân tử bậc hai

x2 + px + q và x2 + rx + s, trong đó p, q, r, s là các số nguyên cha xác định, khi đó: x4 – 4x3 – 10x2 + 37x – 14 =( x2 + px + q)( x2 + rx + s)

Khai triển, nhóm các hạng tử rồi đồng nhất các số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thứ ta có hệ sau:

p + r = -4 và s + p + qr = -10 và ps + qr = 37 và qs = -14

Giải hệ phơng trình này ta đợc p = -5; q = 2; s = -7; r = 1 do đó phơng trình (7) trở thành: ( x2 - 5x + 2)( x2 + x - 7 ) = 0 Giải hai phơng trình bậc hai

x2 - 5x + 2 = 0 và x2 + x – 7 = 0, ta đợc nghiệm của phơng trình (7) là:

2

17 5 2 , 1

) (

=

x Q

x P

≠

x P x

5 3

x x

5 1

3

− +

+ + +

x

x x

5 1

1 (

15 2 2

=

− +

− +

y y

Bx c

x b ax

+ +

+ +

B b

2 2

x x

1 2 1

2 2

2 44 1

2

2 2

2

=

−

− +

−

x

x x

x x

2 , ta cã ph¬ng tr×nh 5u2 – 44v2 +12uv = 0 Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm u = v = 0; u

51

−

x

x x

x

x x

− +

− +

7 10 4

5 7

8 4

x x

1

2 5 1

2

2

2 2

x x

x

d)

12

1 15 16

15 15 15

14

15 13

2

2 2

2

−

= +

−

+

−

− +

−

+

−

x x

x x

x x

x x

Bài 23: Giải các phơng trình sau:

4

4 3

3 2

2 1

−

+ + +

− + +

− +

−

+

x

x x

x x

x x

x

b)

3

8 2

8 2

8 1

4 1

4

− +

− +

−

+

= +

− +

−

+

x

x x

x x

x x

x

) 5 (

25 2

x

x x

x3 13 6 1

e)

11 6

6 11 4

f)

x

x x

78 133

78 133 5

−

−

=

Phần IIIPhơng trình vô tỉ

Các phơng trình đại số chứa ẩn trong dấu căn gọi là phơng trình vô tỉ.

Để giải các phơng trình này, phải khử dấu căn Sau đây là một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ:

Ta phải có thêm điều kiện: x – 3 ≥ 0 <=> x ≥ 3 (4)

Với điều kiện (4) thì

PT(3) <=> 2x – 3 = (x – 3)2 (5)

<=> 2x – 3 = x2 – 6x + 9

<=> x2 – 8x + 12 = 0

<=> (x – 2)(x – 6) = 0

<=> x1 = 2; x2 = 6.

Giái trị x1 = 2 không thoả mãn ĐK (4) loại

x2 = 6 thoả mãn ĐK (2) và (4), là nghiệm của phơng trình

Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 6

Nhận xét

a) Nếu không đặt điều kiện x – 3 ≥ 0 ở (3), ta sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của (1) Chú ý rằng

từ (3) suy ra đợc (5) nhng từ (5) chỉ suy ra đợc (3) với điều kiện x – 3 ≥ 0

b) Có thể bình phơng hai vế của (1) với điều kiện x ≥ 0 (điều kiện này đã có ở

2x – 3 ≥ 0), nhng lời giải không ngắn ngọn bằng cách tách riêng căn thức ở mỗi vế

Đến đây có hai cách giải

Cách 1: Với điều kiện 2 – 7x ≥ 0 <=> x ≤

7

2 (4)thì PT(3) <=> 4 – 28x +49x2 = 4(15x2 – 13x +2) (5)

2 không thoả mãn điều kiện (1), loại

Giái trị x2 = 2 không thoả mãn (5), loại

( 3 1

3 x + + 3 x x + = (3)

<=> 33 x ( 2 x + 1 ) = − x (4)

<=> x(2x +1) = -x3 <=> x(2x + 1 + x2) = 0

<=> x(x + 1)2 = 0 <=> x1 = 0; x2= -1

Thử lại: - với x1 = 0 thảo mãn (1).

- với x2 = -1 không thoả mãn (1), loại

Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 0

Nhận xét:

Các phơng trình (1) và (2) hai tơng đơng, nhng các phơng trình (2) và (3) không tơng đơng Từ (2) ruy ra đợc (3), nhng từ (3) không suy ra đợc (2) Do đó sau khi tìm đợc các nghiệm của (3) là 0 và -1, phải thử các giái trị đó vào (1) để chọn ra nghiệm của (1)

II/ Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

<=> x = 2 không thuộc khoảng đang xét loại

- Nếu 1 ≤ x ≤ 2, thì PT (2) <=> x − 1 + 1 − x − 1 = 1luôn đúng, phơng trình vô số nghiệm với

3 (

2 9 3

16

9 4

3 2 (

4

3 (

Phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ đợc thể hiện dới nhiều dạng:

1 Chứng tỏ rằng phơng trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia.

Điều kiện để xác định của (10) là x ≥ 1 Với điều kiện này thì x < 5x, do đó x − 1 < 5 x − 1 suy

ra vế trái của (10) là số âm, còn vế phải không âm Phơng trình vô nghiệm

2 Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế.

Ta thấy x = 0 nghiệm đúng phơng trình (12)

+) Với x > 0 thì 3 2 x + 1 > 1và 3 x > 0 nên vế trái của (12) lớn hơn 1.

+) Với x < 0 thì 3 2 x + 1 < 1và 3 x < 0 nên vế trái của (12) nhỏ hơn 1.

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình (12)

4 Sử dụng điều kiện xẩy ra dấu –=– ở bất đẳng thức không chặt.

a với a > 0, b > 0, xẩy ra đẳng thức (dấu “=”) khi và chỉ khi a = b

b) 1 − x2 − x = x − 1 g) 22

9

4

1 9

1 3

3

x x

x

x = + + +

c) x2 + 6 = x − 2 x2 − 1 h)

12

7 2

2

2 2

+

x

x x

2 (

2 3

−

−

− + +

− +

−

x

x x

x x

x

2

2 )

2 (

4 ) 2 )(

+

−

x

x x

x x

2 2

2 2

+ +

+

x

x x

Theo bất đẳng thức cô-si

2

n m

2

1 2

1 2

1

1

a

= +

+ +

+

≤ +

2

1 2

Nếu a > 0, b > 0 thì 2a2 + 3ab + 2b2 > 0 Do đó a = 0 hoặc b = 0

Suy ra x = 1 hoặc x = 2 Loại x = 2 vì trái với điều kiện (*)

Phần IVPhơng trình nghiệm nguyên I/ Phơng pháp Đa về dạng tích.

Biến đổi để đa về dạng f(x,y).g(x,y) = a (a ∈Z) Với f(x,y) và g(x,y) là các đa thức với hệ số

nguyên

Từ đó ta đi giải các hệ

*) Chú ý: Ta phải xét hết các trờng hợp xẩy ra

Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên sau:

x f

m

a y

x g

) , (

) ,

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:

y

x

y xy

y x

y xy

x

Giải các trờng hợp trên với nghiệm nguyên dơng ta đợc (x = 12; y = 1)

Vậy (x = 12; y = 1) là nghiệm nguyên dơng của phơng trình

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

Giải các hệ phơng trình trên ta đợc: (x = 4; y = 7) và (x = 2; y = 7)

* Chú ý: Có thể giải bằng cách sau

1

3 2 1

1 2

− + +

=

−

+ +

=

x

x x

x x

Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau:

Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Hớng dẫn: Gọi hai cạnh góc vuông là x, y và cạnh huyền là z.

Vì x, y có vai trò nh nhau nên:

12 1

* Nếu xy = 1 => x = y = 1 thay vào (1) ta có 2 + z = z vô lý (loại)

* Nếu xy = 2, do x ≤ y => x = 1 và y = 2 thay vào (1) ta đợc z = 3 (thoả mãn)

* Nếu xy = 3, do x ≤ y => x = 1 và y = 3 thay vào (1) ta đợc z = 2 (thoả mãn)

Vậy nghiệm nguyên dơng của (1) là các hoán vị của (1;2;3) gồm: (1;2;3); (1;3;2);

(2;1;3); (2;3;1); (3;1;2); (3;2;1)

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

1 + 1 + 1 = 2

z y

Giải:

Do vai trò bình đẳng của x, y, z trớc hết ta xét x ≤ y ≤ z, ta có:

1 2

3 1

3 1 1

1

2 = + + ≤ => x ≤ => x =

x z

y

x

Thay x = 1 vào (2) ta đợc 1 + 1 + 1 = 2 => 1 = 1 + 1 ≤ 2 => y ≤ 2 => y ∈ { } 1 ; 2

y z y z

=> xz ∈ { } ,1 2 , 3

* Nếu xz = 1 => x = z = 1 thay vào (3) ta đợc y + 2 = 0 vô lý (loại)

* Nếu xz = 2

- Với x = 1; z = 2 thay vào (3) ta đợc y = 2 (thoả mãn)

- Với x = 2; z = 1 thay vào (3) ta đợc y = 3 (thoả mãn)

* Nếu xz = 3

- Với x = 1; z = 3 thay vào (3) ta đợc y = 1 (thoả mãn)

- Với x = 3; z = 1 thay vào (3) ta đợc y = 2 (không thoả mãn vì x ≤ y)

Vậy nghiệm nguyên dơng của (3) là (1;2;2); (2;3;1); (1;1;3); (3;2;1) và các hoán vị của x, y gồm:

a) xy + yz + xz = xyz + 2b)

2

1 1 1 1

= +

+

z y

= +

+

= + +

z y x

z y

x

Bài 5: Chứng minh rằng phơng trình sau không có nghiệm nguyên dơng:

12 + 1 + 12 = 1

y xy