TỔNG QUAN
CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM
Trong chương 2, là phân giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản đƣợc sử dụng trong luận văn
Ta ký hiệu Ω = [ a, b ] hay Ω là khoảng không bị chặn trong IR
Với Ω = [a,b], ta ký hiệu X = C (Ω ;IR n ) là không gian Banach của các hàm số f =
(f 1 , ,f n ): Ω → IR n liên tục trên Ω đối với chuẩn
Khi Ω là khoảng không bị chặn, ta ký hiệu X = C b (Ω; IR n ) là không gian Banach của các hàm số f:Ω→IR n liên tục, bị chặn trên Ω đối với chuẩn (2.1)
Tương tự, với số nguyên không âm m, ta đặt
Với Ω là khoảng không bị chặn, ta ký hiệu
Mặt khác, C m (Ω; IR n ) và (Ω; IR n ) cũng là các không gian Banach đối với chuẩn
2.2 Định lý điểm bất động Banach Định lý điểm bất động sau đây được sử dụng nhiều lần trong các chương sau Định lý 2.1 (Định lý điểm bất động Banach) Cho X là không gian Banach với chuẩn
||.||, K⊂ X là tập đóng Cho T: K → K là ánh xạ thỏa mãn: tồn tại số thực σ, 0 ≤ σ < 1 sao cho
(i) Tồn tại duy nhất f ∈ K sao cho f = Tf
(ii) Với mỗi f(0) ∈ K, xét dãy f (v) cho bởi f (v) = Tf (v-1) , v = 1,2,…, ta có
Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong các sách về nhập môn giải tích.
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
Trong chương này, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.1)
Ta viêt hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong X = C (Ω,IR n ) (hoặc trong X = C b (Q,IR n )) nhƣ sau f = Af + Bf + g (3.1) trong đó với
Khi đó, ta có bổ đề sau
Bổ đề 3.1 Giả sử ||[b ijk ]|| < 1 và Sijk: Ω Ω liên tục Khi đó
(ii) Toán tử tuyến tính I-B: X→X là khả đảo và
(ii) Trước hết, ta nghiệm lại rằng ||B|| < 1 Thật vậy, do (i) và ||[bijk]|| < 1, ta chú ý rằng
Tiếp theo, ta chứng minh rằng I - B khả đảo, tức là, với mỗi g ∈ X, phương trình f = Bf
+ g có nghiệm duy nhất f ∈ X Thật vậy, xét ánh xạ
Khi đó, δ là ánh xạ co Theo định lý điểm bất động Banach, phương trình f = Bf + g có nghiệm duy nhất f ∈X
Mặt khác, ta có hay
Suy ra và bổ đề 3.1 đƣợc chính minh
Do bổ đề 3.1, ta viết lại hệ (3.1) nhƣ sau f = (I – B)-1 ( Af + g) = Tf (3.2)
Ta thành lập các giả thiết sau
Khi đó, ta có bổ đề sau đây
Bổ đề 3.2 Giả sử (H 1 ) - (H 4 ) đúng Khi đó ta có
Bất đẳng thức thứ 3 có đƣợc là do
Khi đó, ta có định lý sau đây Định lý 3.1 : Giả sử (H 1 ) - (H 5 ) đúng Khi đó, với mỗi , với | | 0 , hệ (3.2) có một nghiệm duy nhất f ∈ K M
Hiển nhiên rằng Tf ∈X, với mọi f ∈ X Xét f, ̃ ∈ KM, ta dễ dàng nghiệm lại do 3.1 và 3.2 rằng
Chú ý rằng, từ (H 5 ) ta có
Từ đây suy ra và (3.5)
Ta suy ra từ (3.3), (3.4), (3.5) rằng T: K M K M là một ánh xạ co Khi đó, sử dụng định lý điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm f ∈ K M sao cho f = Tf
Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm f của hệ (3.2) đƣợc xấp xỉ bởi giải thuật sau :
Khi đó: f (v) f trong X khi v +∞ (3.7) và
Trong trường hợp riêng Φ (y) = y 2 , R iJk = S iJk , hệ (1.1) được chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm bởi các tác giả N.T Long, N.H Nghĩa, T.N Diễm [6]; L.T Vân [11].
THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI
Theo định lý 3.1, thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6) dựa trên nguyên tắc ánh xạ co cũng được xác định là hội tụ cấp 1 Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1), với một số điều kiện phụ liên quan sẽ được trình bày sau.
4.1 Thuật giải lặp cấp hai
Xét hệ phương trình hàm
Ta giả sử rằng Φ ∈ (IR; IR) Dựa vào xấp xỉ sau đây
Ta thu đƣợc thuật giải sau đây cho hệ (1.1) i) Cho trước ii) Giả sử biết ta xác định bởi
Ta viết lại (4.2) dưới dạng
(4.3) x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, v = 1,2,… trong đó , phụ thuộc vào f (v-1) cho bởi:
(4.5) Khi ta có định lý sau: Định lý 4.1:
Giả sử (H 1 ) - (H 3 ) là đúng Nếu f (v-1) ∈ X thỏa
Khi đó tồn tại duy nhất f (v) ∈ X là nghiệm của (4.3) - (4.5)
Hệ (4.3) đƣợc viết lại nhƣ sau
Hiển nhiên rằng Tv: X X Ta chỉ cần nghiệm lại rằng
(4.9) Thật vậy, với f, h ∈ X, đặt ̃ = f –h ta có
Sử dụng định lý điểm bất động Banach, định lý 4.1 đƣợc chứng minh Định lý 4.2:
Giả sử (H 1 )-(H 3 ) đúng, cho a ijk ∈ IR Khi đó, tồn tại hai hằng số M, ɛ sao cho: Với f (0) ∈ K M cho trước, hệ (4.3)-(4.5) tồn tại duy nhất nghiệm f (v) thỏa điều kiện f (v) ∈ K M v = 01,2,… (4.10)
Giả sử f (0) ∈ K M , với hai hằng số M, ɛ mà ta sẽ chọn sau
Bằng quy nạp ta giả sử rằng f (v-1) ∈ KM (4.11)
Ta sẽ chứng minh f (v-1) ∈ KM Với mọi x∈ Ω, ta có từ (4.3) rằng:
(4.13) Mặt khác, với mọi x∈ Ω ta có từ (4.4) và (4.11) rằng
(4.15) Mặt khác, ta cũng có đƣợc từ (4.5) rằng
Chú ý rằng số hạng trong dấu móc [ ] đƣợc đánh giá nhƣ sau trong đó số thực , 0 < < 1 xuất hiện do việc áp dụng định lý Lagrange cho hàm
Do đó, ta suy ra từ giả thiết (4.11) rằng
Từ (4.13), (4.15) và (4.16) ta đƣợc hay
(4.17) Với M > 0 đã chọn nhƣ trong (H5), ta chọn ɛ sao cho hai điều kiện sau đây đƣợc thỏa
Ta suy từ (4.17), (4.18) và (4.19) rằng
(4.20) Điều này khẳng định (4.10) tức là f (v) ∈ KM
Chú ý rằng (4.19) tương đương với
Do đó từ (4.19) ta suy ra đƣợc (4.18) Vì thế, ta chỉ cần chọn ɛ thỏa (4.19) Định lý 4.2 đã đƣợc chứng minh xong
4.2 Sự hội tụ của thuật giải lặp cấp hai Định lý 4.1 và 4.2 đã khẳng định sự tồn tại của một dãy lặp trong K M xác định bởi
(4.3) - (4.5) Kết quả sau đây cho ta kết luận dãy này là dãy lặp cấp 2 và cho một điều kiện đủ để thuật giải này hội tụ Định lý 4.3
Giả sử (H 1), (H 2), (H 3) đúng và cho a ijk ∈ IR Khi đó, tồn tại hai hằng số M > 0 và ɛ, sao cho với f(0) ∈ K M cho trước, dãy {f(v)} được xác định bởi hệ (4.3) – (4.5) là dãy lặp cấp hai Cụ thể, chúng ta có.
(4.23) và f là nghiệm của hệ (1.1) ii) Nếu f (0) được chọn đủ gần f sao cho
(4.24) thì dãy {f (v) } hội tụ cấp 2 về f và thỏa một đánh giả sai số
Mặt khác ta có với
Với mọi X ∈ Ω, ta có từ (4.27) rằng Điều này dẫn đến
(ii) Từ (4.29) ta suy ra
Bất đẳng thức này chứng tỏ (4.25) Nó cũng cho phép ta kết luận dãy tụ cấp 2 {f (v) } hội đến nghiệm f của hệ (1.1) nếu f (0) đƣợc chọn thỏa (4.24)
Về việc chọn bước lặp ban đầu f(0) ∈ K M thỏa (4.24) ta cần qua một công đoạn phụ nhƣ sau
- Xây dựng dãy lặp đơn {z (η) } liên kết với ánh xạ co T : KM → KM (nhƣ trong định lý 3.2, chương 3)
- Khi đó, dãy {z (η) } hội tụ trong X về nghiệm f của (1.1) và ta có một đánh giá sai số
- Từ (4.32), (4.33) ta chọn η0 ∈ N đủ lớn sao cho
Vậy ta chọn bước lặp ban đầu f (0) = z (η0)
KHAI TRIỂN TIÊM CẬN CỦA NGHIỆM
Trong chương này, chúng tôi phân tích hệ phương trình hàm (1.1) bị ảnh hưởng bởi một tham số nhỏ Chúng tôi đã thu được khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N+1 theo tham số đó, với giá trị đủ nhỏ.
Trong phân này, ta giả sử răng các hàm R ijk ,S ijk ,g và các số thực a ijk , b ijk , 0 ,M lần lƣợt thỏa các giả thiết (H 1 ) - (H 5 )
Ta xét hệ bị nhiều (3.2), trong đó ɛ là một tham số bé, \ \ < 0 Đặt L = I - B Xét dãy hàm {f [r] },r = 0,1,2, ,N, f [r] ∈K M (với hằng số M > 0) đƣợc xác định bởi các hệ sau
(5.6) Ở trên ta đã sử dụng các ký hiệu sau:
Với một đa chỉ số γ = γ1 ,-,γ N ) ∈ , ta đặt
Trước tiên, ta cần chứng minh các bổ đề sau đây
(5.12) Áp dụng (5.12) với x i thay bởi ɛ i x i , ta có
Vậy bổ đề 5 1 đƣợc chứng minh
Ta có trong đó ,C rp ∈ IR,1≤ r≤ N - 1,1≤ p ≤ N(N-1),N=2,3
Trước hết, ta chứng minh đẳng thức
Vậy bổ đề 5.2 đƣợc chứng minh
Giả sử (H 1 - (H 5 ) đúng Khi đó ta có
(5.14) trong đó là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, ||[a ijk ]||, ||f [r] ||x, r = 0,1,…,N
Trường hợp N = 1, chứng minh (5.14) dễ dàng, ta chỉ cần chứng minh với N ≥ 2 Để cho gọn, ta bỏ qua Rijk(x), Sijk(x) trong các cách viết
Bằng cách khai triển Maclaurin của hàm xung quanh điểm đến cấp N sau đó tiến hành sắp xếp lại theo bậc của ɛ, ta thu đƣợc
(5.15) Áp dụng bổ đề 5.2 với ta viết
Thay vào biểu thức A(f [0] + U) i – A(f [0] ) i ta thu đƣợc với
Ta suy ra từ (5.4), (5.5), (5.10), (5.18) rằng
Mặt khác do đó ta suy ra rằng
Bổ đề 5.3 đƣợc chứng minh Định lý sau đây cho một kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm theo ɛ Định lý 5.1
Giả sử các giả thuyết từ H1 đến H6 đều đúng, thì tồn tại một hằng số x lớn hơn 0, sao cho với mọi giá trị thỏa mãn điều kiện || ≤ 1, hệ phương trình (3.2) sẽ có duy nhất một nghiệm f thuộc K M, nghiệm này thỏa mãn một đánh giá tiệm cận đến cấp N+1.
(5.21) các hàm f [r] , r = 0,1,2, , N lần lượt là các nghiệm của các hệ (5.1) - (5.5)
Do đó, ta suy ra từ bổ đề 5.3 rằng
(5.27) Khi đó, từ (5.26) và (5.27) ta có hay Định lý 5.1 đã đƣợc chứng minh xong
Giả sử a ijk ∈ IR và g = (g1, ,g n ) ∈ X đã cho, với điều kiện ||[bijk] < 1, ta có thể khẳng định sự tồn tại của hai số dương 0 và M, thỏa mãn các giả thiết (H4) và (H5) Từ đó, chúng ta có thể rút ra kết quả theo Định lý 5.2.
Giả sử (H1) — (H3) đúng, với a ịjk ∈ IR, tồn tại hai hằng số M > 0 và 1 > 0 Đối với mỗi giá trị thỏa mãn \ \ ≤ 1, hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm f ɛ ∈ K M, có thể khai triển tiệm cận đến cấp N+1 như trong (5.21) Các hàm f [r], với r = 0,1,…,N, lần lượt là các nghiệm của các hệ (5.1) - (5.6).
MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ
Trong phần này, chúng tôi phân tích một số ví dụ dựa trên các hệ phương trình hàm cụ thể và xem xét sự hội tụ của dãy lặp cấp 2 liên quan đến hệ phương trình này Đồng thời, chúng tôi cũng thực hiện các tính toán để xác định một số khai triển tiệm cận đến một cấp nghiệm nhất định theo một tham số nhỏ.
6.1 Khảo sát thuật giải cấp hai
(6.1) trong đó (6.2) và a ij , b ij , r ij , s ij là các số thực cho trước thỏa
(6.3) các hàm R ij (x) = r ij x, s, ij (x) = s ij x, gi(x) thỏa các giả thiết (H 1 ), (H 2 )
Nghiệm chính xác của hệ (6 1) là fi(x) = x i , i = 1,2 (6.4)
Như trong chương 4, dựa vào xấp xỉ sau đây
(6.5) ta cụ thể lại thuật giải cấp hai cho hệ (6.1) nhƣ sau hay
Giả sử ở bước lặp ban đầu được chọn sao cho ||f (0) || X ≤ M và giả sử ở bước v-1 ta tính đƣợc từ thuật giải (6.6) sao cho ||f (v-1) ||X ≤ M Khi đó, với mọi x ∈ Ω, i = 1, 2 ta có
(6.10) Chọn M > 0 sau đó chọn ∈ IR (đủ nhỏ) sao cho
Ta thấy điều kiện chọn thứ hai của (6.11) tương đương với hay
Vậy, ta thành lập các giả thiết sau (H 3 ) ||[b ij ]|| < 1;
(H 7 ) Chọn ɛ ∈ IR (đủ nhỏ) sao cho ||ɛ|p 2 M p ||[a ij ]||+||g|| x ≤ (1-||[b ij ]||)M
Nếu ta chọn bước lặp ban đầu sao ||f (0) ||X ≤ M, thì dãy lặp {f (v) } xác định bởi thuật giải (6.6) thỏa ||f (0) || X ≤ M v = 1,2,…
Tiếp theo ta đánh giá e (v) = f – f (v) ở đây ta bỏ qua r ij x trong các cách viết và ký hiệu f i (.) hoặc f j thay cho Fj(r ij x)
(6.12) và khi đó ta có
Chọn f (0) : Ta xây dựng dãy lặp {z (η) }⊂ K M xác định bởi
Khi đó dãy {z (η) } hội tụ trong X về nghiệm f của (6.1) và có một đánh giá sai số
Từ (6.15), (6.16), ta chọn (η)0 ∈ N khá lớn sao cho :
6.2 Khai triền tiệm cận của nghiệm
(6.1) trong đó aij, bij, rij, sij là các số thực cho trước thỏa (6.3) Do đó, các hàm Rij(x) = rijx, Sij(x) sijx, gi(x) độc lập với ɛ, thỏa các giả thiết (H 1),(H 2 )
A Khảo sát nghiệm của hệ (6.1) trong trường hợp ɛ = 0
Trường hợp ɛ = 0, hệ (6.1) chính là hệ tuyên tính sau
A1 Giả sử g i (x) là đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng r
Theo một kết quả trong [3], nghiệm của hệ (6.18) cũng là các đa thức Ta tìm nghiệm của (6.18) theo dạng:
(6.20) Thay f i (x) vào (6.18) ta thu được c iγ là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
A2 Giả sử g = (g 1 , g 2 )∈C q (Ω,R 2 ) Gọi ̃ ̃ ̃ là nghiệm đa thức của hệ (6.18) tương ứng với ̃ ̃ ̃ , trong đó
Theo kết quả trong [3], cũng đã khẳng định rằng sai lệch giữa hai nghiệm f, ̃ của hệ (6.18) lần lượt, tương ứng với g, ̃, được cho bởi đánh giá
A3 Ta xét một ví dụ với hàm g = (g 1 ,g 2 ) cụ thể nhƣ sau
Ta viết lại g i (x)nhƣ sau
Ta gọi là nghiệm đa thức của hệ (6.18) tương ứng với
(6.32) trong đó, các hệ số (c 1 γ, c 2 γ) đƣợc tính theo công thức (6.26) với
Mặt khác, từ các hệ ta suy ra rằng
B Khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (6.1) theo
Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng các công thức từ chương 5 để xác định các thành phần trong khai triển tiệm cận, với giả thiết p = 2 Các số thực aij, bij, rij, và Sij phải thỏa mãn điều kiện (6.3) Các hàm R ij(x) = rij x, S ij(x) = sij x, và g i(x) độc lập với s cũng cần thỏa mãn các giả thiết (H1) và (H2).
Giả sử g i (x) là đa thức bậc r cho trước độc lập với ɛ như sau
(6.37) Áp dụng công thức (6.19), (6.20), (6.22), nghiệm của hệ (6.1) ứng với ɛ = 0 (tức là hệ (6.18)) cũng là các đa thức: f [0] = (f [0] ,f [0] ) = L -1 g, với
Gọi f [1] là nghiệm của hệ (6.18) ứng với g = Af [0] , tức là
Từ (6.20) ta có biểu thức của cho bởi công thức
(6.45) trong đó ( ) cho bởi công thức (6.22), với (c1 γ, c2 γ) và (d1 γ, d2 γ) lần lƣợt thay bởi ( ) và ( ), với 0 ≤ γ ≤ 2r, nhƣ sau
Theo kết quả của định lý 5.2, chương 5, ta có một đánh giá một khai triển tiệm cận cấp 2 theo ɛ đủ nhỏ nhƣ sau
(6.47) với mọi X ∈ Ω, i = 1,2, và với đủ nhỏ, C > 0 là hằng số độc lập với, x và
Luận văn khảo sát sự tồn tại duy nhất của nghiệm cho hệ phương trình hàm phi tuyến trong miền Ω = [a,b] hoặc Ω là khoảng không bị chặn trong IR Các phương pháp được trình bày bao gồm thuật giải lặp cấp hai và khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé Nội dung chính của luận văn tập trung vào các chương 3, 4, 5 và 6.
Trong chương 3, chúng tôi sử dụng định lý điểm bất động Banach để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho hệ phương trình hàm trong quả cầu đóng thuộc C(Ω, IR") Kết quả này mở rộng những nghiên cứu trước đó của C.Q Wu, Q.W Xuan và D.Y Zhu trong trường hợp đặc biệt với Ω = [-b,b], m = n = 2, a ijk = 0 và S ijk là các nhị thức bậc nhất.
Trong chương 4, chúng tôi thiết lập thuật giải lặp cấp hai của hệ phương trình hàm và chỉ ra một điều kiện đủ để thuật giải hội tụ
Chương 5 là phần nghiên cứu hệ phương trình hàm bị nhiễu bởi một tham số bé ɛ Khi đó, chúng tôi cho một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ này đến cấp N+1 theo ɛ với ɛ đủ nhỏ
Trong chương 6, chúng tôi phân tích các ví dụ cụ thể của hệ phương trình hàm với Φ(y) = |y|^p (p ≥ 2), đồng thời khảo sát một thuật giải có tính hội tụ cấp hai Chúng tôi cũng chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ phương trình này.
Các kết quả trình bày trong các chương 3, 4, 5, 6 chứa đựng kết quả của các tác giả trước đó đã khảo sát trong trường hợp Φ(y) = y 2