De HSG Toan 81011

Chứng minh được = 90 hay BH  CE b Chứng minh được tứ giác MNPQ là hình vuông MNPQ là HBH sau đó chứng minh là hình thoi và có thêm 1 góc vuông là HV..[r]

Trường THCS IaLy

Năm học 2010 - 2011

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I

Môn: TOÁN Lớp 8

Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)

BÀI 1 (2 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x33x22x

b) a x 21 x a 21

c) x2 x3 x4 x5  24

BÀI 2 (2 điểm):

a) Xác định số hữu tỉ a, b để đa thức x3ax b chia hết cho đa thức x2 x 2 b) Tìm số dư trong phép chia đa thức x17 x cho đa thức x 2 1

BÀI 3 ( 2 điểm):

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2

2

3 9 17

B

 



  b) Rút gọn phân thức sau: 2

2 1

 

BÀI 4 ( 2 điểm):

a) Cho

1 1 1

0

a b c   Chứng minh rằng 3 3 3

a b c abc

b) Tính giá trị của biểu thức sau

 

 

2 2

3 3

x y

x y

A







Biết xy  1

BÀI 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông

ABDE và ACGH Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của EH, EB, BC, CH Chứng minh rằng:

a) BH = CE, BH CE

b) Tứ giác MNPQ là hình vuông.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

BÀI 1(2điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x33x22x = x x 23x2 x x( 2 x 2x2)

 x x x  1 2x  1 x x 1 x2

b) a x 21  x a 21 ax2 a xa2 x ax2 xa2 x a  ax x a    x a .1

x a ax (  1)

c)x2 x3  x4 x5  24

x2 7x 10 x2 7x 10 2 24

(1) Đặt x27x10A

(1)  A(A +2) + 24 =A22A 24 A26A 4A 24 = A A( 6) 4( A6)=

(A 6) A 4

Thay lại ta có: (A6) A 4= x27x10 6  x27x10 4 

=x27x16 x27x6

=x27x16 x2 x 6x6

=

= x27x16x x 1 6x 1

=x27x16 x1 x6

BÀI 2 (2,5 điểm):

a) Tính giá trị của biểu thức sau

 

 

2 2

3 3

x y

x y

A







Biết xy  1

Ta có

 

 

2

2

3

3

x y

x y

A





2 ( 2 ) 4

3 x  y 3 xy

4 4

1 1 3

3 81



( Vì xy = 1) b)Xác định số hữu tỉ a, b để đa thức x3ax b chia hết cho đa thức x2 x 2

= (x3ax b ).(x2 x 2) + ( a + 3).x + (b - 2)

Để là phép chia hết thì a +3 = 0 và b - 2 = 0  a = -3 và b = 2

Vậy a = - 3 và b = 2 thì đa thức x3ax b chia hết cho đa thức x2 x 2

c)Tìm số dư trong phép chia đa thức x17 x cho đa thức x 2 1

Ta có x17 x = x - x + 2x = x (x - 1) + 2x

Mà x - 1 = ( x ) - 1 = (x - 1)[(x ) + (x ) + x + 1]

= ( x +1 ) (x - 1) [(x ) + (x ) + x + 1] chia hết cho x 2 1

Hay x (x - 1) chia hết cho x 2 1 suy ra x (x - 1) + 2x chia cho x 2 1 dư 2x vì bậc của 2x nhỏ hơn bậc x 2 1

Vậy x17 x chia cho x 2 1 dư 2x

BÀI 3( 2,5 điểm):

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

3 9 17

B

 



10 1

3x 9x 7

 

  Để B có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2

10

3x 9x7 có giá trị lớn nhất, khi và chỉ khi 3x+ 9x + 7 đạt giá trị nhỏ nhất 3(x + 3x + ) = 3 ( x + ) + 

Ta có 3x+ 9x + 7 đạt giá trị nhỏ nhất là khi x = - thì lúc đó B đạt giá trị lớn nhất Vậy giá trị lớn nhất của B là khi x = -

10 1

3x 9x 7

 

 

2

10 1

 

2 1

 

Th1: Khi x  thì 2

2 1

3 22 7

 

  = 2

x x

x x

 

x

x x





x

x x



1 7

x





Th2: x < thì 2

2 1

3 22 7

 

  = 2    



a) Cho

1 1 1

0

a b c   Chứng minh rằng 3 3 3

a b c abc

BÀI 4( 3 điểm): Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và

ACGH Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của EH, EB, BC, CH Chứng minh rằng:

c) Tứ giác MNPQ là hình vuông

I

O N

M

Q

P

G

H E

D

C B

A

Gọi O và I lần lượt là giao điểm của EC với AB và BH

Chứng minh được = 90 hay BH CE

b) Chứng minh được tứ giác MNPQ là hình vuông

MNPQ là HBH sau đó chứng minh là hình thoi và có thêm 1 góc vuông là HV