Chứng minh rằng: mpAHB mpSCD c Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AB II.. Theo chương trình Nâng cao Câu 4b 1,0 điểm Dân số của thành phố A hiện nay là [r]
Trang 1SỞ GD& ĐT BẠC LIÊU KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: TOÁN 11
ĐỀ ĐỀ XUẤT Thời gian làm bài 90 phút
I. PHẦN CHUNG ( 8,0 điểm )
Câu 1 (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
a)
3 2012 lim
n n
Câu 2 (1,0 điểm) Cho hàm số
( )
x x neáu x
f x
x neáu x
Xét tính liên tục của hàm số f x( ) trên tập xác định của nó
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm đạo hàm của hàm số
2x 1 y
4x 5 b) Cho hàm số
sin5x 3
5 2 Giải phương trình
1
f '(x) cos x
2
Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA (ABCD) và SA =
a 3 2 a) Chứng minh rằng SA DC
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD
Chứng minh rằng: mp(AHB) mp(SCD)
c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AB
II PHẦN RIÊNG (2,0 điểm)
Phần A Theo chương trình chuẩn
Câu 4a (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x5 3x 7 0 luôn có nghiệm
Câu 5a (1,0 điểm)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x2 4x 2 biết tiếp tuyến ấy vuông góc với đường thẳng có phương trình
1
4
Phần B Theo chương trình Nâng cao
Câu 4b (1,0 điểm)
Dân số của thành phố A hiện nay là 3 triệu người Biết rằng tỉ lệ tăng dân số
hằng năm của thành phố A là 2% Hỏi dân số của thành phố A sau 3 năm
nữa sẽ là bao nhiêu?
Câu 5b (1,0 điểm)
Cho hàm số y x3 3x2 2 có đồ thị ( C) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) song song với đường thẳng có phương trình y3x 2
- Hết -
Trang 2SỞ GD& ĐT BẠC LIÊU KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: TOÁN 11
ĐỀ ĐỀ XUẤT Thời gian làm bài 90 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM ( Gồm 4 trang kể từ trang 2 trở đi)
Câu 1 (2,0 điểm)
a)
3 2012
lim
n
n
=
2012 3
lim
5 4
n n
(0,5đ) =
3
b) lim 2 4 2
4 lim
4
x
x
=
(0,25đ)
=
x
2
4
x lim
2
(0,5đ)
Câu 2 (1,0điểm)
Trên khoảng ( ;1) , f x( ) 3 x2 là hàm đa thức nên liên tục
Trên khoảng (1; , ) f x( )x3 x4 là hàm đa thức nên liên tục (0,25đ)
Tại x0 1
Ta có f(1) 5
x 1lim f (x) lim(3x 2) 5x 1
3
x 1lim f (x) lim(xx 1 x 4) 4
Vì x 1lim f (x)
x 1lim f (x)
lim f (x)x 1
không tồn tại Vậy f x( ) không liên tục tại x0 1
(0,25đ)
Trang 3Tóm lại f x( ) liên tục trên khoảng ( ;1) và trên (1; nhưng gián đoạn )
Câu 3 (2,0 điểm)
(2x 1)'(4x 5) (2x 1)(4x 5)' y'
(4x 5)
2(4x 5) 4(2x 1)
(4x 5)
8x 10 8x 4
(4x 5)
(0,25đ)
= 2
14
b) (1,0đ)
3 '( ) os5 sinx
2
f x c x
(0,25đ)
f'(x) cos x cos5x sinx cos x
cos5x cos x sinx
cos5x cos x.cos sin xsin cos5x cos x
3
3
(0,25đ)
Câu 4 (3,0 điểm)
K
M
H
D
S
A
Hình vẽ 0,5 điểm
Trang 4a) (0,5đ) Ta cĩ
SA (ABCD) (gt)
SA CD
CD (ABCD)
b) (1,0đ) Ta cĩ
CD AD (Vì ABCD là hình vuông CD (SAD)
CD SA (Vì SA (ABCD) )
(0,25đ)
CD AH (Vì AH (SAD) )
mà AH (AHB)
c) (1,0đ) Do AB//CD nên giao tuyến của (AHB) và (SCD) là đường thẳng qua H và cắt SC tại K HK // AB và CD
Trên mặt phẳng (HK,AB) dựng KM // AH cắt AB tại M
BA AD (Do ABCD là hìnhvuông BA (SAD) BA AH
BA SA (Do SA (ABCD) )
Từ (5) và do KM // AH KM AB và KM SC
Vậy KM là đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng AB và SC (0,25đ) Theo chứng minh trên suy ra AHKM là hình chữ nhật nên KM = AH
Trong tam giác vuơng SAD, AH là đường cao nên ta cĩ:
KM = AH =
2
a 3 a
SD SA AD 3a a 2.2a 4 Vậy độ dài của đoạn vuơng gĩc chung cần tìm là KM =
a 3
II PHẦN RIÊNG (2,0 điểm)
Phần A Theo chương trình Chuẩn.
Câu 4.a (1,0đ) Đặt f (x) x 5 3x 7 là hàm đa thức nên liên tục trên R
f (x) liên tục trên đoạn [ 0; 2] (0,25đ)
Ta cĩ f (0)7, f (2) 19 f (0).f (2)133 0 (0,5đ)
Suy ra phương trình cĩ ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 2)
(0,25đ)
Vậy phương trình luơn luơn cĩ nghiệm
Câu 5.a (1,0đ)
Ta cĩ y' 3x2 6x 4
Trang 5Hệ số gĩc của đường thẳng là
1 K 4
Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm thì hệ số gĩc của tiếp tuyến là 2
y'(x )3x 6x 4
Do tiếp tuyến vuơng gĩc với nên 0 0
1
K
(0,25đ)
0
0
Với x0 0 y0 2 ptt cần tìm là: y 2 4(x 0) y4x 2 (0,25đ) Với x0 2 y0 2 ptt cần tìm là: y 2 4(x 2) y4x 6 (0,25đ) Vậy cĩ hai tiếp tuyến thoả yêu cầu bài tốn cĩ phương trình là:
y = – 4x + 2 và y = – 4x + 6
Phần B Theo chương trình Nâng cao
Câu 4.b.(1,0đ)
Theo giả thiết thì số dân un theo các năm liên tiếp lập thành cấp số nhân (0,25đ)
Nên u3 3.10 (1,02)6 3 3183624 (người) (0,25đ)
Câu 5.b (1,0đ)
Hệ số gĩc của đường thẳng là K = – 3
Gọi M (x ; y )0 0 0 là tiếp điểm
Hệ số gĩc của tiếp tuyến là y'(x ) 3x0 02 6x0 (0,25đ)
Do tiếp tuyến song song với nên
y'(x ) K 3x 6x 3 x 2x 1 0 x 1 (0,25đ) Với x0 1 y0 0 , y'(x )0 3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = – 3x + 3 (0,25đ)
Hết