chuyen de cuc tri hinh hoc THCS

 Nhận xét về phương pháp giải: bằng cách vẽ trung điểm các cạnh EF, GH, và trung điểm của đường chép EG, ta tính được chu vi của tứ giác EFGH bằng hai lần độ dài đường gấp khúc AIKMC, đ[r]

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC THCS Phương pháp 1: Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc

Ví dụ 1.1:Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E,

F, G, H sao cho AE= BF= CG= DH Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H sao cho tứ giác EFGH

có chu vi nhỏ nhất

Giải:

Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là hình thoi

HAE= EBF còn suy ra AHEBEF

AHEAEH  n nBEF AEH 

90

HEF  Như vậy hình thoi EFGH là hình vuông

Gọi O là giao điểm của AC và EG Tứ giác AECG có AE= CG,

AE// CG nên là hình bình hành, suy ra O là trung điểm của AC và

của EG, do đó O là tâm của cà hai hình vuông ABCD và EFGH

HE  OE HEOE

Chu vi EFGH= 4.HE= 4 2 OE Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất  OE nhỏ nhất

Kẻ OK  AB Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: OE  OK( độ dài OK không đổi) nên OE= OK E K

Do đó min OE= OK

Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E, F, G, H là trung điểm của AB, BC, CD,

DA

Nhận xét về phương pháp giải: trong cách giải trên có các biến đổi tương đương sau:

Chu vi EFGH nhỏ nhất  HE nhỏ nhất  OE nhỏ nhất

Quan hệ OE OK (OK không đổi) cho phép ta xác định vị trí của điểm E để OE có độ dài nhỏ nhất

Ví dụ 1.2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt

Ax, By theo thứ tự ở C, D Xáx định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất

Giải: Gọi K là giao điểm của CM và DB

DCK có đường cao DM là trung tuyến nên là tam giác cân,

suy ra HDM MDB

Kẻ MH CD Do M thuộc tia phân giác cùa góc D nên: MH=

MB= a

1

.

2

MCD

.2 2

MCD

S  a aa

2

MCD

Vậy S MCD a2 Các điểm C, D được xác định trê Ax, By sao cho AC= BD= a

O

C

A

B

D

E

H

F

G

x

y

H

K

D

M

C

Chuyên đề cực trị hình học

của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng Ad có giá trị lớn nhất

Giải:

Gọi S là diện tích ABC Khi D di chuyển trên cạnh BC

ta có: S ABDS ACDS

Kẻ BE AD CF, AD ta có : 1 1

2 AD BE2 AD CFS

nên BE+ CF = 2S

AD

Do đó BE + CF lớn nhất AD nhỏ nhất

Đường xiên AD nhỏ nhất  hình chiếu HD nhỏ nhất

Ta có HD  HB ( do ABD 900) và HD = HB khi và chỉ khi DB

Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD có giá trị lớn nhất

Ví dụ 1.4: Cho hình bình hành ABCD Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình hành Gọi B’, C’, D’, lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên đường thẳng d

Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn nhất

Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD

O’ là hình chiếu vuông góc của O trên d

DD d BB d DD BB  DD’B’B là hình thang

Mà OO' d DD, ' d OO'/ /DD' và O là trung điểm BD

(ABCD là hình bình hành)

Do đó OO’ là đường trung bình của hình thang DD’B’B

2

BB DD

OO d CC dOO CC và O là trung điểm AC (ABCD là hình bình hành)

2

CC

, '

A d OO d nên OO’ OA Do đó BB’ + CC’ + DD’ = 4.OO’ 4.OA ( không đổi)

Dấu “=” xảy ra O’  Ad vuông góc AC tại A

Phương pháp 2: Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc

Ví dụ 2.1: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí các điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

Giải:

Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến  AI= 1.

2 EF

Tương tự MC= 1.

2 GH

IK là đường trung bình của EFG IK=1.

2 FG Tương tự KM= 1

2 EH

Do đó: chu vi EFGH= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)

Ta lại có: AI + IK + KM + MC  AC (so sánh độ dài đoạn thẳng và đường gấp khúc)

Suy ra: chu vi EFGH  2AC ( không đổi)

M

K I

C

D

F

H

E

G

F

E

H A

B

C D

d

O'

O

B' C'

D'

C

A

B

D

Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A, I, K , M, C thẳng hàng

 Nhận xét về phương pháp giải: bằng cách vẽ trung điểm các cạnh EF, GH, và trung điểm của

đường chép EG, ta tính được chu vi của tứ giác EFGH bằng hai lần độ dài đường gấp khúc

AIKMC, độ dài đường gấp khúc trên nhỏ nhất khi đường gấp khúc đó trở thành đoạn thẳng AC

Ví dụ 2.2: Cho tam giác ABC nhọn Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếpABC, tức là

có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của tam giác ấy

Giải:

Cách 1: Xét tam giác MNP nội tiếp ABC một cách tùy ý

(M thuộc AB, N thuộc BC, P thuộc AC) Vẽ E, F sao cho

AB là đường trung trực của NE, AC là đường trung trực

của NF

Chu vi MNP = NM + MP + PN = EM + MP + PF  EF

Ta cần xét khi nào thì EF nhỏ nhất Ta có

EAF  A  A  BAC

EAF là tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất

EF nhỏ nhất  AE nhò nhất  AN nhỏ nhất  AN BC

Như vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi N là chân đường cao kẻ từ A, còn M và P là giao điểm cùa EF với AB, AC

Ta có nhận xét rằng khi N là chân đường cao kẻ từ A thì M và P cũng là chân hai đường cao còn lại của tam giác

CM:

Xét HMP: AB là đường phân giác của góc EMH,

AC là đường phân giác ngoài của góc FPH Ta có

AB, AC gặp nhau tại A nên HA là tia phân giác của

góc MHP Vì AH  HC nên HC là đường phân giác

ngoài tại đỉnh H Theo trên AC là đường phân giàc

ngoài tại đỉnh P, HC gặp AC tại C nên MC là tia phân

giác góc trong tại đỉnh M

MB và MC là các tia phân giác của các góc kề bù

nên MB  MC Tương tự PC  PB

Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi M, N, P là chân ba đường cao của tam giác ABC Do tam giác ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên của tam giác

Cách 2: Lấy M, N, P tùy ý trên AB, BC, CA và nối tâm O

của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với M, N, P

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, S là diện

tích tam giác

2

OMBN

1 .

2

ONCP

1 .

2

OPAM

Do OA = OB = OC = R nên

1

2

OMBN ONCP OPAM

S S S S  R MNNPPM

Do đó chu vi MNP 2S

R





H A

M P

E

F

1 2

2

1 3

1

x

O

C A

B M

P

N

1 2 A

M

N

P

E

F

Chuyên đề cực trị hình học

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi OA  MP, OB  MN, OC  NP Ta sẽ CM rằng khi đó thì AN,

BP, CM là các đường cao của tam giác ABC

Thật vậy, giả sử OA  MP, OB  MN, OC  NP Kẻ tiếp tuyến Ax Ta có  

2

CM ( cùng bằng góc BAx) Chứng minh tương tự  

1

M M Như vậy MA là phân giác ngoài của tam giác MNP Tương tự PA là đường phân giác ngoài tam giác MNP Suy ra NA là đường phân giác của góc MNP Ta lại có  

N N nên NABC Chứng minh tương tự BP AC CM,  AB Tam giác MNP có chu vi nhò nhất khi và chỉ khi N, P,

M là chân các đường cao của tam giác ABC

Ví dụ 2.3: Cho tam giác đều ABC và trung điểm M của AB Trước tiên An chọn một điểm N trên

BC, tiếp đó Bình chọn một điểm P trên AC Mục tiêu của An là muốn tổng d = MN + NP + PM lớn nhất, còn Bình muốn tổng d nhỏ nhất Hỏi rằng nếu cả hai đều có cách chọn tốt nhất thì N và P là những điểm nào?

Giải Vẽ các điểm D, E sao cho AC là đường trung trực của

MD, BC là đường trung trực của ME

Độ dài đường gấp khúc DPNE bằng d

Dễ thấy hoặc PN + NE < PB + BE hoặc PN + NE < PC + CE

nên độ dài của đường gấp khúc DPNE không vượt quá độ dài

của đường gấp khúc DPBE hoặc độ dài của đường gấp khúc

DPCE Vậy để d lớn nhất thì An phải chọn N trùng B hoặc C

Rõ ràng để tổng d nhỏ nhất thì Bình phải chọn P là giao điểm

của ND và AC

Trong trường hợp An chọn N trùng B thì Bình chọn P là giao điểm của BD và AC, khi đó d = 1

d MBBPPM Còn trong trường hớp An chọn N trùng C thì Bình chọn P là giao điểm của CD và AC, chính là C, khi đó d =

d MCCM  MC

h

D

C trùng N trùng P A

B

M

Bây giờ ta so sánh d1 và d2 Đặt MC = h thì d2= 2h (1) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt MP ở B’ Ta có BP = B’P nên :

1

d = MB + Bp + PM = MB + B’P + PM = MB +B’M > BB’ = 2h (2)

Từ (1) và (2) suy ra d1d2

Do cả hai người đều chơi tối ưu nên An chọn N trùng B để có tổng d lớn nhất, sau đó Bình chọn P

là giao điểm của BD và AC

E

D

M

B

A

N

B'

P

D

C A

B trùng N

M

Ví dụ 2.4: Cho hai điểm A và B nằm trong góc nhọn xOy

Xác định điểm M trên tia Ox, điểm N trên tia Oy sao cho

đường gấp khúc AMNB có độ dài nhò nhất

Giải:

Vẽ các điểm A’, B’ sao cho Ox là đường trung trực của AA’,

Oy là đường trung trực của BB’ Độ dài đường gấp khúc

Độ dài đường gấp khúc đó nhỏ nhất trong trường hợp M, N

nằm trên A’B’

Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức trong đường tròn tìm cực trị

Ví dụ 3.1:Cho hai điểm A và B nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d, hai điềm M,N thuộc d và dộ dài MN không đổi Xác định vị trí hai điềm M, N để dường gấp khúc AMNB đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

Dựng hình bình hành BNMB’ BB’= MN = a (không

đổi); NB =MB’, B’ cố định

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d Ta

có AM =A’M, A’ cố định

Xét ba điểm A’, M, B’ ta có A’M + MB’≥ A’B’

Do đó AM + MN + NB =A’M+ MN +MB’

= (A’M+ MB’) + MN ≥ A’B’+ a (không đổi)

Dấu bằng xảy ra  M [ ';A B']

Ví dụ 3.2: Nửa đường tròn (O;R) đường kính AB M

là điểm di động trên nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, gọi D,C Lần lượt là hình chiếu của A; B trên tiếp tuyến ấy

Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác

ABCD có giá trị lớn nhất

Giải:

Ta có: AD  DC (gt), BC  DC (gt)  AD// BC

ABCD là hình thang mà D= 900

nên ABCD là hình thang vuông,

OM  DC nên OM // AD và O là trung điểm AB nên

OM là đường trung bình của hình thang ABCD



2

AD BC

OM  

2

ABCD

AD BC

S   DC OM DC

Vẽ AE  BC Tứ giác ADCE là hình chữ nhật

90

AEB= 900  E thuộc đường tròn đường kính AB,

 AE là dậy cung của đường tròn (O)

 DC  2R (trong đường tròn đườn kính là dây lớn nhất)

y

x

N M

B'

A'

O

A B

d

B'

A'

A

B

D

C

E

O

M

Chuyên đề cực trị hình học

Do đó S ABCD R R.2 2R2 (không đổi)

Dấu bằng xảy ra  AE là đường kính cùa (O)

OM  AB  M là trung điểm của cung AB

Ví dụ 3.3: Cho đường tròn (O;R) BC là dây cung cố định (BC  2R) A là diểm chuyển động trên cung lớn BC Xác định vị trí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhất

Giải:

ABC

Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AC

Ta có ABC cân tại A  BAC 2ADC

Mà BACkhông đổi  ADCkhông đổi

Mặt khác BDCkhông đổi, BC cố định  D thuộc cung chứa góc

4sd BCcủa (O) dựng trên đoạn thẳng BC

ABC

kính của cung chứa góc nói trên

Khi đó BCD= 900

Mà  ABCBDC ACBACD= 900

BDC ACD(AC = AD)

Do đó ABC ACB ABAC A là trung điểm của cung lớn BC

Phương pháp 4: Áp dụng bất đẳng thức đại số tìm cực trị

Ví dụ 4.1: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB M là điểm chuyển động trên nửa đường

tròn Xác định vị trí M để MA + 3MB đạt giá trị lớn nhất

Giải:

90

AMB  (góc nội tíếp chắn nửa đường tròn)

Tam giác MAB có M 900 nên theo định lý Pitago ta có:

4

MA MB AB  R

Áp dụng bất đảng thức |axby| (a2 b2)(x2 y2)

MA MB MA MB   MA MB  R  R

60

sd MA

Ví dụ 4.2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) Lấy điểm D trên cạnh BC ( D khác B,C ) Gọi

1, 2

r r lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD Xác định vị trí của D để tích

1 2

r r đạt giá trị lớn nhất

Giải:

D

O

C B

A

O

M

Gọi O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC, O1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, O2 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD Dễ thấy O1OB, O2OC Vì r r1, 2 > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :

1.2

2

r r

r r   Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi r1r2 Khi đó O KB1 O NC2 suy ra BK = CN Suy tiếp ra BH = CM

Từ đó AH = AM Vậy AHO1AMO2 Nên AO1 AO2, kẻ

O I  AD O J  AD Dễ thấy I trùng J và O I1 O J2

Từ đó KD = DN

Vậy D là trung điểm của BC thì tích r r1 2 đạt giá trị lớn nhất Lúc đó A, O, D thẳng hàng

Ví dụ 4.3: Cho đoạn thẳng BC cố định A là điểm di động sao cho tam giác ABC nhọn AA’ là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC Xác dịnh vị trí A để AA’.A’H đạt giá trị lớn nhất

Giải

BA H  AA C A BH  A AC

(Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc )

Do đó A’BH  A’AC  HA’/A’C = A’B/ AA’

 A’A HA’ = A’B A’C,

Ta có : A’B.A’C = A’B(BC - A’B) = A’B BC –A’B2

=

2

'

BC BC

A B BC AB

2

'

A B

Vậy AA’ HA’ 

2

4

BC

(không đổi)s

Dấu bằng xảy ra 

2

BC

= AB  A’ là trung điểm BC  A thuộc trung trực của BC

Vì ABC nhọn nên A nằm ngoài đường tròn đường kính BC

Phương pháp 5: Ứng dụng diện tích tìm cực trị

Ví dụ 5.1: Hãy tìm trong tam giác ABC một điểm M sao cho tích các khoảng cách từ M đến ba cạnh có giá trị lớn nhất

Giải: Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ m đến ba cạnh

BC, AC, AB; h h ha, b, ctương ứng là đường cao xuất phát từ

các đỉnh A, B, C Ta có:

1

ABC MBC MCA MAB

Như vậy, các số , ,

a b c

x x x

h h h có tổng không đổi, do đó tích

M H

N K

O2 O

D

A

O1

A' H A

z

x

y

H

D

E

F

A

M

Chuyên đề cực trị hình học

.

a b c

h h h lớn nhất (cũng có nghĩa là x.y.z lớn nhất) khi và chỉ khi:

1 3

h  h  h 

Khi đó M là trọng tâm tam giác ABC

Ví dụ 5.2: Cho điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB Vẽ các tam giác đều AMC và BMD về một phía của AB Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều trên là nhỏ nhất

Giải:

Cách 1: Gọi K là giao điểm AC và BD Các tam giác AMC, BMD

đồng dạng với tam giác AKB

Đặt AM = x, AB = a, SAMC  S S1, BMD  S S2, AKB  S

Ta có:

;

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x = y

2

S S  S  M là trung điểm của AB

Cách 2: Ta có

,

2

x y

S S  x y    a

2

3 min( )

8

Ví dụ 5.3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 12 cm, E là trung điểm của CD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho CF = 4 cm Các điểm G và H theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và AD sao cho GH // EF Xác định vị trí của điểm G sao cho tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó

Giải:Đặt S EFGH S, BG = x và kí hiệu như hình vẽ

AGH

AH

ABCD

S S S S S S

= 144-1 2 .(12 )2 4 12 (12 2 )

2 3 x  x   x

144 (144 24 ) 4 12 12 2

3

maxS = 75 khi và chỉ khi x = 3

Diện tích lớn nhất của tứ giác EFGH là 75cm2 với BG = 3cm

D

C

B A

K

M

x

3

2

4 1

E

B A

F H

G

Ví dụ 5.4: Cho hình vuông ABCD có AB = 6m, điểm E nằm trên cạnh AB sao cho AE = 2m Xác định vị trí điểm F trên cạnh BC sao cho hình thang EFGH ( G thuộc cạnh CD, H thuộc cạnh AB và

EH // GF // BD) có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó

Giải: Đặt BF = x, SEFGH  S

Ta có:

ABCD AEH BEF CFG DGH

2

72 4 4x 36 12x x 4x

      

 x24x32 (x2)236

MaxS = 18 khi và chỉ khi x = 2

Vậy BF = 2m Khi đó S EFGH 18m2

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Tìm vị trí của M thuộc đường tròn(O) ngoại tiếp tam giác ABC,sao cho nếu gọi D,E theo thứ tự là các hình chiếu của M trên các đường thẳng AB,AC thì DE

có độ dài lớn nhất

Hướng dẫn

ADME là hcn Kẻ đường kính AK,ta có DE=AM≤ AK.Do đó max DE=AK M≡K Khi đó DE≡BC

là hình chiếu của M trên các tiếp tuyến tại A,tại B của đường tròn Tìm vị trí của M để tích MI.MK

có giá trị lớn nhất

Hướng dẫn

Chứng minh rằng MI.MK=MH2 với H là hình chiếu của M trên AB.Do đó M phải tìm là điểm chính giữa của cung AB

sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Tìm vị trí của điểm

A để tổng HA+HB+HC có giá trị lớn nhất

Hướng dẫn

Vẽ đường kính AOK,gọi M là giao điểm của HK và BC.Ta có HA=2OM không

đổi,HB+HC=KB+KC.Do đó HA+HB+HC lớn nhất KB+KC lớn nhất

Vẽ các đường kính BB’,CC’ Khi điểm A di chuyển trên cung B’C’ thì điểm K di chuyển trên cung BC Tổng KB+KC lớn nhất khi và chỉ khi K là điểm chính giữa của cung BC.Khi đó A là

điểm chính giữa của cung lớn BC

CACBcó giá trị nhỏ nhất

4

6-x

x 4

2

A

E

H

F

G

Chuyên đề cực trị hình học

Hướng dẫn

x y xy x y





Do đó 1 1

x ynhỏ nhất  x+y nhỏ nhất  C là điểm chính giữa của cung AB

gọi H,I,K theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB,BC,AC, thì tổng MA+MB+MC+MH+MI+MK

có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Hướng dẫn

Đặt MA+MB+MC=d1, MH+MI+MK=d2, d=d1+d2 Chứng minh rằng

d1=2MA, d 1(2S ABC 4S MBC)

a

d nhỏ nhất khi M≡B hoặc M≡C (khi đó cả d1 và d2 đều nhỏ nhất)

d lớn nhất khi M ở chính giữa cung BC (khi đó cả d1 và d2 đều lớn nhất)

đường tròn đường kính AB và các tiếp tuyến Ax,By Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đó Đường vuông góc với IM tại M cắt Ax,By theo thứ tự D,E

a) Chứng minh rằng tích AD.BE có giá trị không đổi

b) Tìm vị trí của M để hình thang ADBE có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn

a) Áp dụng tứ giác nội tiếp  AD BE  AI BI

b) Diện tích hình thang ABED nhỏ nhất khi và chỉ khi AD + BE nhỏ nhất khi và chỉ khi

IM  AB

(O’;R’) Dây cung AB của (O;R) di động và tiếp xúc với (O’R’) Gọi C là tiếp điểm Xác định vị trí của dây cung AB để tổngS=AC2+BC2 đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó theo R và R’

Hướng dẫn

Gọi H là trung điểm của AB  OH AB Vẽ OK O’C  OHCK là hcn

AC2 + CB2 = 2(R2 − OH2)+(O’O2 − O’K2)

S = 2R2 − 2OH2+2R’2 − 2(R’ − OH)2 = (2R2 + R’2) − (R’ − 2OH)2 ≤ 2R2 +R’2

Smax = 2R2 + R’2 khi R’ = 2OH  OH = '

2

R

Vậy AB là tiếp tuyến chung ngoài của (O’;R’) và (O; '

2

R

)

vuông góc với AB và MF vuông góc với BC Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Hướng dẫn

Đặt AE=x, CF=y => MF=CF=BE=y

x+y=a

SDEF = SABCD − SDAE − SDCF − SBEF = 2

ax ay xy

a    =

2

2 2

a xy



Ta có SDEF nhỏ nhất  x.y nhỏ nhất