x=a x=b Với trường hợp α : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay choã gaõy.. Với trường hợp β : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng cá[r]
Trang 1IV TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN
1
1 Định nghĩa, công thức, tính chất :Định nghĩa, công thức, tính chất :Định nghĩa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F
Họ tất cả các nguyên hàm của f :
*
α+
α
α +
1 , α ≠ – 1
du
sin udu= −cos u+C
∫du/sin2u=−cotgu+C ; ∫du/cos2u=tgu+C
a a
* ∫ = ∫b=−∫ ∫ ∫ ∫= +
a
c a
b a
c b
a b
a
∫
∫
a
b a
b a
b a
b a
f k kf
; g f ) g f 2
2 Tích phân từng phần : Tích phân từng phần : Tích phân từng phần : ∫udv uv= −∫vdu
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp
a ∫xnex , ∫xnsinx; ∫xncosx:u=xn b ∫xnlnx : u= xln
c ∫exsinx, ∫excosx : u=ex hay dv =exdx
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3
3 Các dạng thường gặp :Các dạng thường gặp :Các dạng thường gặp :
a ∫sinmx.cos n + 1x : u = sinx
∫cosmx.sin n + 1x : u = cosx
∫sin2m x.cos nx : hạ bậc về bậc 1
∫cotg2 mx/sin nx : u = cotgx (n ≥ 0)
d ∫R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
R đơn giản :
2
x tg
0
x 2 u đặt thử
0
x u
đặt thử :
c ∫ chứa a2 – u2 : u = asint
∫ chứa u2 – a2 : u = a/cost
∫ chứa a2 + u2 : u = atgt
e ∫xm(a+bxn)p / q,(m+1)/n∈Z:uq =a+bxn
f ∫ m + n p / q + + ∈Z: uqxn =a+bxn
q
p n
1 m , ) bx a
(
x
g
u
1 k hx : c bx ax ) k hx
/[(
∫
h ∫R(x, (ax+b)/(cx+d) , R là hàm hữu tỷ : u= (ax+b)/(cx+d)
i ∫ chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk
4
4 Tích phân hàm số hữu tỷ :Tích phân hàm số hữu tỷ :Tích phân hàm số hữu tỷ :
∫P(x)/Q(x) : bậc P < bậc Q
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
n
n 2
2 1
n
) a x (
A
) a x (
A a
x
A )
a x ( , a x
A a
x
+ + + +
+ +
→ +
+
→
+
= +
=
<
∆ + + +
+
+ + +
+
→
<
∆
+
+ ∫ ( 0 ) ∫du /( u a : đặt u atgt
c bx ax
dx c
bx ax
B c
bx ax
) b ax 2 ( A ) 0 (
c
bx
2 2
2 2
Trang 25 Tính diện tích hình phẳng :Tính diện tích hình phẳng :Tính diện tích hình phẳng :
a D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : =∫b
a
S
f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác
b D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : =∫b −
a
S Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/
c D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0
x=b x=a
f(x)
g(x)
α /
b D a
S =∫ f(x) g(x) dx−
β /
b D a
S =∫f(y) g(y) dy−
Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng
ngay chỗ gãy
Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm
Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm
lượng giác, hàm mũ, hàm
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay
− (y= + :trên,y= − :dưới,x= + :phải,x= − :trái)
y=a f(y)
y=b g(y)
6
6 Tính thể tích vật thể tròn xoay :Tính thể tích vật thể tròn xoay :Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :
[ ]
∫ π
=
b a
2dx ) x ( V
b a
2dy ) y ( V
b a
2
2(x) g (x)]dx f
V
b
a
2
2(y) g (y)]dy f
V
b c 2 c
a
f V
f(x)
a
b
f(x)
g(x )
a
f(y)
a
g(y)
b
f(x)
a c b
f(x) -g(x)
b
c
f(y) -g(y)
b c 2 c
a
g V
Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ dy
Trang 3PHỤ LỤC 1
PHỤ LỤC 1
1 Các quy tắc tính đạo hàm.
1 (u ± v)0 = u0± v0 4. uv0 = u0vưuvv2 0.
2 (uv)0 = u0v + uv0 5. 1v0= ưvv20.
3 (ku)0 = ku0 6 yx0 = yu0.u0x.
2 Bảng đạo hàm của các hàm số thường gặp.
Đạo hàm của hàm số y = f (x) Đạo hàm của hàm số y = f [u(x)]
1 c0 = 0 (c = const)
2 x0 = 1
3 (xα)0 = αxαư1 (uα)0 = αuαư1.u0
4. x1 0
= ưx12 (x 6= 0) u1 0
= ưuu20 (u 6= 0)
5 ( √
x)0 = 2√1
x (x > 0) (√u)0= 2u√0
u (u > 0)
6 (sin x)0 = cos x (sin u)0 = u0cos u
7 (cos x)0 = ư sin x (cos u)0= ưu0sin u
8 (tan x)0= cos12 x (cos x 6= 0) (tan u)0 = cosu20u (cos u 6= 0)
9 (cot x)0= ưsin12 x (sin x 6= 0) (cot u)0= ưsinu20u (sin u 6= 0)
10 (ex)0= ex (eu)0 = eu
11 (ax)0 = axln a (0 < a 6= 1) (au)0 = u0auln a (0 < a 6= 1)
12 (ln x)0 = 1x (x > 0) (ln u)0 = uu0 (u > 0)
13 (logax)0 = x ln a1 (0 < a 6= 1, x > 0) (logau)0= u ln au0 (0 < a 6= 1, u > 0)
3 Bảng nguyên hàm mở rộng.
1.R a2+x1 2dx = 1aarctanxa + C
2 R 1
a 2 ưx 2 dx = 2a1 ln
a+x aưx
+ C
3.R √ 1
x 2 +a 2 dx = ln
x +√x 2 + a 2+ C
4 R √ 1
a 2 ưx 2 dx = arcsin|a|x + C
5 R 1
x√x 2 ưa 2 dx = 1aarccos|a|x + C
6.R 1
x√x 2 +a 2 dx = ưa1ln
a+√x 2 +a 2
x
+ C
7.R √
a 2 + x 2 dx = x2√a 2 + x 2 +a22 ln
x +√x 2 + a 2+ C
8 R √
a 2 ư x 2 dx = x2√a 2 ư x 2 +a22arcsinxa + C
9 R e ax sin bxdx = a2e+bax2 (a sin bx ư b cos bx) + C
10 R e ax cos bxdx = a2e+bax2 (a cos bx + b sin bx) + C
Lưu ý Bảng này chỉ dùng để tra cứu không được sử dụng trong chương trình phổ thông.
Trang 4PHỤ LỤC 2
1 Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
0 π6 π4 π3 π2 π
α 00 300 450 600 900 1800 sin α 0 12
√ 2 2
√ 3
cos α 1
√ 3 2
√ 2 2
1
tan α 0
√ 3
cot α || √3 1
√ 3
2 Đẳng thức lượng giác cơ bản.
1 sin2α + cos2α = 1 4 tan α cot α = 1.
2 1 + tan2α = 1
cos 2 α. 5 tan α =
sin α cos α.
3 1 + cot2α = 1
sin2α. 6 cot α =
cos α sin α
3 Công thức lượng giác.
Công thức cộng Công thức biến đổi tích thành tổng.
1 cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b 10 cos a cos b = 12[cos (a − b) + cos (a + b)].
2 cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b 11 sin a sin b = 12[cos (a − b) − cos (a + b)].
3 sin (a − b) = sin a cos b − cos a sin b 12 sin a cos b = 12[sin (a − b) + sin (a + b)].
4 sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b Công thức biến đổi tổng thành tích.
5 tan (a − b) = tan a − tan b
1 + tan a tan b. 13 cos u + cos v = 2 cos
u + v
2 cos
u − v
2 .
6 tan (a + b) = tan a + tan b
1 − tan a tan b. 14 cos u − cos v = −2 sin
u + v
2 sin
u − v
2 . Công thức nhân đôi 15 sin u + sin v = 2 sin u + v
2 cos
u − v
2 .
7 sin 2a = 2 sin a cos a 16 sin u − sin v = 2 cos u + v
2 sin
u − v
2 .
8 cos 2a = cos2a − sin2a Công thức nhân ba.
8a cos 2a = 2cos2a − 1 17 sin 3a = 3 sin a − 4sin3a.
8b cos 2a = 1 − 2sin2a 18 cos 3a = 4cos3a − 3 cos a.
9 tan 2a = 2 tan a
1 − tan 2 a. Công thức khác.
Công thức hạ bậc 19 sin x + cos x = √
2 sin x +π4.
8c cos2a = 1 + cos 2a
2 . 20 sin x − cos x =
√
2 sin x −π4.
8d sin2a = 1 − cos 2a
2 . 21 sin
4 x + cos4x = 1 − 12sin22x.
8e tan2a = 1 − cos 2a
1 + cos 2a. 22 sin
6 x + cos6x = 1 − 34sin22x.