Sở GD & ĐT Hà Nam Phòng GD & ĐT Thanh Liêm Trường THCS Liêm Túc.. ĐỀ CHÍNH THỨC.[r]
Trang 1Sở GD & ĐT Hà Nam
Phòng GD & ĐT Thanh Liêm
Trường THCS Liêm Túc
ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 9 Năm học 2012 - 2013
Câu I (2đ) Giải phương trình
2
3 4 x 3 2 x 3 2 ( 3 3 x 1) .
Câu II : (6đ)
1 Cho a, b > 0 Chứng minh rằng
a b c a bc b ca c ab
2 Tìm x, y nguyên thỏa mãn : x3 + y3 = xy - 8
Câu III : ( 8đ)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O) Các tia phân giác trong ,phân giác ngoài của góc BAC cắt BC tại D và E Tia AD cắt đường tròn (O ) tại M , Tia EA cắt tia MO tại N
a Chứng minh : N thuộc (O )
b Chứng minh : AB AC = BD DC + AD2
c Tính AD theo các cạnh của tam giác ABC biết AB = c ; AC = b ; BC = a
Câu IV : ( 4đ) Cho a,b,c không âm và thỏa mãn a +b + c = 1
A
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
Trang 2Đáp Án
Đặt 3 4 x u ; 23 x 3 v (1)
Có: u v 3 4.(u3 v3) u3 v3 3 (uv u v ) 4.( u3 v3)
u v
1
7
3
x
x
Câu II :
1.Ta có a3b3 ab a b( ) (*)với mọi a,b
Mặt khác: Với a, b, c > 0 tương tự (*) ta có:
3 3 3
b c bc b c c a ca c a
a b c ab a b bc b c ca c a
a b c a b ab b c bc c a ca
Áp dụng bất đẳng thức: a b 2 ab cho hai số không âm, ta có:
2
Từ đó => a3 b3 c3 a bc b ca c ab2 2 2
2 Ta có
Trang 3
Dễ thấy x - y vì nếu x = - y thì khi đó – x2 = 8 ( vô lý )
Do x, y nguyên nên x y 1 Suy ra
(2)
Do đó x2 xy y 2 xy 8
Xét hai trường hợp : + ) xy – 8 > 0 Khi đó (2) trở thành
+) xy – 8 < 0 Khi đó (2) trở thành
x xy y xy x y Do đó x y 2, 2 0;1;4
Từ đó suy ra Các cặp số thỏa mãn là (0 :-2)
Câu III.
a Do tia AD, AE là hai tia phân giác trong và ngoài của góc BAC
=> góc NAM = 900 mà OA = OM => ON = OM = OA => N thuộc (O)
b Xét hai tam giác ABM và ADC có góc BAM = MAD (gt)
góc AMB = góc ACD ( hai góc nt cùng chắn cung AB)
=.> tam giác ABM đồng dạng với tam giác ACD nên D
=> AB.AC = AM.AD AB.AC = AD2 + DM.AD (1)
Hệ thức lượng trong (O) với hai cát tuyến AM và BC cho ta AD DM = DB DC
Trang 4
Do đó AB.AC = AD2 + DB.DC
c.Giả sử (b>c ) Theo T/C đường phân giác của tam giác ta có
;
;
a b c
là nửa chu vi tam giác ABC Từ (1) ta có
2 2 2
2
( )
( )
bc b c a
ac ab
A AB AC B DC cb
bc a b c b c a bcp p a
Do đó
A
b c
Câu IV : Ta đi cm:
5 4
+ Trường hợp 1: Một trong ba số a,b,c bằng 0
Giả sử c = 0 ta có
5
4
a
Hiển nhiên bđt đúng theo bđt AM – GM ( hay gọi bđt Cosi) Dấu = xảy ra khi a= 3b
+ Trường hợp : Ta đi cm tổng quát
Đặt
5 2
.Giả sử x = max(x,y,z) thì (1)tương đương với
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
5 2 4
x
x y z
(2)
Ta chỉ cần cm (2) với trường hợp z y Với mọi t 0 thì
Trang 52 2 2 2 2 2
Luôn đúng vì k2 3 và x y z x2 y2 z2
Mặt khác vì x = max (a,b,c) và x2 y2 z2 nên tồn tại t min (a,b,c) để
(x t ) (y t ) (z t ) do đó (2) đúng khi thay x’ = x – t , y’ = y – t, z’ = z – t Vậy ta có
2 2 2
Bđt (2)có thể viết dưới dạng
( ' )( ' ) ( ' )( ' ) ( ' )( ' )
BĐT trên trực tiếp có khi cộng (3)và (4)với x,y,z thay bởi x’,y’,z’ Vậy bđt được
CM Đẳng thức xảy ra khi x=3t,y=t,z=0 hoặc các hoán vị tương ứng Vậy với a+b+c =0 =>Max A = 5/4 a = 3/4 ; b= 1/4 ; c=0 (và các hoán vị