Nhận xét: Bài toán sử dụng kĩ thuật thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi Đây là phương pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
TRƯỜNG THPT THÔNG NÔNG
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học 2012 - 2013
Lời giải được giải bởi:
http://violet.vn/nguyenkimhoi
Câu I (2 điểm) Cho hai đường thẳng song song d và d’ Trên d có 10 điểm phân biệt, trên d’ có n điểm phân biệt n ≥ 2 Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Hãy tìm n
Bài giải:
Cách 1:
Chọn 1 đỉnh trên đường thẳng d và 2 đỉnh trên đường thẳng d’ có C C101 . n2 tam giác Chọn 2 đỉnh trên d và 1 đỉnh trên d’ ta có: C C102. n1 tam giác
Theo đề bài ta có:
2
20
28
n
n
=
↔ = −
Vì n ≥ → 2 n = 20
Cách 2:
Cứ 3 điểm tạo thành 1 tam giác nên ta có: C n3+10 tam giác
Trên d có 10 điểm thẳng hàng nên có : C103 không phải là tam giác
Trên d’ có n điểm thảng hàng nên có: 3
n
C không phải là tam giác Theo đề bài ta có ngay: C n3+10−C103 − C n3 = 2800
Giải ra ta được kết quả như trên
Nhận xét: Bài toán cơ bản kiểm tra được quy tắc cộng và quy tắc nhân Làm theo cách 2 chỉ cẩn kiến thức tổ hợp là ra
Trang 2Câu II (2 điểm)
Giải phương trình: sin cos 2 tan 2 cos 2 0
sin cos
+
−
Bài giải: Điều kiện: cos 2x ≠ 0
Phương trình tương đương với:
2
2 2
(sin cos ) sin 2
(sin cos ) 2 sin 2 cos 2 0
1 sin 2 cos 2 0
sin 2 sin 2 0
sin 2 0
sin 2 1
x
x
x
+ sin 2x = → 1 cos 2x = 0(loại)
2
k
x = ↔x = π k ∈Z
Nhận xét: Giải phương trình lượng giác tương đương mức độ đề thi đại học
Đề bài cho sin cos
sin cos
+
− và cos 2x giúp ta có mối liên hệ
Để giải tốt học sinh cần thuộc công thức
in x=-(sinx )(sinx )
cos 2x = cos x− s − cosx + cosx
Câu III (4 điểm) Giải phương trình: 2 4 2 1
2
log (x + 2) + log (x− 5) + log 8 = 0(*)
Bài giải: Điều kiện 2
5
x x
> −
≠
(*)
2 2
5
3
6 6
2
3 2
2
x
x
x x
x
x x
x x
> >
− < < − < <
+ − + − = − + + =
>
= −
+
− < <
=
−
=
17 2
−
Trang 3
Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản về phương trình logarit Học sinh cần lưu ý log (4 x − 5)2 = log2 x− 5 Nếu không có dấu trị tuyệt đối sẽ bị thiết nghiệm
Để khắc phục lỗi này ngoài cách trên ta có thể biến đổi:
2
log (x + 2) + log (x− 5) + log 8 = 0 Cách này an toàn mà lời giải đẹp hơn.
Câu IV (4 điểm) Chứng minh rằng với x y z, , > 0 thì:
y + z + x ≥ + +
Bài giải:
Cách 1:
Ta có:
Cộng vế theo vế ta được:
yz+zx
Chứng minh thêm: x2+y2 + z2 ≥xy + yz + zx(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được điều phải chứng minh
Cách 2:
y + y + ≥ z + z + ≥ x + x + ≥ Cộng lại vế theo vế ta có điều phải chứng minh
Nhận xét: Bài toán sử dụng kĩ thuật thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi
Đây là phương pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp và
sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ!
Đây sẽ là bài toán khó nhất trong đề thi cho các em học sinh học tại các trường THPT không chuyên vì bài toán bất đẳng thức ở lớp 10 các em không có nhiều thời gian luyện tập
Câu V (4 điểm) Hàm số 2 1
1
x y x
−
=
− có đồ thị (C)
a Giải bất phương trình y' < 4
b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B mà OA=4OB
Bài giải:
a
2
1
'
( 1)
y
x
−
=
− Với điều kiện x ≠ 1
Trang 4Ta có:
2 2
2
2
1
( 1)
y
x
x
x
−
< ↔ < −
−
↔ < <
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là: 1;1 1;3
∪
b Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M x y( ; )0 0 cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho
OA=4OB Do tam giác OAB vuông tại O nên tan 1
4
OB A OA
= = suy ra hệ số góc của d
bằng 1
4 hoặc bằng 1
4
−
Hệ số góc của d tại M là
0
0
3 ( 1) 1
4
2
y x
x
− =
= −
Khi đó ta có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:
( 1)
( 3)
↔
Nhận xét:
a Là câu dễ cho điểm học sinh
b Đây là một bài toán tương đương với đề thi đại học Học sinh có thể gọi tọa độ điểm A x( A; 0) và B(0;y B) Sau đó sẽ tìm được mỗi quan hệ x A = 4 y B từ đó sẽ tìm được hệ số k ( đa số học sinh THPT không chuyên sẽ làm theo cách này)
Câu VI (4 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh bên AA’=b, Gọi α là góc giữa (ABC) và (A’BC)
a Xác định góc α và tính tanα
b Tính thể tích khối chóp A’BB’C’C
Bài giải:
a Gọi E là trung điểm của BC, H là trọng tâm của ∆ ABC Vì A'.ABC là hình chóp đều nên góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) là α= A EH'
Trang 5Tá có : E 3, 3, 3
3
b
Do đó:
α = = − ;
b
' ' '
'.
Do đó: V A BB CC' ' ' =V ABC A B C ' ' '−V A ABC'.
' ' '
(đvtt)
Nhận xét: Đây là một bài toán cơ bản cho hình lăng trụ xiên Điều quan trọng là học sinh biết cách dựng đường cao là bài này làm okie
Nhận xét chung toán bài thi:
phương trình vô tỉ và hệ phương trinh là một bài toán hay nên được khai thác
sinh THPT không chuyên làm vừa sức
http://violet.vn/nguyenkimhoi