DE 16 TOAN CO DAP ON THI DH 2012

Tìm tọa độ điểm M thuộc C, biết rằng tiếp tuyến của C tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I1; 1.. Giải phương trình:.[r]

TTBDVH KHAI TRÍ

ĐỀ SỐ 15

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM 2011

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = 1

x

x 

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1)

Câu II: (2,0 điểm)

cos cos

2 1 sin sin cos

x





2 Giải hệ phương trình:

2







Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: 1

ln

1 ln

e

x dx



Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường

thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 600 và AB = AA’ = a Gọi M, N, P lần lượt là trung

điểm của BB’, CC’, BC và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho BQ = 4

a

Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng (MAC) (NPQ)

Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện

3

1

Câu VI: (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD Điểm

M

1

(0; )

3 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B

có hoành độ dương

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :

1: 4

1 2

x t







 



  

2

  và d3:

Viết phương trình đường thẳng , biết  cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC

Câu VII: (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn :

2 2

và z z 2

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 15 – NĂM 2011

I-1

(1

điểm)

TXĐ : D = R\{1}

1 0



0,25

x f x x f x

     

nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x  f x x 

nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 0,25 Bảng biến thiên

1 +

-

1

-y

y'

x - 1 +

Hàm số nghịch biến trên ( ;1)và (1;)

Hàm số không có cực trị

0,25

Đồ thị :

Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng 0,25

(1

điểm)

Với x 0 1, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x

0 ;

0

0 1

x

x  ) có phương trình :

0 0 2

1

x

2 0

1

0

x

x y

0,25

(d) có vec – tơ chỉ phương 0 2

1

u

x

 





0 0

1

1

x



Để (d) vuông góc IM điều kiện là :

0

0

0

2

x

x









+ Với x0 = 0 ta có M(0,0)

II-1

(1

điểm)

Khi đó PT  1 sin 2x cosx1 2 1 sin  x sinxcosx

 1 sin x 1 cos xsinxsin cosx x 0

0,25

x x





2 2 2













 

0,25

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x 2 k2





và x  m2 k m , Z

II-2

(1

điểm)

Với x = 0 không nghiệm đúng phương trình

Với x 0, ta có:

2

2 2

2

1

4

1 4

y

x y

x y

x







0,25

Đặt

2 1 ,

y

x



+) Với v3,u1ta có hệ:

0,25

+) Với v5,u9ta có hệ:

2

1 9 5

x y



 , hệ này vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) (2;1), ( ; ) (5; 2).x y  x y  

0,25

III

(1

điểm)

Đặt t = 1 ln x có 2tdt =

1

dx x

x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2

0,25

2 2

2

1 ln

e

t





2 3

1

3

t t

3



(1

điểm)

Gọi I là trung điểm A’B’ thì

C I



suy ra góc giữa BC’ và mp(ABB’A’)

chính là góc C BI '

Suy ra C BI  ' 600

2

a

0,25

3 ' ' ' ' ' '

ABC A B C A B C

a

/ / '

NP BC

PQ C I







suy ra AMB B BI

Mặt khác theo chứng minh trên C’I AM nên AM  ( 'C BI)

Suy ra (AMC)  ( 'C BI) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (MAC) (NPQ)

0,25

V

(1

điểm)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a b2 2b c2 2c a2 2a b c2 2 2 4 0,25

Đặt x = ab, y = bc, z = ca ta cần chứng minh x2y2z2xyz4 với mọi x, y, z

không âm thỏa mãn: x + y + z = 3

Không làm mất tính tổng quát giả sử x  y; x  z thì x  1 ta có:

0,25

4

x

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

0,25

VI.-1

(1

điểm)

Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB, ta có :

' '

N I N

N I N







0,25

Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: 2 2

4.2 3.1 1

2



AC = 2 BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:

4

d x  x suy ra x = 5 suy ra BI = 5

0,25

Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính

5

Tọa độ B là nghiệm của hệ: 2 2

4x 3y – 1 0







B có hoành độ dương nên B( 1; -1)

0,25

VI -2

(1

điểm)

Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3

Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v) 0,25

A, B, C thẳng hàng và AB = BC  B là trung điểm của AC

( 1 5 ) 2





      



0,25

Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0

Đường thẳng  đi qua A, B, C có phương trình

2

VII

(1

điểm)

Gọi z = x + iy ta có

2

;

2

Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = 1