Luật mạnh số lớn của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên

13 2 Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên 15 2.1 Tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.. Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợ

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN - TIN

————————–o0o————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tên đề tài

LUẬT MẠNH SỐ LỚN CỦA TỔNG

CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI - 2016

Trang 2

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn "Luậtmạnh số lớn của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên", tôi đãnhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ và động viên của nhiều cá nhân và tậpthể, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các cá nhân và tập thể đãtạo điều kiện giúp đỡ tôi

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáotrong khoa Toán, đặc biệt là các thầy trong tổ Lí thuyết xác suất và thống

kê toán học-Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã mang đến cho tôi nhữngkiến thức bổ ích trong những năm học vừa qua và trong công việc sắp tới.Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng - Người thầy

đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiêncứu và hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn ở bêntôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện đề tài nghiêncứu của mình

Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô, bạn

bè và những người quan tâm để luận văn được hoàn thiện và phát triểnhơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội,5 tháng 6 năm 2017

Vũ Thị Kiều Ánh

Trang 3

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn VănHùng, luận văn chuyên ngành Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê ToánHọc với đề tài:"Luật mạnh số lớn của tổng có trọng số các biếnngẫu nhiên" được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thântác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, 5 tháng 6 năm 2017

Tác giả

Vũ Thị Kiều Ánh

Trang 4

Mục lục

Lời cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Lời nói đầu 4

1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản 7

1.2 Một số định nghĩa và kết quả cổ điển về luật số lớn 9

1.3 Martingale và các định lí giới hạn 10

1.4 Các khái niệm và kết quả liên quan đến luận văn 13

2 Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên 15 2.1 Tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối 15

2.2 Tổng có trọng số của martingale hiệu trong Lp - bị chặn 26

2.3 Tổng có trọng số của các dãy martingale bị chặn đều 32

2.4 Tính nhất quán mạnh trong hồi quy tuyến tính với các biến ngẫu nhiên của nhiễu độc lập có cùng phân phối 47

Trang 5

MỤC LỤC

Lời nói đầu

Trong nghiên cứu năm 1945 của Hill [20] sự hội tụ hầu khắp nơi của tínhkhả tổng đều áp dụng cho dãy số không và một Nếu {wn} là một dãy sốdương với tổng riêngWn :=

Kết quả này là một hệ quả của Định lý Khintchine-Kolmogorow, nó đưa

ra những câu hỏi về điều kiện của một chuỗi dương {wn} là đủ cho (1) Từ(1) dẫn đến wnεn

Wn

→ 0 hầu chắc chắn, điều kiện cần là εn

W n → 0 Kết quảnày đã được ghi nhận bởi Maruyama và Tsuchikura (xem tài liệu thamkhảo trong [34]) Tsuchikura đã chứng minh (1) đúng, nếu {wn} là tăng

Theo Định lý Khintchine-Kolmogorow, giả thiết của Hill chỉ ra rằng

Jamison, Orey và Pruitt [21] đã đưa ra điều kiện cần và đủ cho dãytrung bình có trọng số {wn} với tổng phân kỳ cho (3) đúng vơi mọi dãy{Xn} độc lập, cùng phân phối với E|X1| < ∞ và EX1 = 0 Họ giới

Trang 6

MỤC LỤC

thiệu hàm đếm được N (t) = card{n ≥ 1 : Wn/wn ≤ t} là hữu hạn khi

đó wn/Wn → 0, và họ đã chứng minh [21, định lí 2] rằng nếu {Xn} làmột dãy biến ngẫu nhiên khả tích quy tâm độc lâp, cùng phân phối trong(Ω, F ,P) sao cho:

E

|X1|2Z

Các vấn đề của việc tìm kiếm điều kiện đủ để giữ cho luật mạnh số lớncho trọng số (3) đúng cho mọi biến quy tâm độc lập cùng phân phối, với

E|X1|p < ∞ (p > 1 cố định) mới được Lin và Weber [24] nghiên cứu.Trong luận văn này chúng ta xét điều kiện đặt trên một dãy phức {bn}với|bn| → ∞, để thu được hầu chắc chắn của chuỗiP

n

Xn

bn khi {Xn}thuộcvào lớp hàm khả tích Đặc biệt là các trường hợp trung bình có trọng số,khi {Xn} là một dãy các số dương có tổng phân kỳ và bn = Pn

1 Mở rộng áp lên dãy chỉ số {bn}

2 Mở rộng các kết quả cho dãy {Xn} là một martingale hiệu

Luật văn được chia làm hai chương

Chương I: Kiến thức chuẩn bị, nội dung chương này là những kiếnthức chuẩn bị của luận văn, một số định nghĩa và kết quả cổ điển về luật

số lớn, về martingale và các định lí giới hạn

Trang 8

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω là một tập khác rỗng Một họ F những tậpcon của Ω được gọi là một σ- đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện:

(i) Ω ∈ F;

(ii) Nếu A ∈ F thì Ω \ A ∈ F;

(iii) Nếu An ∈ F , n ≥ 1 thì S∞

i=1An ∈ F Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω là một tập khác rỗng và F là một σ - đại sốcác tập con của Ω Hàm tập P xác định trên F được gọi là một độ đo xácsuất nếu thỏa mãn ba điều kiện

(i) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ F;

Định nghĩa 1.1.3 Cho Ω là một tập khác rỗng và F là một σ - đại

số các tập con của Ω và P là một độ đo xác suất trên F Khi đó bộ ba(Ω, F ,P) được gọi là không gian xác suất tổng quát Nếu với A ∈ F thỏamãn P(A) = 0 mà ta có B ∈ F , ∀B ⊂ A thì F được gọi là σ - đại số đầy

đủ và P được gọi là độ đo xác suất đầy đủ Khi đó, không gian (Ω, F ,P)được gọi là không gian xác suất đầy đủ

Định nghĩa 1.1.4 Ký hiệu R là tập hợp tất cả các số thực và B(R) là

σ - đại số nhỏ nhất chứa các khoảng mở dạng (a, b), (a, b ∈ R) Khi đó

Trang 9

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

B(R) được gọi là σ - đại số Borel trong R Mỗi phần tử của B(R) được gọi

là một tập Borel

Định nghĩa 1.1.5 Hàm thực X : Ω → R được gọi là hàm F - đo đượchoặc biến ngẫu nhiên nếu {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X−1(B) ∈ F , ∀B ∈B(R)

Định nghĩa 1.1.6 Hàm số FX(x) = {ω ∈ Ω : X(ω) < x}, x ∈ R đượcgọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

Định nghĩa 1.1.7 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên thì họ

σ(X) = {X−1(B) : B ∈ Bđược gọi là σ- đại số sinh bởi X

Định nghĩa 1.1.8 Cho dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2, có các hàmphân phối tương ứng là FX1, FX2, Các biến ngẫu nhiên trên được gọi làcùng phân phối nếu

FX1(x) = FX2(x) = ∀x ∈ R.Định nghĩa 1.1.9 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất

(i) Họ hữu hạn các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu

EX =

Z

Ω

XdP

Trang 10

Định nghĩa 1.1.11 Với p > 0, ký hiệu Lp = Lp(Ω, F ,P) là tập hợpcácbiến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F ,P) sao cho E|X|p < ∞

Định nghĩa 1.1.12 Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn}n≥1 được gọi là bịchặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D < ∞ saocho

n→∞Xn → Xo = 1Khi đó ta ký hiệu

Trang 11

(iv) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn}n≥1 Ta nói dãy {Xn}n≥1 hội tụyếu hay hội tụ theo phân phối về biến ngẫu nhiên X nếu: Với mọi hàm

f :R → R liên tục và bị chặn, ta có:

lim

n→∞E(f (Xn)) = E(f (X))Khi đó ta ký hiệu

Xn→ X (n → ∞).dĐịnh lí 1.2.2 Dãy {Xn}n≥1 hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên Xnếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, ta có

lim

n→∞P

sup

n

An

= 1,trong đó limsup

n

An=T∞

n=1

S∞ k=nAk

Định lí 1.2.4 (Định lí Marcinkiewicz – Zygmund) Giả sử {Xn}n≥1 là dãycác biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và 0 < p < 2 Khi đó

Pn i=1Xi − nc

n1p

→ 0 h.c.c

khi và chỉ khi

E|X1|p < ∞trong đó c = EX1 nếu 1 ≤ p < 2 và c là hằng số tùy ý nếu 0 < p < 1.1.3 Martingale và các định lí giới hạn

Giả sử (Ω, F ,P) là một không gian xác suất và (Fn) là một lọc các σ -đại

số thỏa mãn

Fo ⊆ F1 ⊆ ⊆ F

Họ (Fn) như vậy được gọi là một lọc trên không gian đo (Ω, F )

Trang 12

Nếu (XN) là một dãy biến ngẫu nhiên trên (Ω, F ,P) sao cho với mỗi

n ≥ 1, Xn là (Fn) đo được thì X = (Xn, Fn)n∈N) được gọi là một dãytương thích Nếu (Vn) là một dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn Vn là (Fn−1)

- đo được với moi n ≥ 1 thì ta gọi V = (Vn, Fn)n≥1 là dự báo được

Nếu cho trước một dãy biến ngẫu nhiên (Xn) trên không gian xác suất(Ω, F ,P) thì dãy σ- đại số FX

n xác định bởi FX

n = σ (X1, , Xn) đượcgọi là σ - đại số tự nhiên sinh bởi dãy (Xn)

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử (Ω, F ,P) là một không gian xác suất với lọc(Fn) Dãy (Xn, Fn)n≥0 được gọi là martinegale nếu với mọi n ≥ 0, cả bađiều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Xn là Fn - đo được;

(ii) E|Xn| < ∞;

(iii) E(Xn+1|Fn) = Xn hầu chắc chắn

Dãy (Xn, Fn)n≥0 được gọi là martinegale dưới nếu các điều kiện(i),(ii)được thỏa mãn và

(iii’) (Xn, Fn) ≥ Xn hầu chắn chắn với mọi n ≥ 0

Dãy (Xn, Fn)n≥0 được gọi là martinegale trên nếu các điều kiện (i),(ii)được thỏa mãn và

(iii”) (Xn, Fn) ≤ Xn hầu chắn chắn với mọi n ≥ 0

Nhận xét 1.3.2

(i) Dãy(Xn, Fn)là martingale trên khi và chỉ khi dãy (−Xn, Fn)là gale dưới Dãy (Xn, Fn) là martingale khi và chỉ khi nó vừa là martingaletrên vừa là martingale dưới

martin-(ii) Nếu dãy (Xn, Fn) là martingale thì E(Xn, Fn) = Xn hầu chắc chắn vớimọi m ≥ n

Định nghĩa 1.3.3 Dãy tương thích (Xn, Fn)n∈N được gọi là Martingalehiệu nếu E|Xn| < ∞ đối với mọi n ∈ N và

E(Xn+1|Fn) = 0

Rõ ràng nếu S = (Sn, Fn)n∈N là martingale thì (Xn, Fn)n∈N là martingalehiệu trong đó:

X0 = S0, Xn = ∆Sn = Sn − Sn−1, n = 1, 2,

Trang 13

Ngược lại, nếu (Xn, Fn)n∈N là martingale hiệu thì S = (Sn, Fn)n∈N làmartingale trong đó:

Sn−an

bn → 0 h.c.c

ở đây Sn = X1 + X2 + + Xn

Định lí 1.3.5 (Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợp tổng quát) Giả

sử {Xn}n>1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với các moment bậc haihữu hạn, (bn) là dãy hằng số sao cho 0 < bn ↑ ∞ Khi đó nếu

< ∞thì

Sn−ESn

bn → 0 h.c.c

Định lí 1.3.6 (Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợp cùng phân phối)Giả sử {Xn}n>1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Khiđó

Sn

n → a h.c.c a ∈ Rkhi và chỉ khi E|X1| < ∞ và EX1 = a

Định lí 1.3.7 (Định lí giới hạn trung tâm Lindeberg) Giả sử (Xn) là dãybiến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng và phương sai hữu hạn Đặt

Bn = (DX1 + + DXn)1/2Và

Sn∗ =

Pn k=1(Xk −E(Xn))

Bn

Trang 14

Khi đó, nếu với mọi ε > 0

Ln(ε) = 1

B2 n

Định lí 1.3.8 Giả sử M = (Xn, Fn)n≥0 là martingale bình phương khảtích và A = (Aa, Fn−1) là dãy tăng dự báo được với A1 ≥ 1, A∞ = ∞ hầuchắc chắn Nếu

thì

A−1n Mnh.c.c→ 0Đặc biệt, nếu đặc trưng bình phương hM i của M thỏa mãn hM i∞ = ∞

n

X

i=1

(Xi −E(Xi| Fi−1)) → 0Khi n → ∞ Nếu E |X| log+|X|

< ∞ thì dãy trên hôi tụ hầu chắc chắn.1.4 Các khái niệm và kết quả liên quan đến luận văn

Định nghĩa 1.4.1 (Trung bình cộng có trọng số) Trung bình cộng cótrọng số của một tập là giá trị trung bình cộng có phản ánh tầm quantrọng của các phần tử (hay giá trị quan sát) trong tập đó Mỗi một giá trịquan sát sẽ được gắn một trọng số

Công thức tính trung bình cộng có trọng số là:

x = w1x1 + w2x2 + + wnxn

w1 + w2 + + wn

Trang 15

hay

x =

Pn i=1wixi

Pn i=1wi

trong đó x1, x2, , xn là các phần tử trong tập, và w1, w2, , wn là cáctrọng số tương ứng của từng phần tử, i là thứ tự i của phần tử hoặc trọng

số trong khoảng từ 1 đến n Trong thống kê trung bình cộng có trọng sốhay được dùng để tính toán các chỉ số

Định nghĩa 1.4.2 (Hàm số loại Orlicz) Hàm M : [0, +∞) → R được gọi

là hàm Orlicz nếu:

(1.) M là hàm không giảm, liên tục;

(2.) M (0) = 0 và lim

t→∞M (t) = ∞;(3.) M là hàm lồi Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho

Trang 16

Chương 2

Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu

nhiên

2.1 Tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng

phân phối

Chương này chúng ta nghiên cứu về luật mạnh số lớn đối với trung bình

có trọng số của các biến ngẫu nhiên quy tâm (tức là EXn = 0 với mọi n)độc lập cùng phân phối{Xn} thông qua sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi

Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm đếm được trong luận văn

Bổ đề 2.1.1 Giả sử {αn} là một dãy không âm, tiến tới vô hạn Giả

sử ϕ (t) là một hàm khả vi, dương và không giảm trên [1, ∞), sao cho

Bởi các điều trên và sử dụng định nghĩa tích phân Riemann-Stieltjes,

Trang 17

Chương 2 Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu

ϕ (t) dN (t) = ϕ (z) N (z)−ϕ (1) N (1)−

Z z 1

ϕ0(t)N (t)dthội tụ Nếu tích phân

hội tụ, bởi tính đơn điệu của N (t) và giả sử ϕ (t) →

t→∞0, ta có:

ϕ (z) N (z) ≤ −

Z ∞ z

ϕ0(t)N (t) dt → 0 khi z → ∞

Do đó chuỗi P∞

k=1ϕ(αk) hội tụ

Nhận xét 2.1.2 Tính chất tiệm cận duy nhất của ϕ là quan trọng,

điều kiện cần để thỏa mãn là t ≥ to Điều kiện này là đủ để kiểm tra

Xk hội tụ hầu chắc chắn tới 0 với mọi dãy {Xn} khả tích quy

tâm độc lập cùng phân phối Rõ ràng nếu supnn/ |bn| là hữu hạn thì

lim sup

t→∞

card{n ≥ 1 : |bn| ≤ t} /t < ∞ Định lý sau đây sẽ làm rõ điều đó

hơn:

Định lí 2.1.3 Giả sử {bn} là dãy số phức khác không Đặt N (t) =

card{n ≥ 1 : |bn| ≤ t} và giả sử lim sup

t→∞

N (t)/tp < ∞ với 1 ≤ p < 2.Khi đó với dãy biến ngẫu nhiên {Xn} khả tích quy tâm độc lập cùng phân

Chứng minh Trước hết ta có 2 nhận xét:

(a) Nhắc lại rằng khi N (t) có giá trị hữu hạn thì |bn| → ∞;

Trang 18

Chương 2 Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên

(b) Chúng ta có thể giả sử rằng |bn| ≥ 1 với mọi n ≥ 1

Bây giờ chúng ta chứng minh định lí

Từ lim sup

t→∞

N (t)/tp < ∞, cho X1 ∈ Lp(P) ta có E[N (|X1|)] < ∞, dođó

Với p < 2 vì lim sup

hội tụ hầu chắc chắn cho mọi 1 ≤ p < 2

Bây giờ ta chứng minh rằng

N (t)dt

t2

!#.(∗∗)

Nhận xét 2.1.4

Trang 19

1 Khi p = 1 và đặt bn = n , trường hợp (i) và (iii) củng cố cho luật mạnh

số lớn bởi Marcinkiewicz-Zygmund [25, định lí 6] Một ví dụ cho thấy sựtổng quát: khi p = 1 chỉ cần điều kiện E[|X1|] < ∞ là đủ để chuỗi hội tụ

2 Khi ta lấy 1 < p < 2 và bn = n1p, trường hợp (i) đúng với1 < p < 2 Với

p = 2 trường hợp (i) của định lí là sai khi đó bn = √

n và sử dụng định lígiới hạn trung tâm

3 Chú ý rằng trong chứng minh của định lí nếu lim sup

hội tụ hầu chắc chắn trong

đó {Xn} là biến ngẫu nhiên khả tích quy tâm độc lập cùng phân phối với

X1 - đối xứng hoặc E|X1| log+|X1|

< ∞.Làm theo các tính toán trong chứng minh của định lí (2.1.3) để thấyrằng nếu ta giả định lim sup

2 của [21], ý đầu tiên được suy ra từ những lập luận trước, ý thứ hai đượcchứng minh ở phần (iii) của Định lí (2.1.3)

Nhận xét 2.1.7

1 Cho trọng số bị chặn với tổng phận kì, luật mạnh số lớn của trọng số đúngcho biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với E|X1| log+|X1|

< ∞(theo [21])

Trang 20

2 Lin và Weber đã chứng minh cho trọng số không bị chặn nếu

Mệnh đề 2.1.8 Giả sử {bn} là một dãy số phức khác không, đặt N (t) =

# {n ≥ 1 : |bn| ≤ t} Cho p ≥ 1 các điều sau là tương đương:

(i) lim sup

bn hội tụ hầu chắc chắn tới

0 nói rằng E[N (|X1|)] < ∞ cho mọi dãy {Xn} - đối xứng độc lập cùngphân phối với X1 ∈ Lp(P)

Cần chú ý rằng với mọi dãy vô hạn không âm {βn} thì tồn tại một dãykhông âm {αn}, sao cho

Trang 21

(i) ⇒ (ii): Với mọi ε > 0 ta có E

N

|X1|ε

1 Chú ý rằng, điều kiện (i) nói rằng Xn

bn → 0 hầu chắc chắn với mọi dãyphân phối đều{Xn} (không cần độc lập) có E[|X1|p] < ∞ Mặt khác, nếu

Xn

bn → 0hầu chắc chắn với mọi dãy phân phối đều {Xn} thì điều (i)đúng

2 Giả sử ϕ (t) là hàm dương, không giảm trên [0, ∞) Hàm số loại Orlicz

là t → tp, t → tlog+t, Khi đó sự tương đương trên đúng theo nghĩa sauđây: lim sup

t→∞

N (t)/ϕ (t) → ∞ nếu và chỉ nếu Xn

b n → 0 hầu chắc chắn chomọi dãy {Xn} đối xứng độc lập cùng phân phối với E[ϕ (|X1|)] < ∞

Hệ quả 2.1.10 Giả sử {bn} là dãy số phức khác không Đặt N (t) =card{n ≥ 1 : |bn| ≤ t}, cho 1 < p < 2 các điều kiện sau tương đương:(i) lim sup

Trang 22

Do đó, điều kiện(iv)tương đương với 3 điều kiện trên của hệ quả, và chúng

ta thu được kết quả mạnh hơn của [8, định lí 2], chứng minh (i) ⇔ (iv), ởđây từ điều kiện(i)ta thu được sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi

3 Cho 1 < p < 2, (iii) sẽ đúng với P

n

an

An

p

= ∞

4 Trong ý 2 của nhận xét, nói chung cho p = 2 ta có (iii) ⇒ (iv) ⇒(ii) ⇔ (i); tuy nhiên điều kiện (i) của hệ quả (2.1.10) không đưa đến (iv)nếu an = 1 và An = √

∞

P

n=1

... data-page="25">

Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên< /small>

1 Sự khác biệt “trung bình” xét đến định lí (2.1.15) vàtrung bình có trọng số xét [21] tính khả tổng có [21].Chính... data-page="24">

Trang 25

Chương Luật mạnh. .. class="page_container" data-page="23">

(iii) ⇒ (ii) hiển nhiên

Chứng minh (ii) ⇒ (i) tương tự chứng

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	447,35 KB