Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann

Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann.

Lời mở đầu 1

1.1 Đại số von Neumann và vết 4

1.1.1 Đại số Banach 4

1.1.2 Phép tính liên hợp 5

1.1.3 Đại số von Neumann 6

1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn 6

1.2 Toán tử đo được theo một vết 7

1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ 7

1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn 9

1.2.3 Mở đầu về phép chiếu 11

1.2.4 Lý thuyết về toán tử τ− đo được 12

1.3 Không gian Lp theo một vết 21

1.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann 24

1.3.2 Các kiểu hội tụ 00 hầu chắc chắn 00 trong đại số von Neumann 26

1.3.3 Dạng không giao hoán của định lý Egoroff 28

1.3.4 Khái niệm về luật số lớn 29

2 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann 31 2.1 Tính độc lập 32

2.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von Neumann 32

2.3 Định lý giới hạn mạnh cho dãy trực giao 34

2.4 Mở rộng không giao hoán của định lý Glivenko-Cantelli 41 2.5 Bất đẳng thức Kolmogorov đối với vết và một số hệ quả 44 2.6 Luật mạnh số lớn đối với vết 47

i

2.7 Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn 62

2.8 Chú ý và chú thích 68

Các tài liệu khoa học hiện tại đưa ra nhiều bằng chứng rằng cácphương pháp đại số vốn đã cách mạng hóa toán học thuần thúy thì naylại đang gây ảnh hưởng tương tự đối với khoa học vật lý Tiếp cận đại

số đối với cơ học thống kê và lý thuyết trường lượng tử là một ví dụcho định hướng mới này

Gần đây nhiều tác giả đã mở rộng các định lý hội tụ điểm cơ bảntrong lý thuyết xác suất và lý thuyết ergodic sang (ngữ cảnh) đại sốvon Neumann.Họ đã cung cấp một số công cụ mới cho vật lý toán vàđồng thời tạo ra nhiều kĩ thuật hấp dẫn cho lý thuyết đại số toán tử.Mục đích chính của đề tài là trình bày bản chất của một số ý tưởng

và kết quả từ lĩnh vực nói trên,chuyển các kết quả cổ điển đã biết trong

lý thuyết xác suất đến các phiên bản không giao hoán của chúng, đưavào các ứng dụng trong lý thuyết trường lượng tử

Đại số von Neumann là một sự tổng quát hóa không giao hoán rất

tự nhiên của đại số L∞ và những cấu trúc tốt của nó đem lại khả năngthu được các phiên bản 00 hầu chắc chắn 00 của các định lý giới hạn.Trong đại số von Neumann, ta có thể đưa ra khái niệm hội tụ 00 hầuđều 00 tương đương với khái niệm hội tụ hầu chắc chắn trong đại số

L∞.Kiểu hội tụ này sẽ là nền tảng cho toàn bộ đề tài

Nội dung của đề tài gồm hai chương :

Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho việc nghiêncứu chương 2 bao gồm các kiến thức nền tảng về giải tích và xácsuất.Một số tính chất của hội tụ 00 hầu đều 00 trong đại số von Neumann.Chương 2 Nội dung chính của đề tài: 00 Luật mạnh số lớn trongđại số von Neumann 00

Trình bày các kết quả của Batty ,cùng một số kết quả khác Nếu nhưtrong xác suất cổ điển các dạng hội tụ theo xác suất ,hội tụ hầu chắcchắn và hội tụ trung bình của dãy biến nhiên đóng vai trò then chốt

2

trong Luật số lớn thì ở đây chúng ta được tiếp cận với 1 kiểu hội tụhoàn toàn mới 00 hội tụ hầu đều 00.Các định lý được chứng minh đối vớitrạng thái , đối với vết Vì một trạng thái thì không cộng tính dưới trêndàn các phép chiếu nên các qui tắc và các kĩ thuật đối với trạng tháikhông vết khác nhiều và khó khăn hơn nhiều so với các qui tắc đối vớivết Đáng chú ý ở đây là các lập luận cần dùng đối với vết thường rấtgiống trường hợp cổ điển Nhưng trong một số thường hợp thì chúng tacần hướng tiệm cận mới

Hầu hết các kết quả được trình bày trong đề tài là kết quả mới.Một số nội dung của đề tài là một trong số các bài giảng tại ĐạiHọc Tenessee ở Knoxville và tại Trung Tâm Quá Trình Ngẫu Nhiên(Centerfor Stochastic Processes) tại đại học North Carolina ở ChapelHill (bởi R.Jajte)

Nội dung của đề tài vẫn đang là hướng quan tâm của nhiều nhàtoán học và vật lý học trong các lĩnh vực đại số toán tử và các ứngdụng của chúng như Lance 1976-1978 ; Goldstein 1981; Watanabe 1979;Yeadon 1975-1980; Kiinrinerre 1978;

Trong quá trình tìm hiểu , nghiên cứu nội dung các công trình củangười khác chúng tôi đã hệ thống , giới thiệu nhằm phác họa triển vọngứng dụng các kết quả nghiên cứu của mình trong tương lai

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướngdẫn khoa học của mình là PGS TS Phan Viết Thư, người đã đưa ra

đề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu bản luậnnày Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoaToán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốcgia Hà Nội, và các thầy cô giáo ở Viện Toán học -Viện KHCNVN đãtận tình giảng dạy ,tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian Tác giảhọc tập và nghiên cứu

Hà Nội, năm 2009

Học viên

Vũ Thị Hương

về hội tụ điểm Tất cả các kiến thức trong chương này đều đã có, khôngthuộc phần sáng tạo của đề tài Các khái niệm ,thuật ngữ , kết quả đượcdùng đều có thể tra cứu trong các tài liệu tham khảo kèm theo.

1.1 Đại số von Neumann và vết

A có phép nhân:

A × A −→ A(x, y) 7−→ xythỏa mãn các tính chất sau :

1 x(yz) = (xy)z;

2 (x + y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz;

3 α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y, z ∈ A, α ∈ C

Khi đó , A được gọi là một đại số phức Hơn nữa , nếu A là mộtkhông gian Banach (với chuẩn ||.||) thỏa mãn các tính chất sau :

4 ||xy|| ≤ ||x||.||y||; (x ∈ A, y ∈ B)

5 A chứa phần tử đơn vị e sao cho xe = ex = x (x ∈ A);

6 ||e|| = 1;

thì A được gọi là một đại số Banach

Nếu phép nhân giao hoán thì gọi là đại số (đại số Banach) giaohoán

1.1.2 Phép tính liên hợp

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử A là một đại số phức , ánh xạ x ∈ A → x∗

gọi là phép liên hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau :

(i) (x + y)∗ = x∗ + y∗

(ii) (λx)∗ = ¯λx∗

(iii) (xy)∗ = y∗x∗

(iv) (x∗)∗ = x

Đại số phức A đóng đối với phép liên hợp gọi là ∗− đại số Nếu A

là đại số Banach đóng đối với phép liên hợp thì gọi là một ∗− đại sốBanach

Nếu A là một ∗− đại số Banach thỏa mãn điều kiện ||x|| = ||x∗|| thì Agọi là đại số Banach liên hợp Nếu ∗− đại số Banach thỏa mãn điềukiện ||xx∗|| = ||x||2, ∀x ∈ A thì gọi là một C∗− đại số

Phần tử x ∈ A (A là ∗− đại số ) gọi là chuẩn tắc nếu xx∗ = x∗x.Gọi là Hermit nếu x∗ = x, unitar nếu x∗x = xx∗ = e, (e là đơn vị củaA) Nếu A là C∗− đại số thì ||x|| = ||x∗||, ∀x ∈ A Vậy mọi C∗− đại sốđều là đại số Banach liên hợp.

1.1.3 Đại số von Neumann

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử H là không gian Hilbert, B(H) là đại số cáctoán tử bị chặn A ∈ B(H) là một đại số con

Đại số A ∈ B(H) gọi là đại số von Neumann nếu:

(i) A là kín đối với phép lấy liên hợp;

(ii) I ∈ A

(iii) A đóng đối với topo hội tụ yếu, tức là

An w

−

→ A nếu :< Anx, y >→< Ax, y > với mọi x, y ∈ H

Như vậy đại số von Neumann là một C∗− đại số

1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn

Định nghĩa 1.1.4 (*) Giả sử A là đại số von Neumann Phiếm hàmtuyến tính :

Φ : A −→ Cgọi là dương nếu:

Φ(xx∗) ≥ 0, ∀x ∈ A(*) Φ gọi là phiếm hàm dương chính xác (đúng) nếu:

(i) τ(x + y) = τ(x) + τ(y), x, y ∈ A+

(ii) τ(λx) = λτ(x), λ ≥ 0; x ∈ A+ (quy ước 0.∞ = 0)

(iii) Nếu U là unitar thì : τ(UxU−1) = τ (x), ∀x ∈ A+

Khi đó τ gọi là vết của đại số A

Nếu :

τ (x) < ∞, ∀x ∈ A+thì τ gọi là vết hữu hạn

Nếu :

τ (x) = sup{τ (y)|y ≤ x; τ (y) < ∞}

thì τ gọi là vết nửa hữu hạn

Nếu : τ(x) = 0, x ≥ 0 mà suy ra x = 0 thì τ gọi là vết chính xác (hayvết đúng)

Vết τ gọi là chuẩn tắc (Normal) nếu:

τ (T ) = supα τ (Tα)trong đó Tα là dãy các toán tử tăng tới T

Đại số von Neumann gọi là hữu hạn (hay nửa hữu hạn) nếu với mọi

x ∈ A, x 6= 0 tồn tại vết chuẩn tắc hữu hạn sao cho τ (x) 6= 0 Trên đại

số von Neumann nửa hữu hạn luôn tồn tại một vết chuẩn tắc , chínhxác nửa hữu hạn

1.2 Toán tử đo được theo một vết

Phần này ta sẽ định nghĩa khái niệm về tính đo được theo một vết τtrên một đại số von Neumann A và chỉ ra rằng tập ˜A các toán tử τ đođược là một ∗− đại số topo đầy đủ

Giả sử A là một đại số von Neumann nửa hữu hạn hoạt động trênkhông gian Hilber H và τ là trạng thái nửa hữu hạn chuẩn đúng trên A

1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử A là đại số Banach G = G(A)− là tập hợptất cả các phần tử khả nghịch của đại số A Khi đó G lập thành một

nhóm Phổ σ(x) của x ∈ A là tập hợp tất cả các số phức λ sao cho

λe − x không có khả nghịch C/σ(x)− được gọi là tập hợp chính quy củaphần tử x

C/σ(x) = {λ : (λe − x)−1∃}

Số

ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)}

được gọi là bán kính phổ của phần tử x

Ta luôn chứng minh được rằng σ(x) 6= ∅, ∀x ∈ A

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử a là toán tử tuyến tính với miền xác địnhD(a) Kí hiệu

D(a∗) = {g : ∃ ! g∗, < g|af >=< g∗|f > ∀f ∈ D(a)}

với giả thiết D(a) = H Khi đó D(a∗) là không gian con và toán tử

a∗g = g∗, g ∈ D(a∗), g∗ là phần tử duy nhất để

< g|af >=< g∗|f >

là một toán tử tuyến tính a∗ gọi là liên hợp của toán tử a

Nếu a ⊂ a∗ thì a gọi là toán tử đối xứng Nếu a = a∗ thì a gọi là

tự liên hợp

Khi a là toán tử đóng và D(a) = H thì khi đó D(a∗) = H và a∗∗ = a.Chú ý Đại số con A của đại số B(H) gọi là chuẩn tắc nếu nó giaohoán và nếu T ∈ A thì T∗ ∈ A

Định nghĩa 1.2.3 Toán tử P được gọi là toán tử chiếu nếu D(P ) =H; P∗ = P = P2

Như vậy , toán tử chiếu P là bị chặn và có sự tương ứng một - mộtgiữa các toán tử chiếu và các không gian con đóng trong không gianHilbert

Định nghĩa 1.2.4 Xét H là không gian Hilbert (Ω, Σ) là một khônggian đo, Σ là σ− trường P là tập hợp các toán tử chiếu trong khônggian Hilbert H Ánh xạ E : Σ → P được gọi là một khai triển đơn vịtrên (Ω, Σ) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn :

1 E(∅) = 0, E(Ω) = I

2 E(AB) = E(A)E(B)

3 E(A ∪ B) = E(A) + E(B) nếu AB = ∅

4 ∀x, y ∈ H hàm tập hợp Ex,y xác định bởi công thức

Ex,y(A) =< E(A)x, y >

là một độ đo phức trên Ω

Định lý 1.2.5 (Về biểu diễn Phổ) Nếu T ∈ B(H) và T là toán tửchuẩn tắc thì tồn tại đúng một khai triển đơn vị trên các tập con Borelcủa phổ σ(T ) của toán tử T sao cho

T =Z

1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn

Với các toán tử (tuyến tính) a, b trên H ta có thể định nghĩa tổng a + b

và tích ab là các toán tử trên H với miền xác định :

D(a + b) = D(a) ∩ D(b)D(ab) = {ξ ∈ D(b)

bξ ∈ D(a)}

Các phép toán này có tính chất kết hợp, vì thế a+b+c và abc là các toán

tử được định nghĩa tốt Hơn nữa ,với mọi a, b, c ta có : (a + b)c = ac + bc

và c(a + b) ⊇ ca + cb

Định nghĩa 1.2.6 Một toán tử a trên H là đóng nếu đồ thị G(a) của

Toán tử đóng , xác định trù mật a có biểu diễn cực:

a = u|a|

ở đây |a| là toán tử tự liên hợp dương , và u là một đẳng cự riêng vớisupp(a) là phép chiếu đầu của nó và r(a) , phép chiếu lên bao đóng củamiền giá trị của a , là phép chiếu cuối của nó

Định nghĩa 1.2.7 Nếu tổng a + b của hai toán tử xác định trù mật a

và b là trước đóng và xác định trù mật , thì bao đóng [a + b] được gọi làtổng mạnh của a và b Tương tự , tích mạnh là bao đóng [ab] nếu ab làtrước đóng và xác định trù mật

Ta viết

||a|| = sup{||aξ||

||ξ|| ≤ 1}

với mọi toán tử xác định khắp nơi a trên H, bị chặn hoặc không Khi

đó ước lượng sau đây đúng :

||a + b|| ≤ ||a|| + ||b||; ||ab|| ≤ ||a||.||b||

Kí hiệu A0 là hoán tập của A (hoán tập A0 của đại số von Neumann A

là tập tất cả các b trong B(H) giao hoán với a trong A) Định lý hoántập 2 lần von Neumann khẳng định A00 = A

Định nghĩa 1.2.8 Toán tử tuyến tính a trên H được gọi là kết hợpvới A (và ta viết aηA) nếu:

∀y ∈ A0 : ya ⊆ ay

Ta kí hiệu A là tập tất cả các toán tử đóng , xác định trù mậtkết hợp với A

1.2.3 Mở đầu về phép chiếu

Kí hiệu Aproj là dàn các phép chiếu ( trực giao ) trong A Đối với

họ (pi)i∈I các phép chiếu trực giao trong A, kí hiệu :

ở đây p⊥ = 1 − p là phép chiếu trực giao với p Hai phép chiếu p và q

là tương đương nếu p = u∗u và q = uu∗ với u ∈ A nào đó Ta kí hiệu

sự tương đương là ∼ Các phép chiếu tương đương có cùng vết

Mệnh đề 1.2.9 Giả sử a là toán tử đóng, xác định trù mật kết hợp với

τ (p ∨ q) ≤ τ (p) + τ (q)Tổng quát hơn :

Nhận xét 1.2.10

p, q ∈ Aproj : p ∧ q = 0 =⇒ p 1 − q

( ở đây có nghĩa 00tương đương với một phép chiếu con của 00 ).Thật vậy :

p = 1 − q⊥ = (p ∧ q)⊥ − p⊥

= (p⊥∨ q⊥) − p⊥ ∼ q⊥− (p⊥ ∧ q⊥) q⊥ = 1 − q

1.2.4 Lý thuyết về toán tử τ− đo được

Định nghĩa 1.2.11 Giả sử ε, δ ∈ R+ Khi đó ta kí hiệu D(ε, δ) là tậptất cả các toán tử aηA sao cho tồn tại phép chiếu p ∈ A thỏa mãn :(i) pH ⊆ D(a) và ||ap|| ≤ ε

χ]ε,∞[(|a|)

kí hiệu phép chiếu phổ của |a| tương ứng với khoảng ]ε, ∞[ )

Chứng minh 00 ⇐00

Đặt :

p = χ[0,∞](|a|) Khi đó: pH ⊆ D(|a|) và

Vậy 1 − eε 1 − p, do đó

τ (1 − eε) ≤ δ

Mệnh đề 1.2.15 Cho a ∈ ¯A và ε, δ ∈ R+ Khi đó:

a ∈ D(ε, δ) ⇔ a∗ ∈ D(ε, δ)Chứng minh Giả sử a = u|a| là biểu diễn cực của a Khi đó u là mộtđẳng cự của

χ]0,∞[(|a|) = supp(a)lên

χ]0,∞[(|a∗|) = supp(a∗) = r(a)

Do tính duy nhất của phân tích phổ suy ra với mỗi λ ∈ R+, u là mộtđẳng cự của

χ]λ,∞[(|a|)lên χ]λ,∞[(|a∗|) Áp dụng bổ đề trên có điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.2.16 Một không gian con E của H được gọi là τ− trùmật nếu ∀δ ∈ R+ , tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho pE ⊆ E và

τ (1 − p) ≤ δ

Mệnh đề 1.2.17 Giả sử E là không gian con τ− trù mật của H Khi

đó tồn tại một dãy tăng (pn)n∈N các phép chiếu trong A với

Chứng minh Lấy các phép chiếu qk ∈ A, k ∈ N sao cho :

Mệnh đề 1.2.19 Cho a, b ∈ ¯A và E là không gian con τ− trù mật của

H chứa trong D(a) ∩ D(b) Giả sử a|E = b|E Khi đó a = b

Chứng minh Xét trong không gian Hilbert H2 = H ⊕ H đại số vonNeumann A2 =

pa∧ p2 = pb ∧ p2

Vì a và b thống nhất trên pH ⊆ E nên

G(a) ∩ (pH ⊕ pH) = {(ξ, aξ)|ξ ∈ pH, aξ ∈ pH}

= {(ξ, bξ)|ξ ∈ pH, bξ ∈ pH} = G(b) ∩ (pH ⊕ pH)Theo bổ đề trên , ta suy ra pa = pb, do đó a = b

Định nghĩa 1.2.20 Một toán tử đóng , xác định trù mật kết hợp với Ađược gọi là τ− đo được nếu với mọi δ ∈ R+ , tồn tại một phép chiếu

p ∈ A sao cho pH ⊆ D(a) và τ(1 − p) ≤ δ

Kí hiệu ˜A là tập tất cả các toán tử đóng , τ− đo được ,xác địnhtrù mật

Nhận xét 1.2.21 1 Nếu a, b ∈ ˜A và a ⊆ b thì a = b

2 Nếu a ∈ ˜A, và a là đối xứng thì a tự liên hợp

3 Nếu a đóng và p ∈ Aproj thỏa mãn pH ⊆ D(a) thì toán tử , xác địnhkhắp nơi ap cũng đóng và bị chặn

Định nghĩa 1.2.22 Toán tử aηA được gọi τ− tiền đo được nếu vớimọi δ ∈ R+ tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho

pH ⊆ D(a), ||a|| < ∞

và τ(1 − p) ≤ δ.

Hay tương đương

Giả sử aηA Khi đó a là τ− tiền đo được khi và chỉ khi

∀δ ∈ R+, ∃ε ∈ R+ : a ∈ D(ε, δ)Mệnh đề 1.2.23 (i) Ta có A ⊆ ˜A

(ii) Với a ∈ ˜A thì a∗ ∈ ˜A

(iii) Cho a, b ∈ ˜A khi đó a + b và ab xác định trù mật và tiền đóng , và[a + b] ∈ ˜A, [ab] ∈ ˜A

(iv) ˜A là một ∗− đại số đối với tổng mạnh và tích mạnh

Từ đây ta sẽ bỏ qua kí hiệu [ ] trong kí hiệu tổng mạnh và tíchmạnh

Định nghĩa 1.2.24 Với mọi ε, δ ∈ R+ , ta đặt

N (ε, δ) = ˜A ∩ D(ε, δ)tức là , N(ε, δ) là tập các a ∈ ¯A, τ − đo được sao cho tồn tại phép chiếu

p ∈ A thỏa mãn ||ap|| ≤ ε và τ(1 − p) ≤ δ

Định lý 1.2.25 (i) N(ε, δ), với ε, δ ∈ R+ tạo thành cơ sở cho cáclân cận của 0 đối với topo trên ˜A biến ˜A thành không gian véc tơtopo

(ii) ˜A là ∗− đại số topo Hausdorff đầy đủ và A là một tập con trù mậtcủa ˜A

Chứng minh Điều kiện (i) là hiển nhiên Ta chứng minh (ii) :

Khi đó :

∀δ ∈ R+, ∀ε ∈ R+ : τ (χ]ε,∞[(|a|)) ≤ δ

Vì τ là đúng (faithful) , điều này kéo theo

χ]ε,∞[(|a|) = 0, do đó a = 0

(2) Tiếp theo ta sẽ chứng minh ˜A là ∗− đại số topo

Theo kết quả trên phép toán liên hợp là liên tục Lấy a0, b0 ∈ ˜A và

ε, δ ∈ R+ Chọn µ, λ ∈ R+ sao cho

a0 ∈ N (µ, δ), b0 ∈ N (λ, δ)Khi đó với mọi a, b ∈ ˜A thỏa mãn a − a0 ∈ N (ε, δ) và b − b0 ∈ N (ε, δ) ,

||(apn− a)pm|| = 0với mọi m ≤ n và τ(1 − pm) → 0 khi n → ∞

(4) Cuối cùng ta sẽ chứng minh rằng không gian véc tơ topo ˜A là đầyđủ

Vì ˜A có một cơ sở đếm được cho các lân cận của 0 ( chẳng hạn sử dụng

N (1/n, 1/m), n, m ∈ N

) ta chỉ cần chứng minh rằng mọi dãy Cauchy (an)n∈N trong ˜A hội tụ

Vì vậy giả sử (an)n∈N là một dãy Cauchy trong ˜A và

∀n ∈ N : an+1 − an ∈ N (2−(n+1), 2−n)Lấy phép chiếu pn ∈ A sao cho

(amξ)m∈N

là dãy Cauchy Đặt

aξ = limm→∞amξ

Như vậy ta đã định nghĩa một toán tử a với

∀ξ ∈ D(a), ∀η ∈ D(b) : (aξ|η) = lim(amξ|η) = lim(ξ|a∗mη) = (ξ|bη)nên a ⊆ b∗ Như vậy a tiền đóng Vậy [a] ∈ ˜A Đặt: a0 = [a], cuối cùng

ta chứng minh an → a0 trong ˜A Giả sử ε, δ ∈ N0 Lấy n0 ∈ N sao cho

2−(n0 +1) ≤ ε

và 2−n 0 ≤ δ Khi đó với mọi m ≥ n0 + 1 ta có

||(a0 − am)qn 0|| ≤ 2−(n0 +1) ≤ εvà

τ (1 − qn 0) ≤ 2−n0 ≤ δvì

1.3 Không gian Lp theo một vết

Trong phần này chúng ta sẽ định nghĩa không gian Lp , Lp = Lp(A, τ )với 1 ≤ p ≤ ∞ và xây dựng các tính chất cơ bản của chúng Segal đãlàm với p = 1, 2, ∞ ( không gian L∞ chính là A ) , và Kunze đã nghiêncứu trong trường hợp tổng quát Cách tiếp cận của chúng tôi dựa trênkhái niệm hội tụ theo độ đo đã trình bày trong phần trên sẽ đơn giảnhơn

Cho trước một vết nửa hữu hạn chuẩn đúng τ trên đại số von Neumann

A trên không gian Hilbert Giả sử

L2 = {a ∈ A : τ (a∗a) < ∞}

Cho a trong L2 và b trong A Khi đó

(ba)∗ba ≤ ||b||a∗anên ba cũng trong L2 Vì a và b đều trong L2 nên a + b cũng trong L2 vì

(a + b)∗(a + b) ≤ 2(a∗a + b∗b)

Do đó L2 là một idean trái Vậy nó là tự liên hợp và do đó là idean haiphía (sau này ta sẽ đồng nhất L2 với L2 ∩ L∞) Đặt L = L2

2 Khi đó Lcũng là một idean hai phía (sau này ta sẽ đồng nhất nó với L1 ∩ L∞).Nếu a trong A+ và τ(a) < ∞ thì a1/2 trong L2 , nên a trong L Ngượclại, giả sử c ≥ 0 với c trong L Khi đó c là tổng hữu hạn c = P biai với

bi, ai trong L2 Vì c ≤ 1

2

P(bib∗i + a∗iai) nên ta có τ (c) < ∞ Do đó Lchứa tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử a trong A+ với

τ (a) < ∞, và các phần tử này tạo thành L ∩ A+ Như vậy τ mở rộngduy nhất thành một phiếm hàm tuyến tính (vẫn kí hiệu là τ ) trên L.Theo biểu diễn cực thì τ(b∗a) = τ (ab∗), và do đó τ (ba) = τ (ab) với mọi

a, b trong L Vì vậy ,nếu a ≥ 0 và a trong L thì

τ (ab) = τ (a1/2ba1/2)nên

0 ≤ τ (ba) ≤ ||b||τ (a)với mọi b ≥ 0 trong Lvà do đó, theo tính chuẩn tắc và nửa hữu hạn của

τ ,với mọi b trong A+ Kết quả là |τ(ba)| ≤ ||b||τ(a) với mọi b trong A

Ta cũng sẽ sử dụng kí hiệu ||b||∞ cho chuẩn toán tử của phần tử b trong

A, và ta đặt ||a||1 = τ (|a|) với a trong L Vì a = u|a| với ||u||∞ = 1 nên

ta có

|τ (ba)| ≤ ||b||∞||a||1; b ∈ A, a ∈ L (1.1)với 1 ≤ p < ∞ và a trong L , đặt ||a||p = τ (|a|p)1/p.Ta khẳng định rằngbất đẳng thức Holder:

|τ (ba)| ≤ ||b||q||a||p (1.2)

đúng , với a, b trong L và (1

p) + (

1

q) = 1 Để thấy điều này , giả sử u và

v trong A với ||u||∞ ≤ 1, ||v||∞ ≤ 1 và giả sử c ≥ 0, d ≥ 0, c ∈ L, d ∈ Lthỏa mãn c và d bị chặn cách xa 0 trên bổ sung đủ trực giao của cáckhông gian trống của chúng Do tính liên tục nên sự giới hạn này về sau

sẽ bỏ qua, và ta không nhắc đến nữa Khi đó s 7−→ τ(udsvc1−s) liên tục

và bị chặn trên 0 ≤ Res ≤ 1 và chỉnh hình ở phần trong Theo ví dụ

về nguyên lý Phragmén-Lindelof được biết đến như là định lý 3 đườngthẳng ,ta có :

|τ (udkvc1−p)| ≤ supRes=1|τ (udsvc1−s)|ksupRes=0|τ (udsvc1−s)|1−kvới 0 ≤ k ≤ 1, và theo (1.1) vế phải ≤ ||d||k

1||c||1−k1 Áp dụng điều nàyvới

ở đây 1/p + 1/q = 1 Khi đó dễ thấy ||b||q = 1 và τ (ba) = ||a||p Tức là

||a||p = sup||b||q=1|τ (ba)| (1.3)

và supremum là đạt được Từ đây ta dễ dàng thu được bất đẳng thứcMinkowski

||a + b||p ≤ ||a||p + ||b||p (1.4)

với a, b trong L Vì vế trái là τ(c(a + b)) với c thỏa mãn ||c||q = 1 ,nhưng

nó bằng τ(ca)+τ(cb), do đó nhỏ hơn vế phải theo bất đẳng thức Holder.Cuối cùng ,chú ý rằng ||a||p = 0 kéo theo a = 0 do tính đúng của τ Dovậy L là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn ||.||p Gọi Lp làkhông gian Banach tương ứng với L sau bổ sung cho đầy đủ

Nếu a ≥ 0 trong L với biểu diễn phổ

Định nghĩa 1.3.1 Đối với toán tử dương tự liên hợp a kết hợp với Abất kì , ta đặt

.(Lp(A, ), ||.||p) là các không gian Banach trong đó

cụ thể của các toán tử đóng xác định trù mật Trong [18] , E.Nelson đãđưa ra một hướng tiếp cận mới đòi hỏi ít kiến thức về kĩ thuật đại sốvon Neumann − cho lý thuyết này , dựa trên khái niệm về tính đo đượctheo một vết (bắt nguồn từ khái niệm hội tụ theo độ đo được giới thiệubởi W.F.Stinespring trong [16] ).Toán tử đo được bất kì cũng đo dượctheo nghĩa Segal ( trong khi điều ngược lại nói chung không đúng ) Tuynhiên ,tập hợp các toán tử τ− đo được đủ lớn để chứa các không gian

Lp theo τ

1.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann

Lý thuyết xác suất không giao hoán là nền tảng toán học của cơ họclượng tử, nó có thể coi là mở rộng tự nhiên của lý thuyết xác suất cổđiển Trong cơ học cổ điển, với mỗi hệ hạt điểm vật lý có một đa tạpkhả vi U tương ứng Các trạng thái của hệ được biểu diễn bởi các điểmcủa U, và các lượng vật lý (các quan sát được ) sẽ được mô tả bởi cáchàm (đo được) trên đa tạp U Trong cơ học lượng tử, với mỗi hệ vật

lý có một không gian Hilbert H tương ứng Với hệ có số bậc tự do hữuhạn , các trạng thái hỗn hợp được cho bởi các toán tử lớp vết dương (toán tử trù mật ) Các quan sát được sẽ được biểu diễn bởi các toán tử

tự liên hợp hoạt động trên H Đối với hệ hạt có số bậc tự do vô hạn ,người ta đồng nhất trạng thái của hệ với trạng thái ( toán học ) trênmột đại số toán tử A thích hợp Trong hầu hết trường hợp ta có thể lấy

A là đại số toán tử von Neumann hoạt động trên một không gian phức

(khả ly) Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H là một đại

số von Neumann Trường hợp cổ điển dẫn ta đến đại số von Neumanngiao hoán L∞(U, Bu, µ) các hàm đo được bị chặn trên một không gian

đo (U, Bu, µ) Khi đó các hàm đo được không bị chặn sẽ được 00 gắn

00 vào L∞(U, Bu, µ) một cách tự nhiên Độ đo µ sau khi thác triển duynhất thành tích phân Z

với toán tử nhân ag : f → f g, với f ∈ L2 Đại số A = L∞(Ω, F, µ) cótrạng thái vết chuẩn đúng τµ ( cho bởi

τµ(f ) =

Z

Ω

f dµ

) Theo định lý Ergoroff, sự hội tụ µ− hầu chắc chắn của dãy (fn) từ

A là tương đương với sự hội tụ hầu đều của nó Tức là ta có thể phátbiểu lại hội tụ hầu chắc chắn bằng chuẩn trong L∞ , trạng thái τµ vàcác hàm đặc trưng

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử A là đại số von Neumann với trạng tháichuẩn tắc đúng φ Ta nói rằng dãy (xn) các phần tử của A hội tụ hầuđều tới phần tử x ∈ A nếu với mỗi ε > 0 ,tồn tại một phép chiếu p ∈ Avới φ(1 − p) < ε thỏa mãn ||(xn− x)p|| → 0 khi n → ∞

Chú ý Định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn φ do đó hội

tụ hầu đều tương đương với hai điều kiện sau:

(*) Trong mọi lân cận mạnh của đơn vị trong A , tồn tại phép chiếu psao cho ||(xn − x)p|| → 0 , khi n → ∞

(**) Với mỗi trạng thái chuẩn đúng φ trên A và ε, tồn tại phép chiếu

p ∈ A với φ(1 − p) < ε thỏa mãn

||(xn− x)p|| → 0

Nhận xét Nếu φ là một trạng thái chuẩn tắc đúng thì topo mạnh tronghình cầu đơn vị S trong A có thể metric hóa bởi khoảng cách

dist(x, y) = φ[(x − y)∗(x − y)]1/2

Định lý 1.3.3 Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng tháichuẩn đúng φ Với dãy bị chặn các toán tử (xn) từ A sự hội tụ hầu đềukéo theo sự hội tụ mạnh (σ− mạnh) của (xn)

1.3.2 Các kiểu hội tụ 00 hầu chắc chắn 00 trong đại

số von Neumann

Khái niệm hội tụ hầu đều là sự tổng quát của khái niệm hội tụ hầu chắcchắn cho đại số von Neumann Ta có thể xét các phiên bản không giaohoán khác của khái niệm này

Định lý 1.3.4 Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng tháichuẩn đúng φ Với mọi dãy bị chặn (xn) trong A, các điều kiện sau làtương đương

(i) Với mọi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p trong A với φ(1 − p) < ε và

số nguyên dương N sao cho

||(xn− x)p|| < εvới n ≥ N

(ii) Với mọi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(1 − p) < ε sao cho

||(xn− x)p|| → 0khi n → ∞

(iii) Với ε, tồn tại dãy các phép chiếu (pn) trong A tăng tới 1.( trongtopo mạnh ) sao cho

||(xn− x)pn|| < εvới n = 1, 2,

(iv) Với mọi phép chiếu khác không p trong A tồn tại phép chiếu kháckhông q ∈ A sao cho q ≥ p và

||(xn− x)q|| → 0khi n → ∞

Rõ ràng trong trường hợp đại số von Neumann giao hoán L∞(Ω, F, µ)

cả 4 điều kiện vừa thành lập đều tương đương với hội tụ µ− hầu chắcchắn

Định lý 1.3.5 Nếu φ là một trạng thái vết chuẩn đúng ( tức A là đại

số von Neumann hữu hạn ) thì cả 4 điều kiện trên là tương đương.Giả sử φ là một vết ( hữu hạn hoặc nửa hữu hạn ) Xét ∗− đại số

A các toán tử đo được đối với (A, φ) theo nghĩa Segal − Nelson Hội tụhầu đều (hay hội tụ gần đều khắp nơi )cũng có thể được xét đối với dãytrong ˜A (cụ thể là đối với dãy (xn) trong L1(A, φ))

Định nghĩa 1.3.6 Một dãy (xn) trong ˜A được gọi là hội tụ hầu đềutới x nếu với mỗi ε > 0, tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho

φ(p⊥) < ε, (xn− x)p ∈ Avới n > n0 và

||(xn− x)p|| → 0khi n → ∞

Định lý 1.3.7 Dãy (xn) trong A ( trong ˜A nếu φ là một vết ) được gọi

là hội tụ hầu đều hai phía tới x ∈ A hay ( ˜A) nếu với mỗi ε > 0 ,tồn tạiphép chiếu p ∈ A sao cho φ(1 − p) < ε và

||(xn− x)p|| → 0khi n → ∞

1.3.3 Dạng không giao hoán của định lý Egoroff

Mệnh đề 1.3.8 Giả sử A là một đại số von Neumann hoạt động trongkhông gian Hilbert H Nếu dãy (xi) trong A hội tụ mạnh tới x0 thì vớimọi ε > 0 , tồn tại dãy (pi) ⊂ P rojA sao cho pi → 1 mạnh và

||(xi − x0)pi|| < εvới i = 1, 2,

Định lý 1.3.9 (Định lý Egoroff không giao hoán) Giả sử A là một đại

số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ ; xn là dãy trong A hội tụđến x theo topo toán tử mạnh Khi đó với mọi phép chiếu p ∈ A và mọi

ε > 0, tồn tại phép chiếu q ≤ p trong A và dãy con (xn k) của (xn) saocho φ(p − q) < ε và ||(xn k − x)q|| → 0 khi k → ∞

Bổ đề 1.3.10 Giả sử {xn} là một dãy toán tử dương từ A và {εn} làmột dãy số dương Nếu

∞

X

n=1

ε−1n φ(xn) < 1/2thì tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho

Các kí hiệu sử dụng trong đề tài : A kí hiệu 1 đại số vonNeumann hoạt động trong một không gian Hilbert phức H ; A0 là hoántập của A;φ là một trạng thái trên A ; A+ là nón các toán tử dươngtrong A ; P rojA là tập hợp tất cả các phép chiếu trực giao trong A Với

p ∈ P rojA luôn luôn p⊥ = 1 − p Toán tử đơn vị trong A là 1, đối vớitập con Borel Z của đường thẳng thực và toán tử tự liên hợp x , kí hiệu

eZ(x) là phép chiếu phổ của x tương ứng với Z Với x ∈ A thì |x|2 = x∗x

˜

A là tập các toán tử đóng ,τ− đo được , xác định trù mật A là tập cáctoán tử đóng , xác định trù mật và kết hợp với A

1.3.4 Khái niệm về luật số lớn

Một biến cố ngẫu nhiên có thể xảy ra mà cũng có thể không xảy đối vớimỗi phép thử Đại lượng ngẫu nhiên có thể lấy một trong các giá trị cóthể của nó Nhưng khi xét một số lớn những biến cố ngẫu nhiên hay đạilượng ngẫu nhiên , ta có thể thu được kết luận nào đó mà trên thực tế

có thể xem là chắc chắn Trong lý thuyết xác suất người ta gọi nhữngđịnh lý khẳng định dãy nào đó những đại lượng ngẫu nhiên hội

tụ theo xác suất về hằng số là những định lý luật số lớn Nhữngđịnh lý luật số lớn cổ điển ( luật số lớn đối với hội tụ theo xác suất )như định lý Bernoulli và định lý Chebyshev , Khinchin và luật số lớnđối với hội tụ hầu chắc chắn như định lý Kolmogorov

Định nghĩa 1.3.12 Luật yếu số lớn còn được gọi là định lýKhinchin Xét n biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn độc lập , cùng phânphối với phương sai hữu hạn và kỳ vọng E(X) Khi đó với mọi số thực

ε dương , xác suất để khoảng cách giữa trung bình tích lũy



= 0

Định nghĩa 1.3.13 Luật mạnh số lớn Kolmogorov Xét n biến ngẫunhiên độc lập X1, X2, , Xn cùng phân phối xác suất với phương saiE(|X|) < ∞ Khi đó trung bình tích lũy

Yn = X1 + X2 + + Xn

n

hội tụ hầu như chắc chắn về E(X) Tức là

Plimn→∞Yn(ω) = E(X)

= 1

Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann

Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến một số kết quả được coi là

mở rộng của định lý cổ điển cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập ( haykhông tương quan ) Dĩ nhiên ta sẽ cần khái niệm tổng quát tương ứng

về tính độc lập trong đại số von Neumann Việc thiết lập lại định nghĩa

cổ điển không khó Nhưng điều cần nhấn mạnh ở đây là tính độc lậpliên quan đến trạng thái φ là một điều kiện rất hạn chế ,đặc biệt khi φkhông phải là vết.Khái niệm độc lập trong xác suất không giao khôngđóng vai trò quá quan trọng như trong xác suất cổ điển Đó là lý do vìsao các định lý về dãy toán tử độc lập dường như ít quan trọng so vớicác định lý martingale hay ergodic Rất may là đối với trạng thái vết(tracial state) thì các kĩ thuật vẫn tương tự như trường hợp cổ điển.Vìvậy ta thu được rất nhiều kết quả đúng cho cả trường hợp giao hoán vàkhông giao hoán theo cách làm không khác nhiều cách làm cổ điển Thay cho việc nghiên cứu tính độc lập, ta sẽ nghiên cứu tính trựcgiao ( liên quan đến trạng thái φ) với điều kiện kém chặt hơn nhiều Cácđịnh lý liên quan đến dãy trực giao dường như được ứng dụng nhiềuhơn, và sẽ được nghiên cứu trong chương này Các định lý như vậy cóliên hệ với lý thuyết tương quan trong các quá trình ngẫu nhiên lượng

tử ( xem [14] ) và cho ta một số thông tin về biến thiên tiệm cận củadãy quan sát được không tương quan

31

Nếu trạng thái φ là vết thì ta sẽ thiết lập được một số định lý chodãy toán tử đo được Chính xác hơn, ta sẽ xét dãy (xn) ⊂ ˜A ,với ˜A là

*- đại số tô pô các toán tử đo được theo nghĩa Segal-Nelson Các thuậtngữ và một số kết quả liên quan đến toán tử đo được có thể xem thêmtài liệu trong phần phụ lục

2.1 Tính độc lập

Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ (faithful normal state φ ) Kí hiệu A1, A2 là các đại số von Neumanncon của A Theo Batty [11] ta có 2 phiên bản của khái niệm φ− độclập đối với dãy toán tử

Định nghĩa 2.1.1 Các đại số con A1, A2 được gọi là độc lập ( liên quanđến φ ) nếu φ(xy) =φ(x)φ(y) với mọi x ∈ A1, y ∈ A2

Rõ ràng quan hệ độc lập có tính chất đối xứng

Định nghĩa 2.1.2 Các phần tử x, y ∈ A ( hay từ ˜A nếu φ là trạng tháivết ) được gọi là độc lập nếu các đại số von Neumann W∗(x) và W∗(y)lần lượt sinh ra bởi x và y là độc lập

Dãy {xn} các phần tử từ A ( hay ˜A nếu φ là một vết ) được gọi

là độc lập liên tiếp nếu với mỗi n , đại số W∗(xn) độc lập với

W∗(x1, x2, , xn−1)

Định nghĩa 2.1.3 Họ {Bλ, λ ∈ Λ} của các đại số von Neumann concủa A ( hay trong ˜A nếu φ là vết ) gọi là độc lập yếu nếu Bλ độc lậpvới W∗{Bµ; µ ∈ Λ − {λ}}

2.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von

Neumann

Từ đây ta sẽ sử dụng một số kiểu hội tụ trong A

Ta công nhận định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.2.1 Dãy {xn} trong A được gọi là hội tụ hầu đầy đủtới x nếu với mọi ε > 0 ,tồn tại dãy (qn) các phép chiếu trong A sao cho

Định lý 2.2.2 Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩntắc đúng φ , và (xn) là dãy bị chặn trong A Nếu xn → x hầu đầy đủthì xn → x hầu đều

Chứng minh Giả sử ||xn|| ≤ 1 và x = 0 Cho trước ε > 0 Ta sẽ tìmdãy (qn) các phép chiếu trong A sao cho :

X

n

φ(qn⊥) < ∞

||pqn⊥p|| = ||qnp⊥||2 < 2εn; n = 1, 2,

Khi đó ta có:

||xnp|| ≤ ||xnqnp|| + ||xnq⊥np|| ≤ ||xnqn|| + ||qn⊥p|| < ε + (2εn)1/2 < 2εvới n > M0(ε)

Vì vậy điều kiện sau được thỏa mãn:

(*) Với mỗi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p với φ(p) ≥ 1 − ε và thỏa mãn

||xnp|| < ε với n > n0(ε);

Theo định lý 1.3.4 thì xn → 0 hầu đều ;

2.3 Định lý giới hạn mạnh cho dãy trực

Để chứng minh định lý này ta sẽ bắt đầu với kết quả như sau Mệnh đề 2.3.2 Giả sử (yn) là dãy trực giao từng đôi trong A Đặt:

tử của phân hoạch đầu tiên có độ dài 2m−1 ,cácphân tử của phân hoạchthứ r có độ dài 2m−r Đối với số nguyên dương n ≤ 2m , ta có biểu diễnnhị phân của nó Khi đó khoảng (0, n] có thể viết thành tổng của nhiềunhất m khoảng rời nhau I(n)

j mỗi khoảng thuộc một phân hoạch khácnhau , tức là :

Hơn nữa Bm không phụ thuộc vào n ∈ (0, 2] nên (2.5) đúng

Mệnh đề được chứng minh xong

tụ theo xác suất số định lý luật số lớn Nhữngđịnh lý luật số lớn cổ điển ( luật số lớn hội... class="page_container" data-page="26">

(khả ly) Đại số tất toán tử tuyến tính bị chặn H đại< /p>

số von Neumann Trường hợp cổ điển dẫn ta đến đại số von Neumanngiao hốn L∞(U, Bu,... class="text_page_counter">Trang 32

Luật mạnh số lớn đại số von Neumann< /h2>

Trong chương đề cập đến số kết coi

mở rộng định lý cổ điển cho dãy biến ngẫu