22de thi HSG toan 8 co dap an

M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất ... Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng d[r]

C xuống đường thẳng AB và AD.

a)Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

A x

ĐỀ SỐ 2 Câu1

a Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ MEAB, MFAD.

a Chứng minh: DECF

b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

= (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2 = (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x 2 + 7x + 16)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8





4A3

hoặc

4A5

b DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm)

c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

b (a2001 + b 2001 ).(a+ b) - (a 2000 + b 2000 ).ab = a 2002 + b 2002

 (a+ b) – ab = 1

 (a – 1).(b – 1) = 0

 a = 1 hoặc b = 1 Với a = 1 => b 2000 = b 2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại) Với b = 1 => a 2000 = a 2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại) Vậy a = 1; b = 1 => a 2011 + b 2011 = 2

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

A = a

b+c − a+

b a+c −b+

c a+b − c ≥ 3

b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

=( a -2 )(a - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5

Nªu §KX§ : a 1; a≠ 2 ;a ≠ 4 0,25 Rót gän P= a+1

a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 0,25

Ta cã a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=(a+b) [(a2 +2 ab+b 2

)− 3 ab] = =(a+b) a+b¿2− 3 ab

¿

¿

0,5 V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b) 2 -3ab chia hÕt cho 3 ;

Do vËy (a+b) a+b¿2− 3 ab

¿

1 (x+4)(x +5)+

1 (x+5)(x +6)+

1 (x+6)(x +7)=

1 18

Từ đó suy ra ^D1= ^D2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25

Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là :

(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;

(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25

ĐỀ THI SỐ 4 Cõu1( 2 đ): Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử

2 1 x

y

E D

B

A

8

phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên

Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3ax b chia hết cho đa

thức B x( )x2 3x4

Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc

AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.

Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

3 đ

Tứ giác ADHE là hình vuông

Hx là phân giác của góc AHB; Hy phân giác của góc AHC mà AHB

và AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc

Hay DHE = 900 mặt khác ADH AEH   = 90 0

Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)

0 0

90 45

90 45

AHB AHD

AHC AHE

AHD AHE

Hay HA là phân giác DHE(2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân

giác của BAC.

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

 OFD OED ODF 90    o(1)

Ta có OFD   OED   ODF   270o(2)

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn

vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ sốhàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm

O A

a) Tính tổng HA ' AA '+HB'

BB' +

HC ' CC'

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và gócAIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức

xyz =0⇒ xy+yz+xz=0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm )

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó: A=yz

(x − y )(x − z)+

xz (y − x)( y − z )+

xy (z − x )(z− y) ( 0,25điểm )Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

m–k = 11 m–k = 33

m = 67 m = 37

k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

a) SHBC

SABC=

1

2 HA ' BC1

SABC

=HB' BB' (0,25điểm)

HA ' AA '+HB'

BB' +

HC ' CC' =

⇔

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó.

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Bài 6 (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O

và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1+x 2 )(1 − x)<0 (1) 0,25đ

Vì 1+x2> 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1− x<0 ⇔ x >1

KL

0,5đ0,25đ

1

¿ ; b − c¿2= 0

¿ và a − c¿2= 0

0,5đ0,5đ

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đb,(2điểm)

SDOC ⇒ SAOB SDOC=SBOC SAOD 0,5đ

1

Cho ABC; AB = 3AC

Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C

ĐỀ

S Ố 9 B

b/ Tìm các giá trị của x để A<1

c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên

Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên Biết rằng đa thức

x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x) Tính P(1)

Bài 4 (3,5 điểm):

Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD Nối D với

E Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK Gọi G là giao điểm của DK và EM

ĐỀ S Ố 10 Bài 1: (3 điểm)

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ,

6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?

1 : (2điểm)

a) Cho x2  2xy 2y 2  2x 6y 13 0   Tính

2

3x y 1N

2

Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.

Bài

4 : (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F Gọi I là trung điểm của EF AI cắt CD tại M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N

a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi

b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC

b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011

Biết x,y,z thoả mãn:

x

a +

2 2

y

b +

2 2

z c

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau khi đi được 15 phút, người

đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km

Tính quãng đường AB

Bài 4: (3điểm)

Cho hình vuông ABCD M là một điểm trên đường chéo BD Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD

a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau

b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

Bài 5: (1điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3 x2

+5 y2 =345

§Ề S Ố 14 Bài 1: (2,5điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x5 + x +1b) x4 + 4c) x √x - 3x + 4 √x -2 với x  0

Bài 2 : (1,5điểm)

Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:

A= a ab+a+2+

b

bc +b+1+

2 c ac+2 c+2

Cho tam giác ABC cân tại A Trên BC lấy M bất kì sao cho BM  CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.

a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm

b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân

c) Tính : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC

để cho AEMF là hình vuông

Bài 5: (1điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23

§Ò S Ố 15 Bài

Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước

b) Giải phương trình: 2x+a−x −2 a =3 a (a là hằng số)

Bài

4 : (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N

a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN

b) So sánh hai tam giác ABC và INC

Cõu 3 : ( 4 điểm ) Cho biểu thức :

b) Tớnh giỏ trị của biểu thức p khi /x / = 34

c) Với giỏ trị nào của x thỡ p = 7

d) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để p cú giỏ trị nguyờn

Cõu 4 : ( 3 điểm ) Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0

Cõu 5 : ( 3 điểm)

Qua trọng tõm G tam giỏc ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lầnlượt tại M và N Tớnh độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giỏc ABC bằng 75(cm)

Cõu 6 : ( 4 điểm ) Cho tam giỏc đều ABC M, N là cỏc điểm lần lượt chuyển động trờn hai

cạnh BC và AC sao cho BM = CN xỏc định vị trớ của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏnhất

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn

Bµi C©u Néi dung §iÓm

(thỏa mãn điều kiện x 1).

+ Nếu x 1: (1)  x2  4x   3 0 x2  x 3x 1   0 x 1 x 3 0

 x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)

Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x 1.

0,5 0,5 2.2

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: BEC ADC 1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

BC  BC  AC (do BEC ADC)

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

nên

BC  AC   AC AB BE (do ABH CBA)

Do đó BHM  BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC  1350 AHM  450

0,5 0,5

0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó.

PD

PB  Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010

b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:



 2đ

b)

1 2

x 

+)

Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ

Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

 PO là đường trung bình của tsm giác CAM

 AM//PO

 tứ giác AMDB là hình thang 1đ

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ

C D

O M

P

I E

F

3

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử

b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết

Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minhEDF vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho

BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:

a/ DE có độ dài nhỏ nhất

b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm)

2 2 2 2 2 2

x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1)

        (0,25đ) =

 (0,25đ) =

 

 (0,25đ) = 2 2

Chứng minh EDF vuông cân

Ta có ADE =CDF (c.g.c) EDF cân tại D

Theo tính chất đường chéo hình vuông  CO là trung trực BD

MàEDF vuông cân  DI =

1 2

A D B

C E

Bài 3: Cho phân thức: 5 x+5

2 x2+2 x

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định

b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:

Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sảnphẩm Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đó đã hoàn thànhtrớc kế hoạch một ngày và còn vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sảnxuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày

Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH và

trung tuyến AM

a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA

Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày

Điều kiện: x nguyên dơng và x > 1

Vậy số ngày tổ đã thực hiện là: x- 1 (ngày)

⇔ x = 10 (thoả mãn điều kiện)

Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày

Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm)

0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đ

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn

vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ sốhàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm a)

Tính tổng HA ' AA '+HB'

BB' +

HC ' CC'

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và gócAIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM

 Bài 2 (1,5 điểm ):

3

xyz =0⇒ xy+yz+xz=0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm )

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó: A=yz

(x − y )(x − z)+

xz (y − x)( y − z )+

xy (z − x )(z− y) ( 0,25điểm )Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

SABC=

HB' BB' (0,25điểm)

HA ' AA '+HB'

BB' +

HC ' CC' =

- Δ BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2

c ac+c+1=1 biết abc=1

b, Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2

c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng

Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đờng chéo.Qua 0 kẻ

đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F

a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC

c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF

Câu Nội dung bài giải Điể

m

a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A là số nguyên tố thì n-1=1 ⇔ n=2 khi đó A=5 0,50,5

⇔

3

C©u 1

(5®iÓm)

0,50,50,50,50,50,50,50,5

c ac+c+1=¿

ac

abc+ac+c +

abc abc2+ abc+ac+

c ac+c +1

abc+ac+1 abc+ac+1=1

0,50,5

0.50.50.50.5

0,50,50,5

0,5

b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)

⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0

0,5

Câu 3

(5điểm)

0,50,50,5

0,50,5

nghiệm

Vậy S = {12,

−1

4 }

c, (1điểm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0

⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng

Nên x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 và x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1

Phơng trình có nghiệm dơng duy nhất (x,y)=(3;1)

Câu 4

(5điểm)

a,(1điểm) Vì AB//CD ⇒ S DAB=S CBA

(cùng đáy và cùng đờng cao)

⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB

Hay SAOD = SBOC

⇒ EF

2 DC=

AB AB+DC⇒AB+DC

c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ

đờng thẳng KN là đờng thẳng phải dựng

Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao của EM và KN là I thì

SIKE=SIMN

(cma) (2) Từ (1) và(2) ⇒ SDEKN=SKFN

0,5 0,5

0,5 1,0 0,5 1,0 1,0

C D

O

I M N

4