chuyên đề cực trị hình học

Về mặt khách quan thực tế chuyên đề cực trị hình học đã xuất hiện ở nhiều tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi .Trong những tài liệu đó : có những tài liệu vấn đề bất đẳng thức và cực trị hì

A-PHẦN MỞ ĐẦU I- Lý do chọn đề tài:

Chuyên đề : “Cực trị hình học” chúng tôi viết nhằm hưởng ứng chương trình sinh hoạt giao lưu chuyên môn của các trường THCS và trường THPT chuyên của tỉnh Bắc Ninh Việc viết chuyên đề cực trị hình học hoàn toàn do sự thống nhất của nhóm các giáo viên Toán của tỉnh đã lựa chọn Về mặt khách quan thực

tế chuyên đề cực trị hình học đã xuất hiện ở nhiều tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Trong những tài liệu đó : có những tài liệu vấn đề bất đẳng thức và cực trị hình học được viết thành một chuyên đề riêng như : Chuyên đề bất đẳng thức

và cực trị trong hình học phẳng (Tác giả Nguyễn Đức Tấn - Nhà xuất bản giáo dục năm 2000) , Các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng ở trung học cơ sở ( Nhóm tác giả Vũ Hữu Bình, Hồ thu Hằng, Kiều Thu Hằng, Trịnh thúy Hằng -Nhà xuất bản giáo dục năm 2003) Có những tài liệu chuyên đề cực trị hình học được viết cùng với các chuyên đề hình học khác: Toán bồi dưỡng , Toán nâng cao và các chuyên đề , Một số vấn đề phát triển hình học, Về mặt chủ quan chúng tôi thấy áp dụng vào thực tế giảng dậy còn gặp những hạn chế nhất định.Do đó từ nhu cầu thực tế giảng dậy sau khi đọc cáccuốn tài liệu đó, đọc các bài viết của các nhà giáo trên tạp chí Toán tuổi thơ , Toán Học & Tuổi Trẻ, làm và đọc các lời giải của các đề thi HSG, các đề thi giảiToán qua thư và các lời giải về những bài toán cực trị trên các diễn đàn Toán học chúng tôi chọn cách viết chuyên đề với tâm thế là người học hỏi, suy ngẫm viết lại để thuận lợi nhất cho công việc giảng dậy của mình và công việc nghiên cứu tự học của học sinh Chuyên đề được viết với mục đích dành cho giáo viên tham khảo để giảng dậy và học sinh dùng làm tài liệu tự học hay học có sự hướng dẫn của giáo viên, bởi thế trong các bài toán chúng tôi chỉ tập trung phân tích và chỉ ra điểm mấu chốt theo quan điểm của mình để tìm ra lời giải của bài toán nhằm làm bật lên bản chất của bài toán liên quan đến vấn đề đang trình bày một mặt nhằm cho người đọc không bị phân tán về các yếu tố phụ, một mặt chia

sẻ với người đọc về hướng tiếp cận bài toán của chúng tôi.Rất mong ý tưởng đó được người đọc chia sẻ

II- Một vài lời giới thiệu:

Để thuận lợi cho người đọc chúng tôi trình bày chuyên đề theo ba chương:

Chương I: Những vấn đề cơ sở.

- Trình bày những vấn đề chung có tính lý thuyết cơ sở của bài toán cực trị hình học

Chương II: Phương pháp giải toán

Chúng tôi xin trình bầy hai vấn đề chính là:

- Bốn phương pháp giải toán cực trị hình học.

- Những sai lầm thường gặp khi giải toán cực trị hình học.

Đây là phần trọng tâm, trên cơ sở nhận thức đóng vai trò như một người giải toán chúng tôi tiếp cận bài toán hình học theo một số phương pháp như sau:

- Phương pháp vận dụng các bài toán cực trị quen thuộc.

và bình luận.Trong các bài toán minh họa cho mỗi phương pháp chúng tôi xin không trình bày lời giải chi tiết của mỗi bài hoặc các phần không nằm trong chuyên đề cần trình bày, việc này xin người đọc tự hoàn thiện.

Chương III: Các bài tập tự luyện

Trong chương này chúng tôi lựa chọn sưu tầm một số đề thi có thể giải bằng

nhiều cách, lựa chọn một số ít bài cực trị trong các tạp chí Toán để các bạn tự lựa chọn phương pháp

Phải nói rằng mặc dù chúng tôi đã hết sức cố gắng nhưng do khả năng có hạn trong quá trình viết không trách khỏi thiếu xót, rất mong nhận được sự thông cảm, chia sẻ và góp ý của quí đồng nghiệp cho chúng tôi Cảm ơn rất nhiều!

Một số kí hiệu được viết tắt:

- S ABC,CABC: diện tích , chu vi của tam giác ABC

- HSG: học sinh giỏi

-THPT,THCS : Trung học phổ thông, Trung học cơ sở

- KHTN : Trường đại học Khoa Học Tự Nhiên

- TTT2 : Toán tuổi thơ 2

- TH & TT : Toán Học và Tuổi Trẻ

B-PHẦN NỘI DUNGCHƯƠNG I:NHỮNG VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT.

I-THẾ NÀO LÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC:

Một số bài toán hình học mà trong đó các hình được nêu ra có cùng chung một tính chất nào và ta phải đi tìm được hình sao cho có một đại lượng nào đó ( độ dài , chu vi , diện tích, số đo góc, ) đạt giá trị lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất được gọi chung là bài toán cực trị hình học

Chú ý : Ta cần giải quyết đầy đủ việc tìm được vị trí, kích thước, giá trị, hình

dạng của hình đạt cực trị và các yêu cầu liên quan mà đề bài yêu cầu

II-PHƯƠNG HƯỚNG CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC:

Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh rằng hình đó có đại lượng cần tìm là cực trị lớn hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác ( nếu tìm GTLN) và nhỏ hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác ( nếu là bài toán tìm GTNN)

Cách 2: Để tìm cực trị của A

Bước 1: Đi chứng minh A  m ( A M) trong đó m, M không đổi Bước 2: Chỉ ra hình sao cho A = m (A=M)

Bước 3: Kết luận : GTNN của A =m, GTLN của A =M

Chú ý : Ta thường trình bày lời giải bài toán cực trị theo cách 2.

III - HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN:

Để giải bài toán cực trị hình học chúng ta thường dựa vào các định lý và tínhchất cơ bản sau:

1) Quy tắc các điểm:

* Quy tắc ba điểm A,B, C: Dấu “=” xảy ra  CAB

a) AB AC CB  Dấu “=” xảy ra  CAB

b) ABBC CA Dấu “=” xảy ra  A,B,C thẳng hàng

* Quy tắc n điểm A A1 ; ; ;A 2 n

c) Góc ngoài lớn hơn góc trong không kề với nó

3)Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu:

- Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên

- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

4) Quan hệ giữa góc và tỉ số lượng giác:

Cho 0    ,  90 0 ta có:

+     sin   sin  ;     tan   tan 

+    cos   cos  ;     cot   cot 

5) Quan hệ giữa đường kính và dây cung,dây và khoảng cách từ tâm đến dây, cung và dây căng cung:

- Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn

- Trong đường tròn (O): AB,CD là hai dây cung căng hai cung nhỏ AB CD,  , H

và K là hình chiếu vuông góc của O trên AB và CD:

Ta có: OH OK  AB CD  AB CD   AOB COD 

III)HỆ THỐNG MỘT SỐ KẾT QUẢ CỰC TRỊ QUEN THUỘC:

Để giải các bài toán cực trị hình học ngoài việc nắm chắc các kiến thức cơ bản

ở trên chúng ta cũng cần nắm được một số kết quả “quen thuộc” ( bài toán gốc) Những kết quả này như một định hướng để chúng ta có cơ sở tìm ra lời giải của bài toán.Phải nói thêm rằng tính “quen thuộc” mang sắc thái tương đối với từng người và tính chất của từng cuộc thi

Ví dụ :

Bài toán : Cho hai dây AC và BD vuông góc với nhau tại điểm P cố định

nằm trong đường tròn (O) Tìm Min, max của chu vi tứ giác ABCD Là để thi học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 1996-1997 nhưng thực chất là đưa về bài toán cơ bản: Tìm Min, max của tổng AC +BD

Dưới đây tôi xin hệ thống một số kết quả thường dùng trong giải toán cực trị cực trị Những kết quả này phần lớn là đã có ở sách giáo khoa và sách bài tập 1) Trong tam giác ABC, A B C' ' ' có AB A B AC ' ' , A C' 'thì:

5)Cho A, B cố định đường thẳng a quay quanh B AB lớn nhất khi và chỉ khi

10)Trong tam giác ứng với cạnh lớn nhất là đường cao bé nhất, phân giác nhỏ

nhất, trung tuyến nhỏ nhất.( Kết quả về phân giác cũng là một bài toán không hề

AB nhỏ nhất khi và chỉ khi B trùng với C

AB lớn nhất khi và chỉ khi B trùng với D

13)Cho hai đường tròn (O) và (O') Cắt nhau ở A và B Một cát tuyến qua A cắt (O) và (O') ở M và N MN lớn nhất khi và chỉ khi MN song song với OO' 14)Cho điểm M di động trên cung tròn AB cố định MH vuông góc với AB tạiH

- MH lớn nhất khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung AB

- Chu vi tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung

AB( Phát biểu cách khác: Trong các tam giác có chung đáy và góc ở đỉnh đối

diện với đáy chung không đổi tam giác cân có chu vi lớn nhất)

- Diện tích tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung AB

Chú ý :

+ Khi dùng các kết quả này ta có thể dùng dưới khía cạnh giúp ta nhìn thấy lờigiải của bài toán Khi trình bày thì có thể chứng minh trước như một bổ đề hoặc trình bày kèm trong lời giải

+Khi dùng các kết quả trên có thể điều kiện cực trị không xảy ra theo ý muốn

do sự “bó buộc” của các điều kiện cụ thể trong bài toán khi ấy cần áp dụng một cách linh hoạt

*

***

CHƯƠNG II:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Trước tiên, chúng ta đều biết việc phân chia phương pháp giải một loại toán nào đó để đảm bảo các phương pháp không giao nhau và hợp vào mang tính baotrùm là vô cùng khó khăn.Về mặt chủ quan nó phụ thuộc vào năng lực và nhận thức của người viết, về mặt khách quan không ít những bài toán ta phải phối hợpnhiều phương pháp để giải, do đó để tách bạch các phương pháp là không hề

đơn giản.Phương pháp chung để giải bài toán cực trị là : Tìm cách đánh giá các đại lượng cần tìm cực trị bằng các kiến thức cơ bản liên quan với một đại

lượng, hằng số không đổi.Chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào và kết luận.Do đó

việc phân chia các phương pháp giải toán cực trị hình học dưới đây trên quan điểm là dựa vào tư tưởng tiếp cận và công cụ sử dụng để giải bài toán đó.Để minh họa cho bốn phương pháp các bạn theo dõi ví dụ sau:

Ví dụ: (Thi HSG Bắc Ninh 2013)

Cho ABC thay đổi, có AB = 6 và CA = 2CB Tìm GTLN của diện tích

ABC

Hướng dẫn giải 1:- Dựa vào bài toán cơ bản :Cho điểm M di động trên

cung tròn AB khi M là điểm chính giữa cung AB thì khoảng cách từ M đến AB lớn nhất mà AB không đổi do đó khi ấy diện tích tam giác AMB lớn nhất )

Phân tích: Nhận thấy AB = 6 không đổi và tỉ số CA 2

CB  không đổi Dựa vào đường tròn A-pô-lô-ni-út hay nói cách khác liên hệ đến tính chất đường phân giác cho phép ta biết được C di động trên đường tròn đường kính DE ( D, E lần lượt là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác CAB) dùng bài toán cơ bản cho phép ta thấy được cực trị của bài toán

Lời giải chi tiết:

Vẽ phân giác trong CD, phân giác ngoài CE, đường cao CH của ABC Gọi đường (O) là đường tròn đường kính DE.Lấy M là điểm chính giữa cung DE Xét ABC ta có CD là phân giác ( cách vẽ)

E

D A

C

O

M

H B

Xét CDE ta có : CD CE ( tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù)  CDE vuông tại C  C  (O)  CO = MO ( cùng là bán kính)

Dấu “=” xảy ra  C trùng với M

Mặt khác nếu C trùng M : OM DE ( do M là điểm chính giữa cung DE của đường tròn (O) )

 MOB MOA,  cùng vuông tại (O).Áp dụng Py ta go ta có:

Hướng dẫn giải 2: ( Lời giải dựa trên phương pháp sử dụng bất đẳng thức hình

Lời giải chi tiết:

Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AC = 4CD.Kẻ đường cao CH của ABC, kẻ

DE  AB tại E.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C lấy D’ sao cho

BD’

AB và BD’= 3.Trên tia đối của tia D’A lấy C’ sao cho  ' '  '

C BD C AB Xét C BD' ' và C AB' có: C BD ' ' C AB ' mà AC B' chung

Dấu “=” xảy ra  D trùng D , C trùng C' ( theo (*) C' thỏa mãn )

Vậy giá trị lớn nhất của S ABC  12 (đvdt)

Hướng dẫn giải 3: ( Lời giải dựa vào phương pháp sử dụng bất đẳng thức đại

số)

Phân tích: Ý tưởng dùng bất đẳng thức đại số là: Đặt BC = x  CA =2x dùng công thức Hê - rông cho phép ta tính được S tích theo x sau đó dùng Côsi cách này nhanh nhưng đó là cái “nhanh” do đi bằng đôi chân của Hê-rông

Lời giải chi tiết: Đặt BC = x ( x> 0)  AC = 2x

Điều kiện để tồn tại ABC AC BC AB AC BC 

Vậy giá trị lớn nhất của S ABC  12 ( đvdt)

Hướng dẫn giải 4: ( Lời giải dựa vào phương pháp sử dụng hàm số)

Nếu nhận thấy AB =6 không đổi ta đi theo hướng là tính chiều cao CH theo x ABC

S

 theo x rồi khảo sát S ABC theo x ta có lời giải:

Lời giải chi tiết: Đặt BC = x ( x> 0)  AC = 2x

Điều kiện để tồn tại ABC AC BC AB AC BC 

Đặt HB = y, AH = 6- y Ta có CHA CHB,  lần lượt vuông tại H ( do AH 

AB) Áp dụng định lý Pytago ta được:

2 2

f t  t 

H

C

B A

Để tồn tại tam giác ABC không tù tại B ta có:

Bình luận:+ Lời giải trên nhằm minh họa cho phương pháp hàm số còn nếu sử

dụng bất đẳng thức đại số ở trường hợp 1 ta đánh giá SABC 12 và trường hợp 2 tađánh giá luôn 3  2 2

I-PHƯƠNG PHÁP 1:VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ QUEN THUỘC

1) Định hướng chung của phương pháp:

Trước tiên chúng tôi cho rằng đứng trước một bài toán một cách “bản năng” hẳn chúng ta thường nghĩ đến một bài toán quen thuộc nào đó để tìm ra cách giải bài toán đang phải đối mặt.Thông thường chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm mối quan hệ của đại lượng cực trị với một số đại lượng liên quan hoặc phát hiện yếu tố không đổi, cố định để nhận ra những kết quả quen thuộc Bước 2: Tìm cách vận dụng kết quả quen thuộc để tìm lời giải bài toán

Bước 3: Chọn trình bày bài toán quen thuộc trước hoặc trình bày lời giải theo ýcủa bài toán quen thuộc

2) Các ví dụ minh họa và phân tích hướng giải:

Ví dụ 1: (Thi HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2014)

Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB cố định Ax và Ay là hai tia thay đổi luụn tạo với nhau một gúc 600, nằm về hai phớa của AB, cắt đường trũn (O) lần lượt tại M và N Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF.

1 Chứng minh rằng EF 3

AB

2 Chứng minh OMKN là tứ giỏc nội tiếp

3 Khi tam giỏc AMN đều, gọi C là điểm di động trờn cung nhỏ AN (

Với tam giỏc AMN đều: Chỳng ta nhận ra tam giỏc MCD cõn tại C và cú gúc ở

đỉnh bằng 120 0 điều đú cho chỳng ta ý tưởng đi tớnh diện tớch tam giỏc theo cạnh

Vớ dụ 2: ( Thi vào THPT Bắc Ninh năm 2007)

Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định.H là điểm thuộc đoạn OB sao cho

HB = 2 OH.Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H.Gọi E là điểm di động trên cung nhỏ CB sao cho E không trùng với C và B Nối A với E cắt CD ở I

1)Chứng minh tứ giác BHIE nội tiếp đợc đờng tròn

2) Chứng minh AD2 = AI.AE

N

M

B A

C D

3)Tính AI.AE -HA.HB theo R

4) Xác định vị trí của E để khoảng cách từ H đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác DIE ngắn nhất

Hướng dẫn giải phần 4):

Ta thấy : Khi E di động thỡ H cố định,cần xột xem tõm đường trũn ngoại tiếp

tam giỏc DIE thay đổi như thế nào khi E thay đổi Ta thấy tõm J của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc DIE di động trờn BD.Ta cú lời giải của bài toỏn:

Gọi (J) là đờng tròn ngoại tiếp tam giác DIE, kẻ HK BD tại K, (K;KD) cắt

CB tại Q Trên nửa mặt phẳng bờ DE chứa điểm I kẻ tia Dx là tiếp tuyến của (J)

Ta có: IED IDx   ( hệ quả góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn DI của (J)) mà ADI DEI ( cmt)  ADI  xDI  DA trùng với Dx

mà Dx là Dx là tiếp tuyến của (J) tại D theo cách vẽ  DA là tiếp tuyến của (J) tại D  JD DA lại có BD DA (cmt)  JD trùng với BD  J BD

Ta có : HK BD tại K , JBD  HJ HK ( quan hệ đờng xiên hình chiếu)

ta thấy khi E thay đổi trên cung BC thì H, BD cố định nên HK không đổi

Để HJ bé nhất  HJ = HK  J K mà E là giao của (O) và (J) tại cung BC

+ Lời giải dựa vào bài toỏn :Cho điểm A cố định, điểm B di động trờn đường

thẳng a cố định AB nhỏ nhất khi và chỉ khi AB vuụng gúc a.

I

E

Phần a) Cho ta kết luận tập hợp I là đường tròn đường kính OB.Do đó để biết

AC lớn nhất khi nào ta nghĩ đến AI lớn nhất khi nào A cố định và I di động trênđường tròn đường kính OB cố định bài toán cơ bản cho ta hướng giải phần b bàitoán này

Bước 1: Gọi E là giao của AI và đường tròn đường kính OB sao cho I nằm giữa

A và E Đi chứng minh AC 2AE

Bước 2: Chỉ ra dấu bằng xảy ra khi I trùng E và từ đó suy ra vị trí điểm D cần xác định

Chú ý:

- Cần xét tính tồn tại của B và điều kiện của bài toán

- Lời giải dựa vào bài toán : Cho điểm B di động trên đường tròn (O) cố định

và A cố định nằm ngoài đường tròn (O) AO cắt đường tròn (O) tại C, D( C nằm giữa A và D):

AB nhỏ nhất khi và chỉ khi B trùng với C

AB lớn nhất khi và chỉ khi B trùng với D

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M là điểm bất kì

thuộc cung BC không chứa A Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB,AC.Tìm vị trí của M để DE có độ dài lớn nhất

Hướng dẫn giải:

I O

A

C

B D

E

M

O

Nhận thấy tam giỏc ADE cõn tại A và DAE  2 BAC khụng đổi Dựa vào bài toỏn

cơ bản ta cú được DE lớn nhất  AD lớn nhất, lại cú AD = AM là dõy cung củađường trũn (O) do đú AD lớn nhất khi và chỉ khi AM là đường kớnh ta cú hướnggiải bài toỏn

Bước 1: Kẻ đường kớnh AI, gọi H và K là hai điểm đối xứng với I qua

AB,AC.Chứng minh hai tam giỏc cõn ADE và AHK đồng dạng

+ Nếu đề bài cho tam giỏc ABC tự ở B hoặc C thỡ là tỡnh huống khụng cẩn thận

là sai làm mong người đọc thử suy nghĩ

+Lời giải dựa vàohai bài toỏn : Trong cỏc tam ABC, A B C' ' ' lần lượt cõn tại

A và A' cú BAC B AC  ' ' 'thỡ: BC B C ' '  AB A B ' ' từ đú suy ra khi cạnh bờn lớn nhất thỡ cạnh đỏy lớn nhất kết hợp với bài toỏn trong đường trũn đường kớnh là dõy cung lớn nhất.

Vớ dụ 5: Đề thi THPT tỉnh Bắc Ninh năm 2010

Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R.Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa

đờng tròn (O) và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với nửa đờng tròn(O) tại điểm M cắt

Xét DOE ta có: OM DE  Diện tích của DOE là : .

 OM AB  M là điểm chính giữa cung AB

Vậy M là điểm chính giữa cung AB thì diện tích tam giác DOE đạt giá trị nhỏ nhất

+ Lời giải dựa vào bài toỏn : Cho hai đường thẳng song song a,b cố định A,B

lần lượt di động trờn a,b AB nhỏ nhất khi và chỉ khi AB  a

Vớ dụ 6 :

Cho đường trũn (O) và đường thẳng a cố định khụng giao nhau M là điểm di động trờn đường thẳng a, Kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường trũn (O) ( A,B là tiếp điểm) Xỏc định vị trớ của M để AB nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

D

E M

O

H

+ Nhận thấy khi M thay đổi theo dõi sự thay đổi của AB nhận định có thể ở vị trí OM vuông góc với a thì AB nhỏ nhất Vẽ trường hợp OM ở vị trí vuông góc với a ( M trùng N trên hình vẽ) dự đoán AB đi qua điểm cố định nằm trên ON ta

có hướng giải thứ nhất:

Bước 1: Kẻ ON vuông góc với a, gọi K là giao điểm của AB và ON ta đi chứng minh K cố định

Bước 2: Do AB là dây cung đi qua điểm cố định K, dựa vào bài toán quen thuộc

ta có khi AB vuông góc với OK thì AB nhỏ nhất Chứng minh điều đó cho ta vị trí của M cần xác định

Chú ý:

+ Lời giải trên dựa vào bài:Trong các dây cung của (O) đi qua điểm A cố

định nằm trong đường tròn Dây vuông góc với OA là dây nhỏ nhất

+ Theo khía cạnh khác: Dựa vào hệ thức lượng ta có thể tính được AB theo

OM và R ,ta đi tính AB theo OM và R rồi dùng đại số tìm cực trị của AB theo

Cho tam giác OMN đều, cạnh a không đổi, đỉnh O nằm trên đường thẳng xy

cố định ( M,N nằm cùng trên nửa mặt phẳng xy và M,N không nằm trên đường thẳng xy) Qua M kẻ đường thẳng song song với ON cắt xy tại E.Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt xy tại F

a) Chứng minh rằng: MNE và NFM đồng dạng với nhau

b) Gọi I là giao của EN và FM, xác định vị trí của MN để IMN có chu vi lớn nhất

Hướng dẫn giải phần b):

Ta có thấy ngay IMN có cạnh đáy không đổi, do đó chu vi IMN lớn nhất  MI + NI lớn nhất Điều này gợi cho ta đến bài toán cực trị cơ bản Do đó

ta thử tìm cách chứng minh được MIN không đổi là có cách giải

Bước 1: Đi chứng minh bài toán cơ bản

O

.

H K

A B

a

Bước 2: Đi chứng minh  0

+ Lời giải trờn dựa vào bài :Trong cỏc tam giỏc cú đỏy khụng đổi và gúc ở

đỉnh đối diện với đỏy khụng đổi, tam giỏc cõn cú chu vi lớn nhất

+ Với bài này khi trỡnh bày nờn trỡnh bày bài toỏn cực trị cơ bản trước.

3) Bài tập cựng phương phỏp và bỡnh luận:

Bài 1: Cho đường trũn (O) và điểm A nằm ngoài đường trũn, kẻ tiếp tuyến

AB,AC với đường trũn (B,C là tiếp điểm) Gọi D là điểm di động trờn cung BC nhỏ Gọi H, I,K lần lượt là hỡnh chiếu của D trờn AB,BC,CA.Xỏc định vị trớ của

D để : T = DH.DI.DK lớn nhất

Bỡnh luận : Mấu chốt là chứng minh: DH.DK = DI2  T = DH.DI.DK =DI3

Từ đú khai thỏc bài toỏn 14 suy ra khi D là điểm chớnh giữa cung BC nhỏ thỡ T

lớn nhất

Bài 2: (HSG Bắc Ninh 2003)

Cho (O,R) và dây cung AB cố định trơng cung 1200 Lấy C thay đổi trên cunglớn AB ( C không trùng với A và B ) M trên cung nhỏ AB ( M  A, B )

Hạ ME, MF thứ tự vuông góc với AC và BC

1) Cho M cố định , hãy chứng minh : EF luôn đi qua điểm cố định khi C thay

đổi

2) Cho M cố định , hãy chứng minh giá trị

MF

BC ME

BC ME

AC





Đạt giá trị nhỏ nhất

Bỡnh luận : a) Phần a khai thỏc đường thẳng Simson: Chứng tỏ FE đi qua K là

chõn đường vuụng gúc hạ từ M xuống AB

nhất khi MK lớn nhất khai thác bài 14 ta có ngay kết quả M là điểm chính giữa

của cung AB không chứa C

C lớn nhất  S ABC lớn nhất khi đó bài toán 14 cho ta biết A là điểm chính

giữa của cung lớn BC

Bài 4: :(HSG Tỉnh Thanh Hóa 2013) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung

tuyến AD Điểm M di động trên đoạn AD Gọi N và P lần lượt là hình chiếu củađiểm M trên AB và AC Vẽ NH  PD tại H Xác định vị trí của điểm M để tamgiác AHB có diện tích lớn nhất

Bình luận: Mấu chốt của bài toán là chứng minh được AHB 90 0 sau đó nếunhìn AHB có đáy AB không đổi thì diện tích lớn nhất khi tam giác AHBcânsuy ra H trùng D  M trùng D Nếu nhìn S AHB HA HB. với chú ý :

HA HB AB không đổi thì dùng bất đẳng thức đại số

Bài 5: ( HSG Tỉnh Quảng Ngãi 2009)

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A Trên đườngtròn (O; R) vẽ dâyAB = R Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắtđường tròn (O’; r) tại N (N khác A) Đường thẳng qua N và song song với ABcắt đường thẳng MB tại E

a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vị trí điểm Mtrên cung lớn AB

b) Tìm vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tam giác MNE có diện tíchlớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó

Bình luận: - Ở phần a có tính gợi ý để ta chứng minh được : NE R r

Diện tích tam giác MNE lớn nhất  Diện tích tam giác AMB lớn nhất

Đến đây bài toán 14 cho ta biết kết quả là : M là điểm chính giữa cung

AB lớn

Bài 6: ( HSG Tỉnh Nghệ An 2012)

Cho đường tròn (O;R) và một dây BC cố định không đi qua O Từ một điểm A bất kỳ trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC).Gọi I là trung điểm của dây BC, đườngthẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P

a) Chứng minh: NP // BC

b) Gọi giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng OI là K Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn nhất

Bình luận: Ta gọi giao của MN với OA là H đi chứng minh OI.OK = OH.OA

=OM2= R2 suy ra K cố định suy ra ONK có OK cố định.Do đó diện tích

ONK

 lớn nhất khi khoảng cách từ N đến OK lớn nhất Gọi E, F là giao của OK

với (O) khi đó bài toán 14 cho ta biết khi N là điểm chính giữa của cung EF

thỏa mãn từ đó suy ra được vị trí của A cần tìm

Bài 7: ( HSG Tỉnh Đăknông năm 2013)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R Gọi I là trung điểm đoạn thẳng

OB, M là điểm nằm trên đường tròn (O) Đường thẳng trung trực d của đoạn OBcắt AM, BM lần lượt tại N, P

Bình luận: Ta thấy chu vi tứ giác AMPO là C AMPO AM MP PO OA  

AM MB OA 

Do OA không đổi theo bài toán 14 ta thấy ngay MA + MB lớn nhất khi M là

điểm chính giữa cung AB

Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ

AB chứa nửa đường tròn (O) ,kẻ hai tia tiếp tuyến Ax , By của nửa đường tròn

và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M cắt hai tia Ax, By lần lượt tại D và E Xác định vị trí của M để AD + BE nhỏ nhất

Bình luận : Đây là bài quen thuộc ta có ngay AD + BE = DE mà D, E di động

trên hai đường thẳng Ax // By cố định do đó theo bài toán 6: DE nhỏ nhất khi

DE Ax từ đó lập luận chỉ ra vị trí của M

Bài 9: ( HSG Kiên Giang 2013) Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm

O M thuộc cung nhỏ BC Xác định vị trí của M để MA+MB+MC nhỏ nhất

Bình luận: Mấu chốt của bài toán là ta chứng minh kết quả quen thuộc :

MB+MC = MA  T = MA+MB+MC = 2MA sau đó dùng bài toán cực trị trong đường tròn đường kính là dây lớn nhất

Bài 10: ( Trích đề thi THPT Hà Nội) Cho đường tròn đường kính AB , gọi I là

trung điểm của OB, dây CD vuông góc với OB tại I M di động trên cung CD nhỏ Xăc định vị trí của M để MC+MD+MA lớn nhất

Bình luận: Mấu chốt của bài toán là khi đó tam giác ACD đều do đó ta chứng

minh kết quả quen thuộc : MC+MD = MA  T = MA+MC+MD = 2MA sau đódùng bài toán cực trị trong đường tròn đường kính là dây lớn nhất

Bài 11: ( Trích đề thi chuyên Hà Tĩnh 2008-2009)

Cho đường tròn (O) dây AB không đi qua O, M di động trên cung nhỏ AB Xácđịnh vị trí của M để T = 2008MA+2009MB lớn nhất

Bình luận : Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MC = 2008

2009MB

 T = 2008( MA+MC) = 2008 AC Lại có ta chứng minh được ACB 

không đổi do C thuộc cung tròn chứa góc  dựng trên đoạn AB từ đó suy ra AClớn nhất khi AC là đường kính của cung tròn này ta xác định được vị trí của C suy ra vị trí của M

Bài 12: ( Đề thi HSG Hà Nội 2008)

Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC< 2R.Điểm A di động trên cung lớn BC ( A không trùng với B và C) Gọi M là trung điểm của AC, H là hình chiếu vuông góc của M trên AB Xác định vị trí của M trên cung lớn BC để CH lớn nhất

Bình luận : Kẻ đường kính BD, CE Gọi Q là trung điểm của CD Mấu chốt của

bài toán là ta đi chứng minh HM đi qua Q từ đó suy ra H di động trên đường

tròn ngoại tiếp tam giác ACQ cố định do đó khi A trùng E thì CH là đường kínhcủa đường tròn thì CH lớn nhất.

Bài 13 : ( Chuyên Sư Phạm 1992):

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau ở hai điểm phân biệt A và B.Mọt cát tuyến thay đổi đi qua A cắt (O1) tại C và cắt (O2) tại D sao cho A nằm trongđoạn CD.Tìm vị trí của cát tuyến CD sao cho chu vi tam giác BCD nhận giá trị lớn nhất

Bình luận : Mấu chốt của bài toán là :

không đổi ta có kho BD lớn nhất là đường kính thì C CBD lớn nhất

Bài 14: ( Thi HSG Hà Nội 2004)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, một dây cung MN =R di chuyển trên nửa đường tròn.Qua M kẻ đường thẳng song song với ON, đường thẳng nàycắt đường thẳng AB tại E Qua N kẻ đường thẳng song song với OM, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại F

a) Chứng minh hai tam giác MNE và NFM đồng dạng

b) Gọi I là giao điểm của EN và FM Hãy xác định vị trí của dây MN để tam giác MIN có chu vi lớn nhất

Bình luận : Mấu chốt là từ phần a suy ra MIN không đổi, mà MN không đổi do

đó theo bài toán 14: trong các tam giác có chung đáy và góc ở đỉnh đối diện với

đáy chung không đổi tam giác cân có chu vi lớn nhất ta suy ra vị trí của dây MN

để tam giác MIN cân

Bài 15:

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại

B MN là đường kính khác AB Gọi C, D lần lượt là giao của AM, AN với đường thẳng d Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCN Xác định vị trí của MN để JO nhỏ nhất

Bình luận : Mấu chốt của bài toán là: Chứng minh được J thuộc đường thẳng song song và cách d một khoảng R do đó từ bài toán Cho điểm A cố định, điểm

B di động trên đường thẳng a cố định AB nhỏ nhất khi và chỉ khi AB vuông góc

a ta thấy JO lớn nhất khi JO  d từ đó suy ra vị trí của MN

a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định

c) Khi   60 0 và BC=R ,tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn OI

Bình luận : Mấu chốt của bài toán là phần b chứng minh được I thuộc tia Ox tạo

với AO một góc bằng  do đó từ bài toán Cho điểm A cố định, điểm B di động

trên đường thẳng a cố định AB nhỏ nhất khi và chỉ khi AB vuông góc a ta thấy

IO lớn nhất khi IO  d từ đó suy ra vị trí của MN

Bài 17: (Đề thi THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 1995):

Cho hình vuông ABCD Gọi M,N và P lần lượt lấy trên các cạnh BC,CD và DAsao cho MNP là tam giác đều

cố định vậy cạnh MP nhỏ nhất khi MP BC

II- PHƯƠNG PHÁP 2 : VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

1)Định hướng chung của phương pháp:

Bước 1: Khảo sát đại lượng cần tìm cực trị theo yếu tố di động nhận định vị

trí, điều kiện xảy ra cực trị

Bước 2: Chứng minh nhận định ở bước 1 để rút ra kết luận.

Chú ý :- Các tình huống thường gặp là: Vận dụng bất đẳng thức quan hệ

đường xiên hình chiếu, đường xiên đường vuông góc Vận dụng bất đẳng thức tam giác, qui tắc các điểm Vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn

- Cực trị thường xảy ra ở các vị trí đặc biệt trong hình

2) Các ví dụ minh họa và phân tích hướng giải:

Ví dụ 1: ( HSG Cần Thơ 2013):

Cho (O;R) và điểm A, B nằm ngoài đường tròn Biết OA = 2R Xác định vị trícủa M nằm trên đường tròn O sao cho MA+2MB nhỏ nhất

Hướng dẫn giải: