Luật mạnh số lớn đốivới tổng trọng số các biế n ngẫu nhiên

2 Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên 92.1 Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên.. 9 2.2 Luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund cho dãy trọn

2 Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên 9

2.1 Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên 9

2.2 Luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund cho dãy trọng số độc lập cùng phân

MỞ ĐẦU

Luật mạnh số lớn đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất.Luật số lớn đầu tiên do James Bernoulli công bố năm 1713 Về sau kết quảnày được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên phảiđến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được E.Borel phát hiện Kết quả nàyđược Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926 Trên cơ sở đọc hiểu và tìm hiểutài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên cứu đề tài " Luật mạnh số lớn đốivới tổng trọng số các biến ngẫu nhiên"

Khóa luận được chia làm 2 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất để làm công cụ nghiêncứu chương sau Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu trích dẫn từ [2] và [3].Chương 1 gồm 3 tiết Tiết 1.1, chúng tôi trình bày các khái niệm như khônggian xác suất, biến ngẫu nhiên và tính độc lập Tiết 1.2, chúng tôi trình bàymột số bất đẳng thức cơ bản để làm công cụ nghiên cứu các tiết sau Luật

số lớn được trình bày ở tiết 1.3 Sau khi trình bày khái niệm luật số lớn,chúng tôi trình bày một số luật số lớn cổ điển nổi tiếng

Chương 2: Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biếnngẫu nhiên

Đây là nội dung chính của khóa luận, bao gồm 2 tiết Tiết 2.1 chúng tôithiết lập luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên độc lập,

bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X Kết quả chính trong tiết này mởrộng Định lý 2.1 trong [4] Trong tiết này chúng tôi cũng trình bày lại chi

tiết Định lý 2.2 trong [4] Tiết 2.2 chúng tôi trình bày lại chi tiết Định lý3.1, Bổ đề 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, và Mệnh đề 3.6 trong [5].

Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của

TS Lê Văn Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sựnhiệt tình hướng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thànhkhóa luận

Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán ,các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Vinh, gia đình và bạn bè

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả được học tập và hoàn thành khóaluận

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do khả năng bản thân còn hạn chế nênkhóa luận chắn hẳn còn nhiều thiếu sót Kính mong sự góp ý của quý thầy

cô cùng toàn thể các bạn sinh viên

Vinh, tháng 5 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản

1.1.1 Định nghĩa Cho Ω là một tập khác rỗng Một họ F những tập concủa Ω được gọi là một σ- đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện

được gọi là không gian xác suất tổng quát

Nếu với A ∈ F thỏa mãn P(A) = 0 mà ta có B ∈ F , ∀B ⊂ A thì F được

gọi là σ- đại số đầy đủ và P được gọi là độ đo xác suất đầy đủ Khi đó,không gian (Ω, F , P ) được gọi là không gian xác suất đầy đủ.

1.1.4 Định nghĩa Ký hiệu R là tập hợp tất cả các số thực và B(R) là σđại số nhỏ nhất chứa các khoảng mở dạng (a, b), (a, b ∈ R). Khi đó B(R)được gọi là σ- đại số Borel trong R Mỗi phần tử của B(R) được gọi là mộttập Borel

-1.1.5 Định nghĩa Hàm thực X : Ω → R được gọi là hàm F - đo đượchoặc biến ngẫu nhiên nếu

{ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X−1(B) ∈ F , ∀B ∈ B(R)

1.1.6 Định nghĩa Hàm số FX(x) = P {ω ∈ Ω : X(ω) < x} , x ∈ R đượcgọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

1.1.7 Định nghĩa Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên thì họ

σ(X) = X−1(B) : B ∈ B

được gọi là σ- đại số sinh bởi X

1.1.8 Định nghĩa Cho dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2, có các hàmphân phối tương ứng là FX1, FX2, Các biến ngẫu nhiên trên được gọi làcùng phân phối nếu

FX1(x) = FX 2(x) = ∀x ∈ R

1.1.9 Định nghĩa Giả sử (Ω, F , P ) là không gian xác suất

i) Họ hữu hạn {Fi, i ∈ I} các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu

iii) Họ các biến ngẫu nhiên {Xi, i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ đại số sinh bởi chúng độc lập.

-iv) Họ các biến cố {Ai, i∈ I} ⊂ F được gọi là độc lập nếu các biến ngẫunhiên {IAi, i∈ I} độc lập

1.1.10 Định nghĩa Giả sử X : (Ω, F , P ) → (R, B) là đại lượng ngẫunhiên Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P ( nếu tồn tại ) đượcgọi là kỳ vọng của X và ký hiệu là EX Vậy

1.2.3 Bất đẳng thức Bernstein Giả sử X1, X2, ,Xn là các biếnngẫu nhiên độc lập với EXi = 0, |Xi| ≤ M, 1 ≤ i ≤ n, ε > 0 Khi đó

P

(

1.2.4 Bổ đề Kronecker Giả sử {bn, n ≥ 1} là dãy hội tụ thỏa mãn

ii) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} Ta nói dãy {Xn, n ≥ 1} hội

tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên X nếu

P

nlim

n→∞Xn = Xo = 1

Khi đó ta ký hiệu

Xn −−→ Xh.c.c (n → ∞)

1.3.2 Định lý Dãy{Xn, n ≥ 1}hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên

X nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, ta có

lim

sup

n=1P(An) = ∞và các biến cốAn độc lập, thìP(lim supnAn) = 1,

trong đó lim supnAn = T∞

n=1

S∞ k=nAk.1.3.4 Định lý Marcinkiewicz - Zygmund Giả sử {Xn, n ≥ 1} làdãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và 0 < p < 2 Khi đó

Pn i=1Xi− nc

CHƯƠNG 2

LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG TRỌNG SỐ CÁC

BIẾN NGẪU NHIÊN

Trong chương này ta ký hiệu C là hằng số, nhưng hằng số đó không nhấtthiết giống nhau trong các lần xuất hiện Ký hiệu log chỉ logarit cơ số e

2.1 Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên

Định lý 2.1 trong [4] thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫunhiên độc lập cùng phân phối, khả tích cấp p, p ≥ 1 với kỳ vọng 0 Trongtiết này chúng tôi sẽ mở rộng Định lý 2.1 trong [4] cho dãy các biến ngẫunhiên độc lập bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X, khả tích cấp p,

p≥ 1 Kết quả chính trong tiết này là Định lý 2.1.1

2.1.1 Định lý Giả sử p ≥ 1 và {Xi, i ≥ 1} là một dãy các biến ngẫunhiên độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X với E|X|p < ∞

> n1pε

)

< ∞ (2.2)

Áp dụng Bất đẳng thức Bernstein đối với các biến ngẫu nhiên

n1p

≤ b−1n X|ani|αnα1−1logδ1 +1− 1

αn ≤ Aαα,n

Bổ đề được chứng minh

2.1.6 Bổ đề b−1n P (a0ni+ a”ni)Xi0 → 0 h.c.c

n log n−1+1λ

Để hoàn thành chứng minh bổ đề này chúng ta cần chỉ ra

∀ε > 0, P(M1−

1 α

≤ Cexp(−ε(log n)γ+1γ

nh(log n)γδ1 − αδ2log log no)

≤ Cexp(−1

2 εh(log n)

1+ γ α(γ+1))

Vậy (*) đúng, vì vậy Bổ đề được chứng minh

2.1.7 Bổ đề b−1n P a”niXni” ≤ 3 h.c.c và b−1n P a”0

niXi∗ → 0 h.c.c

Chứng minh Trước tiên chúng ta chỉ ra rằng

b−1n Xa”niEXi0 → 0 và b−1n Xa”ni0EXi∗ → 0

Từ EX = 0, Eexp(h |X|γ) < ∞ với h, γ > 0 và sử dụng bất đẳng thứcMarkov ta có

EXi”

=

EXi− EXic− EXi0 ... TỔNG TRỌNG SỐ CÁC

BI? ?N NGẪU NHI? ?N

Trong chương ta ký hiệu C số, số khơng nhấtthiết giống l? ?n xuất Ký hiệu log logarit số e

2.1 Luật mạnh số l? ?n tổng trọng số bi? ?n ngẫu nhi? ?n. ..

Định lý 2.1 [4] thiết lập luật mạnh số l? ?n dãy bi? ?n ngẫunhi? ?n độc lập ph? ?n phối, khả tích cấp p, p ≥ với kỳ vọng Trongtiết mở rộng Định lý 2.1 [4] cho dãy bi? ?n ngẫunhi? ?n độc lập bị ch? ?n ngẫu nhi? ?n. .. nhi? ?n bi? ?n ngẫu nhi? ?n X, khả tích cấp p,

p≥ Kết tiết Định lý 2.1.1

2.1.1 Định lý Giả sử p ≥ {Xi, i ≥ 1} dãy bi? ?n ngẫunhi? ?n độc lập, bị ch? ?n ngẫu nhi? ?n bi? ?n ngẫu nhiên