Giới thiệu về đa thức tutte của đồ thị

Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte 2.1... Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte 2.1... Kiến thức chuẩn bị.1.5 Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thô

Trang 2

Lành Thanh Tùng (Cao học k16) Ngày 16 tháng 10 năm 2011 2 / 33

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 3

Mở đầu

Nội dung chính của luận văn:

+) N.Đ Tân, Lý thuyết tổ hợp và đồ thị, chương 6, ĐHQG Hà Nội,

(2004)

+) B BéLa, Modern graph Theory, chap X, Berlin, New York:

Springer-Verlag, ISBN 978-0-384-98491-9, (2010)

Trang 4

Cấu trúc luận văn

1.1 Định nghĩa đồ thị1.2 Đồ thị vô hướng, đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị con1.3 Đồ thị đủ, đồ thị rỗng, đồ thị vòng

1.4 Hành trình, đường, chu trình1.5 Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thông1.6 Đồ thị bao trùm

1.7 Cây, rừng, cây bao trùm(cây khung), rừng bao trùm

Chương 2 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte

2.1 Định lý cơ sở2.2 Định nghĩa2.3 Tính chất cơ bản2.4 Ví dụ

Trang 5

Cấu trúc luận vănChương 1 Kiến thức chuẩn bị

2.1 Định lý cơ sở2.2 Định nghĩa2.3 Tính chất cơ bản2.4 Ví dụ

Trang 6

2.1 Định lý cơ sở

2.2 Định nghĩa

2.3 Tính chất cơ bản

2.4 Ví dụ

Trang 7

Cấu trúc luận vănChương 1 Kiến thức chuẩn bị

2.1 Định lý cơ sở

Trang 8

Cấu trúc luận vănChương 3 Một số trường hợp đặc biệt của đa thức Tutte

3.1 Giá trị đặc biệt của đa thức Tutte TG(x, y ) tại x, y ∈ {1, 2}

3.2 Đa thức tô màu

3.3 Đa thức dòng

khung)

4.1 Các định nghĩa4.2 Ví dụ

Trang 9

Cấu trúc luận vănChương 3 Một số trường hợp đặc biệt của đa thức Tutte

3.1 Giá trị đặc biệt của đa thức Tutte TG(x, y ) tại x, y ∈ {1, 2}3.2 Đa thức tô màu

Trang 10

1.1 Định nghĩa đồ thị

Cho V là tập hữu hạn và khác rỗng, E ⊆ V × V , khi đó G = (V , E )gọi là một đồ thị hữu hạn

i) Mỗi phần tử v ∈ V được gọi là một đỉnh của đồ thị

ii) Mỗi phần tử e = (x, y ) ∈ E với x 6= y được gọi là một cạnh của đồthị

iii) Mỗi phần tử e = (x, x) ∈ E được gọi là một khuyên của đồ thị

4i) V = V (G ) được gọi là tập các đỉnh, E = E (G ) được gọi là tập cáccạnh, | V | , | E | lần lượt là số các đỉnh và số các cạnh của đồ thị

Trang 11

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

1.2 Đồ thị vô hướng, đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị con

1.2 1 Định nghĩa

i) G = (V , E ) được gọi là một đồ thị vô hướng nếu với mọi cạnh

e = (x, y ) ∈ E không phân biệt thứ tự các đỉnh x và y hay

Trang 12

1.2.2 Ví dụ

Trang 13

Trang 14

1.3.2 Ví dụ

Trang 15

ii) Một hành trình được gọi là đường nếu các đỉnh của hành trình đó đềukhác nhau

Trang 16

1.4.2 Ví dụ

Trang 17

1.5 Đồ thị liên thông, cầu, thành phần liên thông

1.5.1 Định nghĩa

i) Đồ thị G = (V , E ) gọi là liên thông nếu luôn tìm được một hành trình

giữa hai đỉnh bất kỳ của nó

ii) Cạnh e ∈ E gọi là một cầu nếu G − e không liên thông

iii) Đồ thị con liên thông F của đồ thị G = (V , E ) được gọi là một

thành phần liên thông của G nếu không tồn tại một đồ thị con liên

thông của G thực sự chứa F

1.5.2 Ví dụ

Trang 18

ii) Cạnh e ∈ E gọi là một cầu nếu G − e không liên thông.

iii) Đồ thị con liên thông F của đồ thị G = (V , E ) được gọi là một

thành phần liên thông của G nếu không tồn tại một đồ thị con liên

thông của G thực sự chứa F

1.5.2 Ví dụ

Trang 19

1.6 Đồ thị bao trùm

i) Đồ thị F gọi là đồ thị bao trùm(đồ thị bộ phận) của đồ thị G nếu

V (F ) = V (G ), E (F ) ⊆ E (G )

ii)Cho G = (V , E ) và e ∈ E , e = (u, v ) khi đó: G − e là đồ thị thu

được từ G bằng cách cắt ( xoá ) cạnh e G /e là đồ thị thu được từ Gbằng cách sáp nhập các đỉnh u và v và loại bỏ cạnh e = (u, v )

Trang 20

1.6.2 Ví dụ

Trang 21

i) Cây là một đồ thị liên thông và không có chu trình Rừng là đồ thị

không có chu trình

ii)Cho G là một đồ thị liên thông và F là một đồ thị con của G Khi đó,

F được gọi là cây bao trùm(cây khung) của G nếu F là một cây và

V (F ) = V (G ) Đồ thị F được gọi là rừng bao trùm của G nếu

V (F ) = V (G ), E (F ) ⊂ E (G ), và mỗi thành phần liên thông của F là

một cây bao trùm của một thành phần của G

1.7.2 Ví dụ

Trang 22

V (F ) = V (G ), E (F ) ⊂ E (G ), và mỗi thành phần liên thông của F làmột cây bao trùm của một thành phần của G

1.7.2 Ví dụ

Trang 23

i) Cây là một đồ thị liên thông và không có chu trình Rừng là đồ thịkhông có chu trình

V (F ) = V (G ), E (F ) ⊂ E (G ), và mỗi thành phần liên thông của F làmột cây bao trùm của một thành phần của G

1.7.2 Ví dụ

Trang 24

Số n(G ) =| E | − | V | +k(G ) gọi là số khuyết của đồ thị G

Cho F ⊂ E khi đó ta kí hiệu (F ) cho đồ thị (V , F ) và kí hiệu

rhF i, nhF i, khF i lần lượt là hạng , số khuyết và số thành phần liên

thông của đồ thị này trong đó

rhE i = r (G )nhE i = n(G )

Trang 25

Chương 2 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte.2.1.1 Định nghĩa

Đa thức S (G ; x, y ) của đồ thị G = (V , E ) có bậc phụ thuộc vào

Trang 26

S (G − e; x, y ) + S(G /e; x, y ) nếu e không là một cầu hay khuyên.

(2)Hơn nữa S(En; x, y ) = 1 cho n-đồ thị rỗng, n ≥ 1

Trang 27

Chương 2 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte.

iii) TG = 1 nếu G không chứa các cạnh

4i) Nếu G là thu được từ đồ thị H bằng cách thêm i cầu và j khuyên thì

TG(x, y ) = xiyjTH

Trang 28

TG − e+ TG/ nếu e không phải là một cầu hay một khuyên

iii) TG = 1 nếu G không chứa các cạnh

4i) Nếu G là thu được từ đồ thị H bằng cách thêm i cầu và j khuyên thì

TG(x, y ) = xiyjTH

Trang 29

Chương 2 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte.2.2 Định nghĩa

Trang 30

U(G ) = αk(G)σn(G)τr(G)TG(αx/τ, y /σ) (4)

Trang 31

Hơn nữa

Trang 32

Trang 33

Trang 34

Trang 35

Chương 2 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa thức Tutte.2.4 Ví dụ

Trang 36

Trang 37

ta xác định được đa thức Tutte của đồ thị G theo cách sau : cạnh đỏ(inđậm) được xoá ở bên nhánh trái và sáp nhập ở bên nhánh phải

Trang 38

university-logođậm) được xoá ở bên nhánh trái và sáp nhập ở bên nhánh phải

Trang 39

Chương 3 Một số trường hợp đặc biệt của đa thức Tutte.

Cho G là một đồ thị liên thông, khi đó:

TG(1, 1) là số cây bao trùm của G

TG(2, 1) là số rừng của G

TG(1, 2) là số đồ thị con bao trùm liên thông của G

TG(2, 2) là số đồ thị con bao trùm của G

(5)

Trang 40

Cho G là một đồ thị liên thông, khi đó:

TG(1, 1) là số cây bao trùm của G

TG(2, 1) là số rừng của G

TG(1, 2) là số đồ thị con bao trùm liên thông của G

TG(2, 2) là số đồ thị con bao trùm của G

(5)

Trang 41

Sau đây ta sẽ chỉ ra rằng đa thức tô màu chỉ đơn giản là đa thức Tutte

trong trường hợp y = 0

i) Một tô màu đỉnh của một đồ thị, gọi đơn giản là một tô màu, là mộtphép gán các màu cho các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau bất kỳ có màukhác nhau

ii) Sắc số của đồ thị G, ký hiệu là χ(G ) là số màu nhỏ nhất để tô đồ thị

G và χ(G ) ∈ N và χ(G ) ≤| V (G ) |

iii) Cho một đồ thị G và một số nguyên dương x , kí hiệu PG(x) là sốcách tô màu đỉnh của đồ thị G với x màu, đó là số ánh xạ

c : V (G ) −→ {1, 2, , x} mà nếu u, v là các đỉnh liền kề thìc(u) 6= c(v ).Khi đó :

PG(x) = PG 0(x) + PG 00(x) (6)

Trang 42

Chương 3 Một số trường hợp đặc biệt của đa thức Tutte

i) Một tô màu đỉnh của một đồ thị, gọi đơn giản là một tô màu, là một

phép gán các màu cho các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau bất kỳ có màu

PG(x) = PG 0(x) + PG 00(x) (6)

Trang 43

PG(x) = PG 0(x) + PG 00(x) (6)

Trang 44

khác nhau

G và χ(G ) ∈ N và χ(G ) ≤| V (G ) |

iii) Cho một đồ thị G và một số nguyên dương x , kí hiệu PG(x) là số

cách tô màu đỉnh của đồ thị G với x màu, đó là số ánh xạ

c : V (G ) −→ {1, 2, , x} mà nếu u, v là các đỉnh liền kề thì

c(u) 6= c(v ).Khi đó :

Trang 45

Chương 3 Một số trường hợp đặc biệt của đa thức Tutte.3.2 Đa thức tô màu

Sau đây ta sẽ chỉ ra rằng đa thức tô màu chỉ đơn giản là đa thức Tuttetrong trường hợp y = 0

i) Một tô màu đỉnh của một đồ thị, gọi đơn giản là một tô màu, là mộtphép gán các màu cho các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau bất kỳ có màukhác nhau

G và χ(G ) ∈ N và χ(G ) ≤| V (G ) |

iii) Cho một đồ thị G và một số nguyên dương x , kí hiệu PG(x) là sốcách tô màu đỉnh của đồ thị G với x màu, đó là số ánh xạ

Trang 46

ta cần lưu ý đến ba đặc tính đơn giản của các đa thức tô màu :

+ Nếu H là đồ thị thu được từ G bằng cách thay thế các cạnh bội bởicác cạnh đơn khi đó PG(x) = PH(x)

+ Nếu e là một cầu của G khi đó :

Trang 47

+ PG(x) = 0 nếu G chứa một khuyên

+ Nếu H là đồ thị thu được từ G bằng cách thay thế các cạnh bội bởi

Trang 48

+ Nếu H là đồ thị thu được từ G bằng cách thay thế các cạnh bội bởi

Trang 49

+ Nếu H là đồ thị thu được từ G bằng cách thay thế các cạnh bội bởicác cạnh đơn khi đó PG(x) = PH(x)

+ Nếu e là một cầu của G khi đó :

Trang 50

i) A-dòng là một ánh xạ f : ~E −→ A mà tại mỗi đỉnh x ∈ V tổng giá trị

của các cạnh đi ra từ x bằng tổng giá trị của các cạnh đi vào x

không tại mọi cạnh

iii) qG(A) được gọi số các A-dòng khác không mọi nơi trong G Ta thấyngay qG(A) là một đa thức theo lực lượng của nhóm A, điều này là hợp

lý cho cách gọi nó là đa thức dòng

Trang 51

i) A-dòng là một ánh xạ f : ~E −→ A mà tại mỗi đỉnh x ∈ V tổng giá trị

của các cạnh đi ra từ x bằng tổng giá trị của các cạnh đi vào x

ii) Một A-dòng được gọi là khác không mọi nơi nếu nó có giá trị khác

không tại mọi cạnh

iii) qG(A) được gọi số các A-dòng khác không mọi nơi trong G Ta thấyngay qG(A) là một đa thức theo lực lượng của nhóm A, điều này là hợp

lý cho cách gọi nó là đa thức dòng

Trang 52

lý cho cách gọi nó là đa thức dòng.

Định dạng
Số trang	68
Dung lượng	1,88 MB