Chuyên đề 1: RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I – Phương pháp giải: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử nếu có để tìm nhân tử chung.. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.[r]
Trang 1Chuyên đề 1:
RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I – Phương pháp giải:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cĩ) để tìm nhân tử chung
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
II – Các dạng bài tốn thường gặp:
1- Rút gọn phân thức.
2 2
2 2
2
2
1: )
( 2 )
2
Câu a
x a x x a x
a x a
x a
a
x a
Câu: c)
2
3 2
2
2
2
(2 1)
1
2
y
y
Với: y-2 và y
-1 2
2- Chứng minh.
4 2
4 2
4 2
4 2
2 2 2
2 2
: )
( 1)
( 1)
Câu b
Trang 2Câu2 : a) Hãy chứng minh:
3 2
3 2
2
a
Giải:
Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x:
Giải:
Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x.
3 2
3 2
2 2 2
( 4)( 1)( 1)
1 2
a a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
1 1
a a
a a
Trang 3Câu2: c) Chứng minh rằng nếu
x y z x y z thì trong ba số x, y, z
ít nhất cũng có một cặp số đối nhau
Giải:
Từ:
x y z x y z
Ta có:
1
yz xz xy
Từ đó ta có: (x y z yz xz xy )( )xyz
Hay (x y z yz xz xy )( ) xyz0
Biến đổi vế trái:
2
x y y z x z
Vậy: (x y y z x z )( )( ) 0
Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau.
3- Tính giá trị.
Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C =
3 2 3
6 4
với x = 2008 Giải: C = 3 2
3 2 2 2
6 4
( 2)( 2)
( 2)( 2) 3
2
x x
x x
Trang 4
Với x = 2008 thì C =
2011 2010
Câu 3: b) Cho a+b+c = 5 Tính giá trị của phân thức
3 3 3
2 2 2
3
Ta có:
Vậy:
5
a b c
Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn 1
x y z
a b c và 0
x y z
Tính:
2 2 2
2 2 2
Giải:
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1 2
2
x y z
Vậy:
2 2 2
2 2 2 1
3 3 3
3 3
2 2 2
3
Trang 54- Tổng hợp
Câu4 : a) Cho biểu thức A =
2 2 2
2 4 4 2
a1) Rút gọn A.
a2) Chứng minh rằng A dương.
a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất? Giải:
a1) A =
a2) Ta có: m2 0, m.
Nên: m2 + 2 > 0, m.
Do đó: 2
1 2
m > 0, m.
Vậy: A > 0, m.
a3) Ta có: m2 0, m.
Nên: m2 + 2 2, m
Do đó: 2
2 2
m , m
Hay: A
1
2, m
Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A =
1 2 Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0
Câu4: b) Cho M =
2
3 :
b1) Rút gọn biểu thức M.
b2) Tìm giá trị của M với x = 2008.
b3) Với giá trị nào của x thì M < 0 ?
2 2 2
2 4 4 2
2 4 2 4 4
2
1
1
1 2
n
m
Trang 6b4) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên?
Giải:
b1) Điều kiện: x0, x-1, x
1 2
M =
b2) Với x = 2008.
M =
2008 1
669 3
b3) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1 Kết hợp với điều kiện
Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1,
1
2.
b4) M nhận giá trị nguyên khi (x-1) 3 hay x -1 = 3k (k Z)
Vậy: x = 3k +1 (kZ)
Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau:
2
2
3 :
2(1 2 )(1 2 ) 2.3
2
2
3 ( 1) 3 1 3
x x
x
x x x x
Trang 7M =
2 2
2 2
:
Giải:
M =
Câu5: b) Chứng tỏ:
2
2
2 1
a
, a R
Giải:
Ta có: a12 0 a2 1 2a (1)
Chia cả hai vế của (1) cho 2(a2+1), ta được:
2
1
a
a
1
a a
2 2
a
Vậy:
2
2
2 1
a
, a R
Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau:
3
2 2
Q
a b
x
Giải:
Với 2
a b
x
, ta có:
x a a
2 2
2 2
2 2
4 2 2
2 2 2 2 4
2 2
:
a
Trang 82 2
x b b
2
2
x a b a
Ta lại có:
x a b a b
x a b a b
Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = 0
Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau:
A =
(a b a c )( ) ( b c b a )( ) ( c a c b )( )
Với a, b, c đôi một khác nhau.
Giải:
A =
(a, b, c đôi một khác nhau)
Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c.
B =
Với a, b, c đôi một khác nhau.
Giải:
0
a b b c c a
b c c a a b
a b b c c a
Trang 92 2 2
2
4
( 4
B
a b c
4
4
4
4
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
2]
c
a b b c c a
( a, b, c đôi một khác nhau )
Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau:
P
4ab
x
a b
Giải:
2
4
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
Trang 102 2
2 2
2
( 2 )( 2 )
P
Thay
4ab
x
a b
vào P ta có:
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
16
16
16
16
4
2
a b
ab
a b
P
a b
a b
a b
ab
a b
a b
ab
a b