2 Xác định m để hàm số 1 có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1..
Trang 1ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2008-2009)
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y x= 4 − 2mx2 + −m 1 (1) , với m là tham số thực
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m= 1
2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình 2sin 2x+ 2 3 sin cosx x+ = 1 3 cos( x+ 3 sinx)
2) Giải phương trình log 2 2 log 4 logx + 2x = 2x 8
Câu III (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(x+ 1 1) −x2
Câu IV (1 điểm)
Trong không gian cho lăng trụ đứng ABC A B C. 1 1 1 có AB a AC= , = 2 ,a AA1= 2a 5 và n 120BAC= D Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Hãy chứng minh MB⊥MA1 và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A BM1 )
Câu V (1 điểm)
Xác định m để phương trình sau có đúng một nghiệm thực: 4 x4−13x m x+ + − =1 0 (m∈ \)
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1 Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d:2x y− + = 3 0
Câu VII.a (1 điểm)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 2x 51 18 (x 0)
x
⎛ + ⎞ >
Câu VIII.a (1 điểm)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1
1
x y x
+
=
− tại giao điểm của đồ thị với trục hoành
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A Biết A(− 1; 4 ,) (B 1; 4 − ) và đường thẳng BC đi qua điểm 2;1
2
M ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ Hãy tìm toạ độ đỉnh C
Câu VII.b (1 điểm)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của (x2 + 2)n, biết A n3 − 8C n2 +C1n = 49
( k
n
A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu VIII.b (1 điểm)
2
x x y
x
− + +
=
− Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của nó luôn là một hằng số
-Hết -
Trang 2
(2008-2009) (Đáp án- Thang điểm gồm 04 trang)
I
(2điểm)
1.(1 điểm) Khi m= 1 hàm số trở thành: y x= 4 − 2x2
• TXĐ: D=\
1
x
y x x x x
x
=
⎡
y CD = y( )0 = 0, y CT =y( )± = − 1 1 0.25
• Bảng biến thiên
x -∞ -1 0 1 +∞
y’ − 0 + 0 − 0 +
y +∞ 0 +∞
-1 -1
0.25
• Đồ thị
0.25
2
0
y x mx x x m
x m
=
⎡
⎣ Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔pt y' = 0 có ba nghiệm phân biệt và y'
• Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
(0; 1 ,) ( ; 2 1 ,) ( ; 2 1)
A m− B − m m− + −m C m m− + −m 0.25
2
S+ = y −y x −x =m m; AB=AC= m4 +m BC, = 2 m
0.25
3 2
1 2
.
2
ABC
m
m m m
AB AC BC
=
⎡
⎢ =
⎢⎣
+
0.25
II
(2điểm)
1)
2 3 sin 2 cos 2 3 cos 3 sin 1 sin 2 cos 2 3 cos sin
2
2
8 6 4 2
-2 -4 -6 -8
Trang 3x π x π π kπ x π kπ
0.25
2 (1 điểm) Điều kiện 0, 1, 1
2
x> x≠ x≠
0.25
• Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với
log x+ log 2x = log 2x⇔ log x+ 1 log x = 1 log x⇔ log x = 1 log x
⇔ log 2x= ⇔ = 1 x 2 0.25
III
(1 điểm) • Tập xác định: D=[− 1;1] ; ' 2
2
1
x D
x x y
x D x
= − ∈
⎡
⎢ = ∈
( )1 0, 1 3 3, ( )1 0
y − = y⎛ ⎞= y =
⎜ ⎟
[ 1;1 ] [ 1;1 ]
3 3
4
0.50
IV
(1 điểm)
( )2 ( )2
MA =A C +C M = a + a = a BC =AB +AC − AB AC D = a ;
BM =BC +CM = a + a = a A B = AA +AB = a +a = a
A B =MA +MB ⇒MB⊥MA
0.50
• Hình chóp MBAA1 và CABA1 có chung đáy là tam giác BAA1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau
Suy ra 1 1 1 1. 12 5.1 .2 sin120 3 15
a
V V= =V = AA S = a a a D =
+
1
3
1
1
15 6.
( ,( ))
MBA
a
d A A BM
S MB MA a a
V
1
x
x x m x x x m x
x x m x x
x x x m
− ≥
⎧⎪
⎪⎩
≤
⎧
⇔ ⎨
− − − = −
M
B
A1
B1
C1
Trang 4Yêu cầu bài toán ⇔ đường thẳng y= −m cắt phần đồ thị hàm số
( ) 4 3 6 2 9 1 f x = x − x − x− với x≤ 1 tại đúng một điểm 0.25 Xét hàm số f x( )= 4x3 − 6x2 − 9x− 1 với x≤ 1 Với x≤ 1 thì '( ) 2 1 12 12 9 0 2 f x = x − x− = ⇔ = −x 0.25 Bảng biến thiên: x −∞ 1
2 − 1
y’ + 0 −
y 3
2
−∞ − 12
Từ bảng biến thiên ta có:
Yêu cầu bài toán
⎡− = ⎡ = −
− < − >
VI.a
(1 điểm)
A Ox B Oy∈ ∈ ⇒ A a B b ABJJJG= −a b
0.25 Vectơ chỉ phương của d là uG=( )1; 2
Toạ độ trung điểm I của AB là ;
2 2
a b
A và Bđối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi
0
2
3 0 2
AB u
a
I d
− + =
⎧
JJJG G
Vậy A(− 4;0 ,) (B 0; 2 − )
0.50
VII.a
(1 điểm) Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của
18
5
1
2x x
⎝ ⎠ là ( )18 18 18 6
5
1
k
k
x
−
+
⎛ ⎞
Số hạng không chứa x ứng với k thoả mãn 18 6 0 15
5
k
k
− = ⇔ = Vậy số hạng cần tìm là 15 3
16 18 2 6528
VIII.a
(1 điểm)
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành là 1;0
2
A⎛− ⎞
⎝ ⎠
2
;
1
x
⎝ ⎠
• Pt tiếp tuyến của đồ thị tại 1;0
2
A⎛− ⎞
y= − ⎛x+ ⎞⇔ = −y x−
Trang 5VI.b
(1 điểm) Đt
BC đi qua B(1; 4 − ) và 2;1
2
M ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ nên có pt: 1 94
1
2
x− = y+
9x 2y 17 0
9 17
2
t
C BC∈ ⇒C t⎛ − ⎞ t∈
(2; 8 ;) 1;9 25
2
t
AB= − AC = +⎛t − ⎞
JJJG JJJG
Vì tam giác ABC vuông tại A nên
AB AC=
JJJG JJJG
Suy ra 1 4.9 25 0 3.
2
t
t+ − − = ⇔ =t
Vậy C( )3;5
0.50
VII.b
(1 điểm)
Điều kiện n≥ 4,n∈ `
Ta có: ( 2 ) 2
0
2 n n k k2n k
n k
x C x −
=
+ =∑ Hệ số của x8 là 4 2n 4
n
C −
0.50
A − C +C = ⇔ n− n− n− n− n n+ = ⇔n − n + n− =
⇔(n− 7) (n2 + 7)= ⇔ = 0 n 7
Vậy hệ số của x8 là 4 3
7 2 280
VIII.b
(1 điểm)
2
x x
− + +
− − Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho
( );
M x y ∈(C) 2 7
2
y x
x
⇔ = − + +
− Tiệm cận xiên: y= − + ⇔ + − =x 2 x y 2 0; Tiệm cận đứng: x= 2 0.50 Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là: 1 2 7
x y d
x
+ −
− Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d2 = −x 2
Ta có: 1. 2 7 2 7
x
− Suy ra điều phải chứng minh
0.50
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định
-Hết -
