tom tat hinh hoc 12 phan 1

d Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác giao các phân giác trong của các góc của tam giác: Tâm K của đường tròn nội tiếp  ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo[r]

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

 HỆ TỌA ĐỘ TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM:

1 Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuơng gĩc nhau tạo nên

hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là gốc tọa độ; x’Ox là trục hồnh và

y’Oy là trục tung.Trong đĩ:



i = (1; 0) và j = (0;1) là các vectơ đơn

vị trên các trục.Ta cĩ:



i =j=1 và



i j =0

2 Tọa độ của vectơ :



u = (x ; y) 



u= x



i + y.j

3 Tọa độ của điểm :



OM= (x ; y)  M(x ; y) x: hồnh độ và y: tung độ của điểm M

4 Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxy cho A(xA; yA), B(xB; yB) và

các vectơ a=(a1; a2) và b= (b1 ; b2) Ta cĩ:

a)



a b = ( a1  b1; a2  b2)

b) k = (kaa 1 ; ka2) (k là số thực)

c) Tích vơ hướng: a b = a1 b1 + a2 b2.

Hệ quả:

1 |a|

= a 2 a2

2

2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 1 1

b b a a

b a b a )

b

,

a

cos(













3 a  b  a1 b1 + a2 b2 = 0

d) a=b









 2 2

1 1 b a

b a

e) a ,bcùng phương 



































0 b b b b a a

a

b a

b a k b : R k

1 2 2 1 2 1 2 1

2 2 1 1

f) Tọa độ của vectơ:AB=(xBxA;yByA)

A B 2 A

B-x ) (y -y ) (x

| AB |



h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k1)  MA = k



MB Khi đĩ tọa

độ của M tính bởi:

k 1 kx x

M





k 1

ky y

M







M là trung điểm AB ta cĩ:

2

x x

M



2

y y

M





5 Kiến thức về tam giác: Cho A(xA;yA),B(xB; yB) và C(xC; yC)

a) Trọïng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến):

G là trọng tâm  ABC:

3 x x x

G





3 y y y

G







b) Trực tâm của tam giác (giao các đường cao):





















CA BH

BC AH tâm

trực là H

















0 CA BH

0 BC AH

c) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ( giao của các trung trực):

I(a;b) là tâm của (ABC)  AI = BI = CI = R (bán kính của (ABC)).Giải hệ AI2=BI2 và BI2=CI2  Tọa độ của I

d) Tâm của đường trịn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong

của các gĩc của tam giác):

Tâm K của đường trịn nội tiếp  ABC tìm được khi thực hiện hai lần cơng thức điểm chia đoạn theo tỉ số k:

AC AB DC

DB











nên D chia

BC theo tỉ số k1 Tọa độ của D

BD

BA KD

KA











nên K chia AD theo tỉ số k2  Tọa độ của K

e) Diện tích tam giác:

 S= aha 2

1

= bhb 2

1

= chc 2 1

 S= absinC 2

1

= acsinB 2

1

= bcsinA 2 1

 S=

R 4

abc

= pr = p ( p  a )( p  b )( p  c )

2 2

) AC AB ( AC AB 2

2

,

trong đĩ: det(



AB,



AC) =

2 1

2 1 b b

a a

=a1b2a2b1

với AB =(a1; a2) và AC = (b 1 ; b2)

 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:

1) Định nghĩa: Cho các vectơ



u và



nkhác vectơ



0





u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng  khi



u nằm trên 1 đường thẳng song song hoặc trùng với  Mọi vectơ chỉ phương của  đều cĩ dạng k



u ( k  0)





n là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng  khi



n nằm trên 1 đường thẳng vuơng gĩc với  Mọi vectơ pháp tuyến của  đều cĩ dạng k



n ( k  0)

 Một đường thẳng  hồn tồn xác định khi biết M0Ỵ và 1 vectơ

chỉ phương



u hoặc 1 vectơ pháp tuyến



n của 

2) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a) Định lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng  cĩ dạng:

Ax+By+C = 0 với A2+B2  0

Chú ý:  cĩ vectơ pháp tuyến



n= (A;B) và cĩ vectơ chỉ phương



u= (B; A) hoặc



u= ( B; A)

b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0) và cĩ vectơ pháp tuyến



n= (A;B) là:

A(xx0) + B(yy0) = 0 với A2+B2  0

3) Phương trình tham số  chính tắc của đường thẳng:

a) Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số

của đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0) và cĩ vectơ chỉ phương



u=(a; b) là:















 bt y y

at x x 0

0

với a2+b2  0, tỴR

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình chính tắc

của đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0) và cĩ vectơ chỉ phương



u=(a; b) là:

b

y y a

x





(a2+b2  0)

 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG

CHÙM ĐƯỜNG THẲNG:

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng

1:A1x+B1y+C1 = 0 (1) và 2:A2x+B2y+C2=0 (2) (A 12 B120 và

2

2 B

A   0) Giải hệ gồm (1) và (2) ta cĩ kết quả sau:

 Hệ cĩ duy nhất nghiệm A1B2A2B101và 2 cắt nhau

 Hệ vơ nghiệm A1B2A2B1=0 và B1C2B2C10 1 //ø 2

 Hệ cĩ vơ số nghiệm

A1B2A2B1=B1C2 B2C1=C1A2C2A1= 0 1 2

2) Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng cĩ tâm I Nếu

1:A1x+B1y+C1=0 và 2:A2x+B2y+C2=0 cắt nhau tại I (A1B2 A2B1) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là: m(A1x+B1y+C1 )+ n(A2x+B2y+C2) = 0 (với m2+n2  0)

 GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  KHOẢNG CÁCH TỪ

MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG:

1.Gĩc giữa hai đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng 1:A1x+B1y+C1=0 và 2:A2x+B2y+C2 =0 Nếu gọi  (00    900) là gĩc giữa 1 và 2 thì:

2 2 2 2

2 1 2 1

B A B A

B B A A cos











Hệ quả: 1  2  A1A2 + B1B2 = 0

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

a) Công thức: Khoảng cách từ M(x0;y0) đến :Ax+By+C=0 là:

2 2 0 0

B A

C By Ax ) , M ( d









b) Hệ quả: Nếu 1 : A1x+B1y+C1=0 và 2 : A2x+B2y+C2 = 0 cắt

nhau tại I (A1B2 A2B1) thì phương trình các phân giác tạo bởi (1)

và (2) là:

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1

B A

C y B x A B A

C y B x

A

















 ĐƯỜNG TRÒN:

1.Phương trình của đường tròn:

a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng:

(xa)2+(yb)2=R2

b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R :

x2+y2 = R2

c) Phương trình x2+y2+2Ax+2By+C = 0 với A2+B2C>0 là

phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(A;B) và bán kính

R= A2B2C

2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:

Cho (C) : F(x,y) = x2+y2+2Ax+2By+C = 0 Phương tích của một

điểm M(x0 ; y0) đối với (C) là:

P M/(C)= F(x0,y0) =x2 y2 2Ax0 2By0 C

3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm:

a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn

khác tâm (C1) và (C2) là một đường thẳng d vuông góc với

đường thẳng nối 2 tâm I1 và I2 của (C1) và (C2) và gọi là trục

đẳng phương của (C1) và (C2)

b) Cho hai đường tròn: (C1):F1(x,y)=x2+y2+2A1x+2B1y+C1=0 và

(C2):F2(x,y)=x2+y2+2A2x+2B2y+C2=0 khác tâm, phương trình

của trục đẳng phương của (C1) và(C2) là:

F1(x,y)= F2(x,y) 2(A1 A2)x+2(B1 B2)y+C1 C2 = 0

4 Tiếp tuyến của 1 đường tròn :

Cho (C):F(x;y)=(xa)2+(yb)2R2

=0 và điểm M(x0;y0), để viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M ta tìm phương tích của M

đối với (C):

 Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được tiếp

tuyến nào với (C)

 Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến

với (C) và tiếp tuyến này đi qua M có vectơ pháp tuyến



IM= (x0a; y0b)

 Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ được 2 tiếp

tuyến với (C), phương trình các tiếp tuyến này thực hiện như sau:

 Gọi  là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến



n=(A;B): A(xx0)+B(yy0) = 0 (1) với A2+B2 0

  tiếp xúc (C) d(I,)=

2

A

C Bb Aa







=R

với C=(Ax0+By0) Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M

 ElÍP:

1)Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF1+MF2=2a (2a không đổi và a> c> 0) là một đường elíp

 F1,F2: cố định là hai tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự của elíp

 MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu

b

y a

x

2 2 2 2



 với b2 = a2  c2

3) Tính chất và hình dạng của elíp::

1 b

y a

x

2 2 2

2



(a> b > 0)

 Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn);

Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O

 Đỉnh: A1(a;0), A2(a;0), B1(0;b) và

B2(0; b) Độ dài trục lớn là 2a và độ dài trục bé là 2b

 Tiêu điểm: F1(c; 0), F2( c; 0)

 Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với

b2 = a2  c2.

 Tâm sai:

a b a a

c e

2 2





 Hai đường chuẩn: x=

c

a e







 M(x;y)(E): MF1 = a+ ex và MF2 = aex

b

y a

x

2 2 2 2



 Tại M0(x0;y0)(E) có phương trình: 1

b y y a x x 2 0 2 0





 Đi qua M(x1; y1) là :A(xx1)+B(yy1)=0 với điều kiện:

 tiếp xúc (E)A2a2+B2b2 =C2 A2+B2 0,C=(Ax1+By1)0

 HYPEBOL:

1.Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho

MF 1  MF2 =2a (2a không đổi và c > a> 0) là một Hypebol

 F1, F2 : cố định là 2 tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự

 MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu

b

y a

x

2 2 2 2



 b2 = c2  a2

3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H):

1 b

y a

x

2 2 2 2





 Trục đối xứng Ox (trục thực)

Oy (trục ảo) Tâm đối xứng O

 Đỉnh:A1(a;0),A2(a;0).Độ dài trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b

 Tiêu điểm F1(c; 0), F2( c; 0)

 Hai tiệm cận: y= 

a

bx

 Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b2

= c2  a2.

 Tâm sai:

a b a a

c e

2 2





 Hai đường chuẩn: x=

c

a e







 Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)(H):

* MF1= ex + a và MF2= exa khi x > 0

* MF1= exa và MF2=ex+ a khi x < 0

b

y a

x 2 2 2

2



 Tại M0(x0; y0) (H) có phương trình: 1

b

y y a

x x 2 0 2

 Đi qua M(x1; y1) là : A(xx1)+B(yy1) = 0 với điều kiện:

 tiếp xúc (H)  A2a2  B2b2 = C2 A2+B20,C=(Ax1+By1)0

 PARABOL:

1) Định nghĩa:

Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều 1 đường

thẳng  cố định và 1 điểm F cố định không thuộc 

: đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, ) = p > 0 là tham số tiêu

2) Phương trình chính tắc của Parabol: y2 2px



3) Hình dạng của Parabol (P) :

2px

y2



 Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm F(

2

p

; 0)

 Đường chuẩn : x = 

2

p

 M(x;y)(P): MF = x+

2

p với x  0

4) Tiếp tuyến của parabol (P): y 2 =2px:

 Tại M0(x0; y0) (P):y2=2px có phương trình: y0y = p(x0+x)

 Đi qua M(x1; y1) là : A(xx1)+B(yy1) = 0 với điều kiện:  tiếp xúc (P)  pB2 = 2AC A2+B2 0 và C=(Ax1+By1)0

Tài liệu dành cho học sinh 12 – HK1