Trong tất cả các hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên một mặt cầu có bán kính R cho trước, tỉ số giữa chiều cao và bán kính đáy của hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất bằng..[r]
Trang 1ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
(Đề gồm có 04 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC: 2017-2018 Môn thi: TOÁN
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 29/3/2018
MÃ ĐỀ 103
Câu 1 Hàm số 1 3 2 3 1
3
y x x x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ?
A ( ; 3). B ( 1;2) C ( 2;1) D (1; ).
Câu 2 Tập nghiệm của bất phương trình 1 2 2
4
x
x là
A (0 ; 2). B ( 2 ; 0) C ( ;0) (2; ). D ( ; 2) (0; ).
Câu 3 Đồ thị hàm số 2 1
x y
x có bao nhiêu đường tiệm cận ?
Câu 4 Cho hàm số 2 1
1
x y
x Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Hàm số đã cho không đạt cực trị B Hàm số đã cho đạt cực đại tại x 1.
C Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 1. D Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 5 Trên tập số thực, phương trình 2 2 1 2
2
log x log (x 1) 2 tương đương với phương trình nào trong các phương trình dưới đây ?
A x4 2(x2 1). B x4 4(x2 1). C x x4 ( 2 1) 2 D x x4 ( 2 1) 4
Câu 6 Phương trình 3 sinx cosx 2 0 tương đương với phương trình nào dưới đây ?
A sin 1.
6
3
3
3
x
Câu 7 Phương trình 3sin 2x sin 2x cos 2x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0 ;5
2
?
Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1;2) và có vectơ chỉ phương 2;3; 1
u Hệ phương trình nào sau đây không phải là phương trình tham số của d ?
A
1 2
1 3
2
z t
B
5 2
5 3
z t
C
3 2
2 3
1
D
1 2
4 3
3
z t
Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau 1: 1 3,
x y z d
:
d Đường vuông góc chung của hai đường thẳng d d1 , 2 có một vectơ chỉ phương là
A u 1 (5;3;7). B u 2 (5 ; 3 7) ;
C 3 (1 5 ; ;7)
u
Câu 10 Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) sin cos x 2x và 1
2
F Tính
3
F
A 25.
F
Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
:
d và song song với trục Oy là
A x 4z 7 0. B x 4z 7 0 C x 4z 21 0 D y 5 0
Trang 2Câu 12 Biết rằng phương trình log23x 5log3x 4 0 có hai nghiệm thực x x1 , 2 Tính x x1 2
A x x1 2 3 5 B x x1 2 3 5 C x x1 2 3 4 D x x1 2 3 4
Câu 13 Cho
( )d 2, ( )d 5
f x x f x x và
2 1
[ ( ) 2 ( )]d 11
f x g x x Tính
2 1
( )d
g x x
A
2
1
( )d 2
g x x B
2 1
( )d 4.
g x x C
2 1
( )d 7.
g x x D
2 1
( )d 9.
g x x
Câu 14 Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) ln x và F 1 0 Tính F 4
A F 4 4ln 2 4 B F 4 4ln 2 3 C F 4 8ln 2 4 D F 4 8ln 2 3
Câu 15 Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy bằng 6 và diện tích xung quanh bằng diện tích đáy
A V 216 B V 108 C V 72 D V 36
Câu 16 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AC a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a Tính thể tích V của khối chóp S ABCD.
A 3 3.
2
a
4
a
6
a
12
a V
Câu 17 Cho hàm số y x 3 3x2 2x 3 có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
A y 5x 6. B y 5x 4. C y 2x 3. D y 2x 1.
Câu 18 Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh vào 4 phòng học sao cho mỗi phòng có 2 học sinh ?
A 105 B 112 C 672 D 2520
Câu 19 Một lớp học của trường THPT X có 9 học sinh gồm 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ dự thi trong
Kỳ thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh, trong đó có lớp trưởng là học sinh nam Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong 9 học sinh trên để tham gia giao lưu với các học sinh của trường khác Xác suất để 4 học sinh chọn ra có lớp trưởng và có duy nhất 1 học sinh nữ là
A 4.
3
Câu 20 Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau Gọi H là trực tâm tam giác
ABC Mệnh đề nào sau đây sai ?
A OH BC. B OH OA. C OH BH. D AH BC.
Câu 21 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, diện tích tam giác SAB bằng a2 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) Tính tan
A tan 3.
2
B tan 1. C tan 2. D tan 3.
Câu 22 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng 1 Gọi I là tâm hình vuông AA B B' ' Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (BB D D' ' ) bằng
A 2.
2
Câu 23 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx 4 (m m x 2 ) 2 2m 1 có đúng một điểm cực trị
A 0 m 1. B m 1. C m 1. D m 1 và m 0.
Câu 24 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( ) : C y x, đường thẳng
( ) :d yx 2 và trục hoành
A 5.
6
6
6
Câu 25 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sin 3x cos 3x m có nghiệm thực
Trang 3A 334611. B 1259712. C 1259712. D 216513.
Câu 27 Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 1 Gọi M là trung điểm của cạnh AB, E là điểm đối xứng với D qua B Đường thẳng ME cắt cạnh AD tại N Thể tích khối chóp C.BMND bằng
A 5.
3
Câu 28 Bất phương trình 32 3.2 2 1 1
x
x x x có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng 10;10 ?
Câu 29 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22x 2(m 1)2x 6m 3 0 có hai nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1.
A 3
2
m và m 2 B m 2. C m 1 và m 2 D m 2.
Câu 30 Cho hình trụ có trục OO', chiều cao bằng bán kính đáy và bằng a Trên hai đường tròn đáy ( )O
và ( ')O lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO' bằng
2
a
Gọi là góc giữa hai đường thẳng AB và OO' Tính cos
A 2.
2
Câu 31 Trong tất cả các hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên một mặt cầu có bán kính R cho trước,
tỉ số giữa chiều cao và bán kính đáy của hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất bằng
2
Câu 32 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và
K là điểm thuộc cạnh BC sao cho GK song song với mặt phẳng (SCD) Tỉ số KB
KC bằng
3
Câu 33 Cho hình chóp S ABC. có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB a BC , 2a, mặt bên SBC
là tam giác vuông cân tại B Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng
A 3.
2
a
B 30 4
a
C 2 5 5
a
D 2 21. 7
a
Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2
d và điểm A(1;4;2).
Gọi ( ) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất Mặt phẳng ( ) có một vectơ pháp tuyến là
A 1 (5 ; 2 ;6)
n B n 2 (5;2;4). C n 3 (10;22; 1)
D 4 (10 ; 6; 13)
n
Câu 35 Cho hình nón có chiều cao bằng 3a, bán kính đáy bằng 5a Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng 12
5
a
Tính diện tích S của thiết diện đó
A S 15 a2 B 15 2.
2
2
S
Câu 36 Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục trên và
1 (1) 1, ( 1)
3
f f Đặt g x( ) f2( ) 4 ( ).x f x Đồ thị của hàm số
'( )
y f x là đường cong trong hình bên Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A min ( )3.
g x
C min ( ) 13.
9
9
g x
Trang 4Câu 37 Biết
2 0
2
x x x a b c với a b c, , là các số nguyên Giá trị của tổng a b c bằng
Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :2P x y z 1 0 và hai điểm A(2;1;1), (3;3;2)
B Điểm M a b c( ; ; ) (với b 0) nằm trong mặt phẳng ( )P sao cho OM AB và MA 26 Giá trị của tổng a b c bằng
Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x 2y z 4 0 và hai điểm
(1;2; 1),
A B( 1;0;3) Mặt cầu ( )S có tâm I a b c( ; ; ), tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại A và đi qua B Giá trị của tích abc bằng
Câu 40 Tổng các nghiệm thuộc khoảng ; 3 của phương trình 2sin 2 – cos 2x x 7sinx 2cos – 4x bằng
A 7 B 6 C 5 D 4
Câu 41 Trên một mặt phẳng cho đường thẳng và hình tròn ( )C có bán kính bằng 1 tiếp xúc với
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn ( )C xung quanh
A V 2 B V 2 2 C 2.
2
2
V
Câu 42 Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và
3.
SA a Gọi M là trung điểm của AB, là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (SBC) Tính
sin
A sin 3 .
13
B sin 3 .
2 13
C sin 3 .
65
D sin 2 3.
65
Câu 43 Cho bất phương trình 3 sin x 1 sin x cos 2x 2sinx m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình đã cho có nghiệm thực
A 25.
4
m B m 4. C m 6. D m 7.
Câu 44 Cho mặt cầu ( )S có tâm O, bán kính R 6cm. Tam giác ABC có ba cạnh BC 13cm,
14 ,
CA cm AB 15cm, cả ba cạnh của tam giác ABC cùng tiếp xúc với mặt cầu ( )S Khoảng cách từ tâm
O đến mặt phẳng (ABC) bằng
A 3 2cm. B 2 2cm. C 2 3cm. D 2 5 cm.
Câu 45 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình
log x (2m 5)log x m 5m 4 0 chứa nửa khoảng 2;4
A 2 m 0. B 2 m 0. C 0 m 1. D 0 m 1.
Câu 46 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mặt đáy và
3.
SA a Gọi ( )P là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC Diện tích thiết diện của hình chóp
.
S ABCD cắt bởi mặt phẳng ( )P bằng
A 2 3.
2 5
a
B 3 2 3.
4 5
a
C 2 2 3.
3 5
a
D 3 2 3.
2 5
a
Câu 47 Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam (trong đó có Hoàng) và 5 học sinh nữ (trong đó
có Lan) thành một hàng ngang Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng giới tính đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan không đứng cạnh nhau bằng
A 8 .
450
Câu 48 Đường thẳng ( ) : d y x cắt parabol ( ) : P y x2 tại 2 điểm O(0;0), (1;1)A Tính diện tích lớn nhất max
S của hình chữ nhật có 2 đỉnh thuộc đoạn thẳng OA và 2 đỉnh còn lại thuộc cung OA của parabol( )P
Trang 5ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 49 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Hai điểm M N, theo thứ tự di động trên hai cạnh
,
AB AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Khi thể tích khối tứ diện AMND
đạt giá trị lớn nhất, giá trị của tổng AMAN bằng
A 1. B 2.
3
Câu 50 Cho ba số thực dương x y z, , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P x xy xyz x y z
A maxP 1. B maxP 2. C maxP 3. D maxP 4.
HẾT
-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
(Đề gồm có 04 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC: 2017-2018 Môn thi: TOÁN
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 29/3/2018
MÃ ĐỀ 101 ĐÁP ÁN