Nếu học sinh sử dụng công thức nhân đôi trong lượng giác thì phải chứng minh được nó Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà đúng thì giám khảo nghiên cứu và cho điểm tương ứng.[r]
Trang 1ĐỀ 1
Môn thi: TOáN (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề ra:
Cõu 1( 2,5 điểm): Cho biểu thức: P = ( √x − 1
√x):( √x −1
√x −
√x − 1
x +√x)
a) Rỳt gọn P
b) Tớnh giỏ trị của P khi x = 2
2+√3
c) Tỡm giỏ trị của x thỏa món đẳng thức: P √x = 6 √x - 3 - √x − 4
Cõu 2( 2,0 điểm):
a) Cho a + b + c = 0 và a,b,c khỏc 0 Chứng minh rằng:
√a12+
1
b2+
1
c2=|1a+
1
b+
1
c|
b) Giải phương trỡnh: √x+7 −√x −5=2
Cõu 3( 1,5 điểm):
a) Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của: A = √x −2+√6 − x
b) Cho x và y thỏa món: (x +√x2+2011)(y +√y2+2011)=2011
Tớnh: x + y
Cõu 4(2,5 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH chia cạnh huyền
BC thành hai đoạn BH CH cú độ dài lần lượt là 4cm, 9cm Gọi D và E lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn AB và AC
a) Tớnh độ dài đoạn thẳng DE.
b) Cỏc đường thẳng vuụng gúc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N Tớnh diện tớch tứ giỏc DENM.
Cõu 5(1,5 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A( AB < AC) Trung tuyến AM.
Gọi số đo của gúc ACB là α Số đo của gúc AMB bằng β Chứng minh rằng: ( sin α + cos α )2 = 1 + sin β
Trang 2Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 – Năm học 2011 -2012
Hớng dẫn chấm Môn TOáN
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
1đ
P = ( √x − 1
√x):( √x −1
√x −
√x − 1
x +√x)
ĐKXĐ: x > 0 ,x 1
P = (x −1√x ):( √x − 1√x −
√x −1
√x(√x +1))
= x −1
√x :
x − 1−√x +1
√x (√x+1)
= x −1
√x :
x −√x
√x (√x+1)
= x −1
√x .
√x(√x +1)
√x (√x −1)
= √
x+1¿2
¿
¿
¿
0,25
0,25
0,25
0,25 b
0,75đ
Với x = 2
2+√3 ĐKXĐ
x = 4 - 2 √3 = ( √3− 1¿2 ⇒ √x=√ 3 − 1
Nờn P = √
3− 1+1¿2
¿
¿
¿
√3 −1 =
3
2 ( √3+1¿
0,25 0,25
0,25 c)
0,75đ
ĐK: x 4
P √x = 6 √x - 3 - √x − 4
⇔ √x+1¿
2
¿
¿
¿
√x = 6 √x - 3 - √x − 4
⇔ ( √x+1¿2 = 6 √x - 3 - √x − 4
⇔ x + 2 √x + 1 = 6 √x - 3 - √x − 4 ⇔ (
√x −2¿2+√x − 4=0 (*)
Do ( √x −2¿2≥ 0 ∀ x > 0; √x − 4 ≥ 0 ∀ x 4 Nờn để (*) xảy ra thỡ √x −2¿2=0 và √x − 4=0
⇒ x =4(TM ĐKXĐ)
0,25
0,25
0,25
1,0 Ta cú
1
a+
1
b+
1
c¿
2
= 1
a2+
1
b2+
1
c2+
2
ab+
2
bc+
2 ac
¿
1 1 1 2(a b c)
=
1
a2+
1
b2+
1
c2+0 =
1
a2+
1
b2+
1
c2
0,25 0,5
Trang 3a+
1
b+
1
c¿
2
¿
¿
√a12+ 1
b2+ 1
c2=√¿
0,25
b
1,0
√x+7 −√x −5=2 ( ĐKXĐ: x 5)
⇔ √x+7=√x −5+2
⇔ x +7 = x – 5+ 4 +2 √x −5
⇔ 2 √x −5 = 8
⇔ √x −5 = 4
x= 9 ( ĐKXĐ)
0,25 0,25
0,5
0,75
A = √x −2+√6 − x ĐKXĐ : 2≤ x ≤ 6
A2 = x -2 + 6- x +2 √x −2 √6 − x
= 4 + 2 √(x − 2)(6 − x)
Vì 2 √(x − 2)(6 − x) 0 Nên A2 4 hay A 2
- Do đó minA = 2 ⇔ x = 2 hoặc x = 6 ( tm ĐK) Mặt khác A2 = 4 + 2 √(x − 2)(6 − x) 4 + x -2 + 6 –x = 8
A2 8 hay A 2√2
- Do đó maxA = 2√2 ⇔ x-2 = 6-x hay x = 4 (tm ĐK)
0,25
0,25
0,25
b
0,75
Vì (x +√x2+2011)(y +√y2
+2011)=2011
Nên (x +√x2+2011)=2011
y +√y2+2011=√y2+2011− y
Tương tự : y +√y2+2011 = √x2+2011− x
Cộng vế theo vế: Ta có
x + y + √y2
+2011 + √x2+2011 = √y2+2011 + √x2+2011 -x-y
2(x +y) = 0 nên x + y = 0
0,25 0,25
0,25
1,0 Ta có Tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông
N M
E
D
B
A
Trang 4Mà AH2 = BH.CH( Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu) Nên AH2 = 4.9 = 36 Do đó AH = 6 nên DE = 6 (cm) 0,5 b)
1,5
Chứng minh được:
* M là trung điểm của BH nên DM = 1
2 BH = 2 cm
* N là trung điểm của HC nên EN = 1
2 HC = 4,5 cm
Nên tứ giác DENM là hình thang vuông có 2 đáy 2cm và 4,5cm và đường cao DE = 6cm
Do đó SDENM = 1
2 (DM +EN).DE =
1
2 (2+4,5).6 = 19,5(cm2)
0,5 0,5
0,5 5
1,5
0,25
Từ A vẽ AH BC
Vì AB < AC nên HB < HC
Do đó H nằm giữa B và M Nên sin β = AH
AM =
2 AH
BC ( Vì AM =
1
2 BC Theo t/c trung
tuyến trong tam giác vuông)
0,25 0,25
Mặt khác: (sin α+cos α¿2 = sin2 α + cos2 α + 2sin α cos α
= 1 + 2sin α cos α
Mà 2sin α cos α = 2 AB
BC .
AC
BC = 2
AH BC
BC❑2 =2 AH
BC
Do đó sin β = 2sin α cos α
Vì vậy (sin α+cos α¿2 = 1+ sin β
( Nếu học sinh sử dụng công thức nhân đôi trong lượng giác thì phải chứng minh được nó)
0,25 0,25 0,25
Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà đúng thì giám khảo nghiên cứu và cho điểm tương ứng
B
A