Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều" potx

Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫunhiên trong không gian Banach p-trơn đều Nguyễn Văn Quảng a, Nguyễn Trần Thuậnb Tóm tắt.. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu luật m

Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu

nhiên trong không gian Banach p-trơn đều

Nguyễn Văn Quảng (a), Nguyễn Trần Thuận(b)

Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu luật mạnh số lớn cho mảng phù

hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều Một số kết quả chúng tôi đưa ra là tổng quát hơn các kết quả trước đó.

Năm 1973, Smythe [8] đã thu được luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng nhiều chiều được Gut [2], Klesov [3], thiết lập Năm 2005, L V Thanh [9] đã mở rộng Luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên (nhận giá trị thực) trong trường hợp không cùng phân phối Luật mạnh số lớn cho mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach Rademacher dạng

pđã được A Rosalsky và L V Thanh nghiên cứu trong [6] và [7] Tuy nhiên các kết quả trên chỉ xét cho mảng nhiều chiều các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng không

Bằng việc giới thiệu khái niệm mảng phù hợp và mảng các hiệu martingale, chúng

tôi đã thiết lập được luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp - một dạng mở rộng của Luật mạnh số lớn Kolmogorov - và luật mạnh số lớn kiểu Marcinkiewicz-Zygmund cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên

Trong bài báo này, ta luôn giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất đầy đủ cố

định Với a, b ∈ R,max{a, b} vàmin{a, b} được kí hiệu lần lượt làa ∨ b và a ∧ b Kí hiệu

C là một hằng số dương, nhưng hằng số đó không nhất thiết phải giống nhau trong các lần xuất hiện Kí hiệu log chỉ logarit cơ số 2 và log+x = log(1 ∨ x) Với x > 0, kí hiệu[x]là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach khả liX được gọi là không gian Banachp-trơn

đều (1 6 p 6 2)nếu

ρ(τ ) = supnkx + yk + kx ư yk

2 ư 1; ∀ x, y ∈ X ; kxk = 1, kyk = τo6 Cτp

với C là một hằng số nào đó

Ví dụ Mọi không gian Hillbert thực, khả li là không gian Banach 2-trơn đều Các không gian` p , L p với 1 < p < ∞là các không gianp ∧ 2-trơn đều

Định lý sau đây của Assouad đưa ra điều kiện cần và đủ để một không gian Banach khả li X là không gian Banachp-trơn đều

Định lý1.2 (Assouad [10]) Không gian Banach khả liX làp-trơn đều (1 6 p 6 2) nếu

và chỉ nếu với mọiq > 1, tồn tại hằng sốC > 0sao cho với mọi martingale{Sn, Fn , n > 1}

nhận giá trị trên X đều có

EkSn k q

6 CE

n X i=1

kSiư Siư1k p
q/p, ∀n ∈ N (1.1)

(Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund)

1 Nhận bài ngày 01/6/2009 Sửa chữa xong 05/8/2009.

Định lý 1.3 (Assouad, Hoffmann Jφrgensen [10]) Không gian Banach thực X là p -trơn đều (1 6 p 6 2) khi và chỉ khi tồn tại số dương L sao cho với mọi x, y ∈ X, ta có

kx + yk p + kx ư ykp6 2kxkp+ Lkykp (1.2)

Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất, X là không gian Banach khả li và B(X ) là

σ-đại số tất cả các tập Borel trongX Cho mảng hai chiều{Fmn , m > 1, n > 1}cácσ-đại

số con của F với chỉ số trong N ì N Khi đó mảng hai chiều {Xmn, Fmn , m > 1, n > 1}

được gọi là mảng phù hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Xmn là Fmn/B(X ) đo được

2 Với mỗi n ∈ N và m2 > m1 thì Fm1n ⊂ Fm2n, với mỗi m ∈ N và n2 > n1 thì

Fmn1 ⊂ Fmn2

Chú ý rằng định nghĩa mảng phù hợp ở đây của chúng tôi khác với định nghĩa mảng phù hợp đã được nêu trong [4] và [5] Trong các định nghĩa đó, khái niệm mảng phù hợp được xây dựng dựa trên quan hệ thứ tự tần số trênN2

Kí hiệu F ∗

mn = σ(Fmư1 ∞ S F∞ nư1) với F∞n = σ( S

m>1 Fmn) và Fm∞ = σ( S

n>1 Fmn) Ta quy ước rằng F0∞= F∞0= {∅, Ω}

Một mảng phù hợp{Xmn, F mn; m > 1, n > 1}được gọi là mảng các hiệu martingale nếu

E{Xmn|Fmn∗ } = 0 hầu chắc chắn (h.c.c) ∀m, n ∈ N.

Ví dụ sau đây cho chúng ta thấy được sự tồn tại của khái niệm mảng các hiệu martingale

Ví dụ 1 Cho{X mn, m > 1, n > 1}là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập có kì vọng 0 Với mọi m > 1, n > 1, gọiFmn là σ-đại số sinh bởi Xmn, khi đó E(Xmn|F mn) = EXmn∗ = 0

và {Xmn, Fmn ; m > 1, n > 1}lập thành một mảng các hiệu martingale

Ví dụ 2 Cho dãy (Xn, Fn , n > 1) là một hiệu martingale nào đó nhưng (Xn , n > 1)

không độc lập Với mọi n > 1, đặt

Xmn= Xn nếu m = 1 và Xmn= 0 nếu m > 1;

Fmn= Fn , m ≥ 1.

Ta có

Xmn ∈ Fmn với mọim > 1, n > 1;

Fmn∗ = Fnư1 nếum = 1; Fmn∗ = σ

∞ [ n=1

Fn nếu m > 1.

Khi đó {Xmn, F mn, m > 1, n > 1} là mảng các hiệu martingale nhưng không là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0

Từ hai ví dụ trên ta thấy rằng tập hợp tất cả mảng các hiệu martingale thực sự rộng hơn tập hợp tất cả mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0

Mảng các phần tử ngẫu nhiên{Xmn , m > 1, n > 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng sốC < ∞thỏa mãn

P{kX mnk > t} 6 CP{kXk > t}, với mọi t > 0, m > 1, n > 1.

Từ điều kiện trên chúng ta dễ dàng thấy rằng nếu {Xmn , m > 1, n > 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiênX11 và khi đóC = 1

Bổ đề sau đây cho ta một cách chứng minh sự hội tụ hầu chắc chắn của mảng các phần tử ngẫu nhiên và nó rất hay đ−ợc sử dụng trong quá trình chứng minh sự hội

tụ hầu chắc chắn của mảng các phần tử ngẫu nhiên

Bổ đề1.4 Giả sử {X mn, m > 1, n > 1}là mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên.

1 Vớiε > 0 bất kì, nếu

∞ X m=1

∞ X n=1 P(kXmn k > ε) < ∞,

thì Xmn → 0h.c.c khi m ∨ n → ∞.

2 Vớip > 0, nếu

∞ X m=1

∞ X n=1 EkXmnk p < ∞,

thì Xmn→ 0h.c.c và trong L p khim ∨ n → ∞.

Chứng minh Với mỗi ε > 0, đặt

Ak(ε) =

∞ [ m∨n=k (kX mnk > ε), k > 1,

khi đó dãy {Ak (ε), k > 1}là dãy giảm các biến cố, đặt

A(ε) =

∞

\ k=1

Ak (ε) và A = [

ε>0 A(ε) =

∞ [ l=1

A1 l



1 Với mọi k > 1, vì chuỗi kép P∞m=1P∞n=1P(kXmnk > ε) hội tụ nên phần đuôi

P

m∨n>k P{kXmnk > ε}của nó sẽ dần tới 0 khik → ∞ Ta có:

P(Ak (ε)) = P{ sup

m∨n>k

kXmnk > ε} 6 X

m∨n>k P{kXmnk > ε} → 0 khi k → ∞.

Từ đây ta suy ra

P(A(ε)) = lim

k→∞ P(Ak (ε)) = lim

k→∞ P{ sup m∨n>k

kXmnk > ε} = 0,

điều này kéo theoP(A(1

l )) = 0với∀ l > 1 Do đó ta có P(A) = 0 Nếuω / ∈ A thì ω / ∈ A( 1

l )với∀ l > 1, từ đây ta suy ra rằng ứng với mỗil ∈ N, tồn tại

kl sao cho kXmn (ω)k 6 1l với mọi m ∨ n > k l, điều này kéo theo lim

m∨n→∞ Xmn(ω) = 0.

Vì P(A) = 0 nên Xmn → 0h.c.c khi m ∨ n → ∞

2 Vớip > 0, do chuỗi kép m=1 n=1EkXmnk phội tụ nên hiển nhiên suy raEkXmnk p →

0 khi m ∨ n → ∞ Do đóXmn → 0trongL p khi m ∨ n → ∞.

Mặt khác, với mọi k > 1và áp dụng bất đẳng thức Markov ta có

∞ X m=1

∞ X n=1

P(kXmnk > ε) 6 1

ε p

∞ X m=1

∞ X n=1 EkXmn k p < ∞ (do giả thiết)

Theo ý thứ nhất ta suy ra Xmn → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞.

Bổ đề sau sẽ thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng các hiệu martingale trong không gian Banachp-trơn đều

Bổ đề2.1 Cho 0 < p 6 2 Cho {Xij ; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n} là họmn phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach khả li Khi 1 < p 6 2ta giả thiết thêm{Xij, Fij ; 1 6 i 6 m, 1 6

j 6 n} là mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p-trơn đều thì

E

 max 16k6m 16l6n

k X i=1

l X j=1

Xij 

p

6 C

m X i=1

n X j=1

với hằng số C không phụ thuộc vàomvà n.

Chứng minh Trong trường hợp1 < p 6 2 :

Đặt Skl =Pki=1Plj=1Xij, Yl = max

16k6m kSkl k với mỗi l = 1, 2, , n Nếu σl là σ-đại số sinh bởi{Xij ; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 l}thì σl ⊂ F ∗

i l+1 với mọi i > 1, điều này kéo theo

E(X i l+1|σl ) = E(E(X i l+1|Fi l+1∗ )|σl) = 0 h.c.c.

Do đó ta có

E(Sk l+1|σl ) = E(S kl + X1 l+1 + ã ã ã + Xk l+1|σl)

= E(S kl |σl ) + E(X 1 l+1|σl ) + ã ã ã + E(X k l+1|σl) = Skl h.c.c.

Suy ra {Skl, σ l; 1 6 l 6 n} là martingale Vì {kSklk, σ l; 1 6 l 6 n} là martingale dưới không âm với mỗi k = 1, 2, , m nên { max

16k6m kSklk = Yl, σ l; 1 6 l 6 n} là martingale dưới không âm Theo bất đẳng thức Doob (xem [1], tr 255)

E

 max 16k6m 16l6n kSklk

p

= E( max 16l6n Yl)p6 CEY np (2.2)

Mặt khác, vì {Skn, F ∗

k+1 1 } m k=1 là martingale nên {kSknk, F ∗

k+1 1 } m k=1 là martingale dưới không âm Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Doob ta có

EY np= E max

16k6m kSknk
p

Ta lại có {Sml, F ∗

1 l+1 } n l=1 và { i=1Xil, Fk+1 l∗ } m

k=1 (với mỗi l = 1; ; n) là các martingale Vì vậy theo Định lý 1.2 ta có

EkSmnkp=E

n X l=1 (Sml ư Sm lư1)

p

6 C

n X l=1 EkSml ư Sm lư1kp

= C

n X l=1 E

m X k=1 Xkl

p

6 C

m X k=1

n X l=1

Kết hợp (2.2), (2.3) và (2.4) cho ta (2.1)

Trường hợp còn lại0 < p 6 1, ta có

E

 max 16k6m 16l6n

k X i=1

l X j=1 Xij 

p

6 E max 16k6m 16l6n

k X i=1

l X j=1 kXijk p

= E

m X i=1

n X j=1 kXij k

p 6

m X i=1

n X j=1 EkXij kp.

Ta cũng nhận được (2.1)

Bổ đề được chứng minh hoàn toàn

Định lý sau đây sẽ thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp - một dạng mở rộng của Luật mạnh số lớn Kolmogorov trong trường hợp không cùng phân phối

Định lý 2.2 Cho α > 0, β > 0và1 6 p 6 2 Cho {Xij, Fij ; i > 1, j > 1}là mảng phù hợp trong không gian Banachp-trơn đềuX Nếu

∞ X i=1

∞ X j=1

EkXij k p

thì

1

m α n β

m X i=1

n X j=1 Xij ư E{Xij|F ij∗}
→ 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞ (2.6)

Chứng minh Theo giả thiết, {Xij, Fij ; i > 1, j > 1} là mảng phù hợp nên Xij ư E{Xij|F ∗

ij }, Fij ; i > 1, j > 1 lập thành mảng các hiệu martingale

Theo Định lý 1.3 và sử dụng bất đẳng thức Jensen cho kì vọng có điều kiện ta có

EkXij ư E{Xij|F ij∗}k p

6 E 2kX ij k p

+ LkE{X ij |Fij∗}k p

6 2EkXij k p

+ L E E{kXij k p |F ∗

ij }
= (L + 2)EkXij k p (2.7)

Đặt

Smn =

m X i=1

n X j=1 Xij ư E{Xij |Fij∗}

và Tkl = max

2 k 6m<2 k+1

2 l 6n<2 l+1

Smn

m α n β ư S2k2l

(2 αk 2 βl ) .

Với mọiε > 0, theo bất đẳng thức Markov ta có

∞ X k=1

∞ X l=1

P S2k 2 l

(2 αk 2 βl ) > ε

 6

∞ X k=1

∞ X l=1

1 (2 αk 2 βl ) p ε p EkS2 k 2 l k p

6 C

∞ X k=1

∞ X l=1

P2 k

i=1 P2 l

j=1 EkXij − E{Xij |F ∗

ij }k p (2 αk 2 βl ) p (do (2.4))

6 C

∞ X k=1

∞ X l=1

P2 k

i=1 P2 l

j=1 EkXij k p (2 αk 2 βl ) p (do (2.7))

6 C

∞ X i=1

∞ X j=1

∞ X k=[logi]

∞ X l=[logj]

EkXijk p (2 αk 2 βl ) p 6 C

∞ X i=1

∞ X j=1

EkXijk p (2 α[logi] 2 β[logj] ) p

6 C

∞ X i=1

∞ X j=1

EkXij k p (i α j β ) p < ∞ (theo (2.5))

Theo Bổ đề 1.4 ta thu đ−ợc

S2k 2 l

(2 αk 2 βl ) −→ 0 h.c.c khi k ∨ l → ∞ (2.8)

Tiếp theo, vớiε > 0 tùy ý, ta có

P{|Tkl| > ε} 6 P kS2k2lk

(2 αk 2 βl )>

ε 2

 + P

 max

2 k 6m<2 k+1

2 l 6n<2 l+1

kSmnk

m α n β >ε

2



6 P kS(2αk2k22βllk) > ε

2

 + P

 max

2 k

6m<2k+1

2l6n<2l+1

kSmnk (2 αk 2 βl ) >

ε 2



6 P



kS2k 2 l k > (2

αk 2βl)ε 2

 + P

 max 16m62 k+1

16n62 l+1

kSmnk > (2

αk 2βl)ε 2



p (2 αk 2 βl ) p ε p EkS2 k 2 l k p + 2

p (2 αk 2 βl ) p ε p E max

16m62 k+1

16n62 l+1

kSmnk
p

p (2 αk 2 βl ) p ε p

2k X i=1

2l X j=1 EkXijkp+ C2

p (2 αk 2 βl ) p ε p

2k+1 X i=1

2l+1 X j=1 EkXijkp

(do Bổ đề 2.1 và (2.7))

6 C

2 k

X i=1

2 l

X j=1

EkXij k p (2 αk 2 βl ) p + C

2 k+1

X i=1

2 l+1

X j=1

EkXijk p (2 α(k+1) 2 β(l+1) ) p

6 C

2 k+1

X

2 l+1

X EkXijk p (2 α(k+1) 2 β(l+1) ) p

Điều này kéo theo

∞ X k=1

∞ X l=1 P{|Tkl| > ε} 6 C

∞ X k=1

∞ X l=1

2 k+1

X i=1

2 l+1

X j=1

EkXij k p (2 α(k+1) 2 β(l+1) ) p

6 C

∞ X i=1

∞ X j=1

EkXij k p (i α j β ) p < ∞.

Theo Bổ đề 1.4 ta thu được

Mặt khác, với 2 k

6 m < 2 k+1 và 2 l

6 n < 2 l+1 ta có

kSmnk

m α n β 6 mSmnαnβ ư S2k2l

2 αk 2 βl + S2k2l

2 αk 2 βl Tkl + S2k2l

2 αk 2 βl (2.10)

Khi cho k ∨ l → ∞thìm ∨ n → ∞

Kết hợp (2.8) và (2.9) với (2.10) ta có (2.6)

Hệ quả sau đây được suy trực tiếp từ Định lý 2.2

Hệ quả 2.3 Cho α > 0, β > 0và 1 6 p 6 2 Cho {Xij, Fij ; i > 1, j > 1}là mảng các hiệu martingale trong không gian Banachp-trơn đềuX Nếu

∞ X i=1

∞ X j=1

EkXij k p (i α j β ) p < ∞,

thì

1

m α n β

m X i=1

n X j=1

Nhận xét 1 Trường hợp 0 < p 6 1, ta cũng nhận được (2.11) trong Hệ quả 2.3 mà không cần đến điều kiện hình học của không gian Banach và điều kiệnE{Xmn|F ∗

mn } =

0

Nhận xét 2 Khi α = β = 1và X = R (tương ứngp = 2), Định lý 2.2 chính là một mở rộng đối với dạng hai chỉ số của định lý Kolmogorov đã được Smythe [8] chứng minh

Định lý tiếp theo sẽ thiết lập kiểu luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên

Định lý 2.4 Cho 1 < r < p 6 2 và {Xmn, F mn; m > 1, n > 1} là mảng phù hợp trong không gian Banach p-trơn đều X Giả sử {Xmn , m > 1, n > 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X Nếu EkXkr log+ kXk < ∞thì

1 (mn)1

m X n X Xij ư E{Xij |Fij∗}
→ 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞ (2.12)

Chứng minh Gọi F là hàm phân phối của kXk, d(k) là số ước số dương của số nguyên dương k Đặt Xij0 = XijI(kXijk 6 (ij)1),Xij00 = XijI(kXijk > (ij)1)

Khi đó với mỗii vàj ta có

Xij ư E{Xij|F ij∗} = (Xij00ư E{X ij00|Fij∗}) + (Xij0 ư E{X ij0 |Fij∗}) (2.13)

Đầu tiên ta chứng minh rằng

1 (mn)1

m X i=1

n X j=1

Xij0 ư E{X ij0 |Fij∗}
→ 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞ (2.14)

Sử dụngP∞k=id(k)

kpr = O(i1ưpr log i)ta có các đánh giá

∞

X

i=1

∞

X

j=1

EkX ij0 k p (ij)pr 6 C

∞ X i=1

∞ X j=1

1 (ij)pr

Z (ij)1 0

xpdF (x) = C

∞ X k=1

d(k)

kpr

Z k1 0

xpdF (x)

= C

∞ X k=1

d(k)

kpr

k X i=1

Z i1 (iư1)1

xpdF (x) = C

∞ X i=1

 ∞ X k=i

d(k)

kpr

Z i1 (iư1)1

xpdF (x)

6 C

∞ X i=1

logi

ipr ư1

Z i1 (iư1)1

xpdF (x) 6 C

∞ X i=1

Z i1 (iư1)1

x p (xpr ư1 ) r log+x dF (x)

6 C

Z ∞ 0

xrlog+x dF (x) 6 CEkXkrlog+kXk < ∞.

Theo Định lý 2.2 khiα = β = 1r ta thu được (2.14)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh

1 (mn)1

m X i=1

n X j=1 (Xij00 ư E{X ij00|Fij∗}) → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞ (2.15)

Thật vậy, sử dụng Pnk=1d(k)

k1 = O( n1ư1log n) ta có các đánh giá

∞

X

i=1

∞ X

j=1

EkX ij00k (ij)1 6 C

∞ X i=1

∞ X j=1

1 (ij)1

Z ∞ (ij)1

|x| dF (x) 6 C

∞ X k=1

d(k)

k1

Z ∞

k1

|x|dF (x)

6 C

∞ X i=1

 i X k=1

d(k)

k1

Z (i+1)1

i1

|x|dF (x) 6 C

∞ X i=1

i1ư1 logi

Z (i+1)1

i1

|x|dF (x)

6 C

Z ∞ 1

|x| r log+|x| dF (x) 6 CEkXk r log+kXk < ∞.

Theo Định lý 2.2 khiα = β = 1r vàp = 1 ta thu được (2.15)

Kết hợp (2.13) và (2.14) với (2.15) ta có (2.12)

tµi liÖu tham kh¶o

[1] Y S Chow and H Teicher, Probability Theory: Independence, Interchangeability,

Martingales, 3rd Ed Springer-Verlag, New York, 1997.

[2] A Gut, Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for

random variables with multidimensional indices, Ann Probab.,6, 1978, pp 469-482

[3] O I Klesov, The law of large numbers for multiple sums of independent identically

distributed random variables, Theory Probab Math Statist, 50, 1995, pp 77-87

[4] N V Quang and N V Huan, On the weak law of large numbers for double arrays of

Banach space valued random elements, Journal of Probability and Statistical Science,

6, No 2, 2008, pp 125-134

[5] N V Quang and N N Huy, Weak law of large numbers for adapted double arrays

of random variables, J Korean Math Soc. 45, No 3, 2008, pp 795-805

[6] A Rosalsky and L V Thanh, Strong and weak law of large numbers for double

sums of independent random elements in Rademacher type p Banach spaces,

Stochas-tic Analysis and Applications,24, 2006, pp 1097-1117

[7] A Rosalsky and L V Thanh, On almost sure and mean convergence of normed

double sums of Banach space valued random elements, Stochastic Analysis and

Ap-plications, 25, 2007, pp 895-911

[8] R T Smythe, Strong law of large numbers for r-dimensional arrays of random variables, Ann Probab 1, 1973, pp 164-170.

[9] L V Thanh, Strong law of large numbers and L p-convergence for double arrays

of independent random variables, Acta Math Vietnam, 30, No 3, 2005, pp 225-232

[10] W A Woyczynski, Geometry and martingale in Banach spaces II Independent

increments, Marcel Dekker, Press New York, 1978.

Summary strong law of large numbers for adapted double arrays

of random elements of p-uniformly smooth Banach space

In this paper, we study the strong law of large numbers for adapted double arrays

of random elements in ap-uniformly smooth Banach space Some our results are more general than well-known ones

(a)Khoa To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh

(b)46A To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh.