cach khac phuc bai toan chua sai lam

Chúng ta có thể khẳng định rằng, học sinh còn mắc nhiều sai lầm trong khi giải Sai lầm đợc cèl¹i th× sÏ gióp gi¸oxo¸ toán, nếu những sai lầm của học sinh đợc hệCủng thèng viªnbádÔ ph¸t h[r]

Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS

thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm

của học sinh khi giải toán

Tuy nhiên, thực tiễn ở các trờng phổ thông cho thấy chất lợng dạy học Toán còncha tốt, thể hiện ở năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh vi phạmnhiều sai lầm về kiến thức, phơng pháp toán học Trong đó, một trong những nguyênnhân quan trọng là giáo viên còn cha chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, tìm ranguyên nhân và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán để từ đó

có nhu cầu về nhận thức sai lầm, tìm ra nguyên nhân và những biện pháp hạn chế, sửachữa kịp thời các sai lầm này, nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh đồng thờinâng cao hiệu quả dạy học toán trong các trờng phổ thông

Với lí do đó, qua việc quản lý và giảng dạy, chúng tôi đề cập tới “Rèn luyện nănglực giải toán cho học sinh thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinhkhi giải toán”, nhằm nghiên cứu các sai lầm phổ biến của học sinh phổ thông khi giảitoán, đồng thời đề xuất các biện pháp s phạm để hạn chế và sửa chữa các sai lầm nhằmrèn luyện năng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môntoán ở trờng phổ thông

Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, G.Polia cho rằng: “Con ngờiphải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình, A.A.Stoliar phát biểu: “Không đợctiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”, còn theoJ.A.Komenxkee thì: “Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu

nh giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hớng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa,khắc phục sai lầm”

Nguyên tắc sửa chữa sai lầm cho học sinh khi giải toán thì cần phải tạo động cơhọc tập sửa chữa các sai lầm Học sinh thấy việc sửa chữa sai lầm là một nhu cầu và cầnphải tham gia nh một chủ thể một cách tự nguyện, say mê, hào hứng Tạo cho học sinh

có động cơ hoàn thiện tri thức Cần lấy hoạt động học tập của học sinh để làm cơ sở choquá trình lĩnh hội tri thức Hơn nữa các nguyên tắc phải tập trung vào phong trào hoạt

động, rèn luyện các kỹ năng học tập của học sinh

Việc sử dụng các biện pháp s phạm nhằm hạn chế và sửa chữa các sai lầm của họcsinh khi giải toán, giáo viên cần phải lu ý, có 3 phơng châm đó là: tính kịp thời, tínhchính xác và tính giáo dục

Ba phơng châm hỗ trợ, bổ sung cho nhau làm cho các biện pháp thực hiện đúngmục đích và kết quả.

2 Nội dung:

2.1 Những sai lầm thờng gặp trong giải toán đại số:

Khi xem xét các sai lầm của học sinh, có thể sắp xếp theo từng chủ đề kiến thứchoặc từ phơng diện hoạt động toán học Trong bài viết này, chúng tôi đề cập tới nhữngsai lầm chủ yếu của học sinh khi giải toán, theo một số chủ đề kiến thức tìm ra nguyênnhân và cách khắc phục sai lầm của học sinh

2.1.1 Sai lầm khi biến đổi biểu thức:

Những sai lầm khi biến đổi biểu thức thờng mắc khi sử dụng các đẳng thức khôngphải là hằng đẳng thức, đó là các “á hằng đẳng” đúng với điều kiện nào đó Đôi khi sailầm xuất hiện do hiểu nhầm công thức

Thí dụ 1: Rút gọn:

P =

(1 x)  (1  x)Lời giải sai lầm: ? Ta có: P = 1 + x + 1 – x = 2

Phân tích sai lầm: ! Nhớ rằng: a2 = a với a ≥ 0 Do đó phải sử dụng hằng đẳng

( 1) 2    ( 1)   2( 1)    1 1  2 Chứng tỏ kết quả rút gọn trên là sai ! Vì sao? HS

nên nhớ rằng chi có a b  a b2 nếu a ≥ 0 Lời giải trên chỉ đúng khi x ≥ 0

2.1.2 Sai lầm khi giải phơng trình, bất phơng trình:

Những sai lầm khi giải phơng trình thờng mắc khi HS vi phạm quy tắc biến đổiphơng trình, bất phơng trình tơng đơng Đặt thừa hay thiếu các điều kiện đều dẫn đếnnhững sai lầm, thậm chí sai đến mức không giải đợc nữa! Một số sai lầm còn do hậu quảcủa việc biến đổi công thức không đúng, nh đã chỉ ra ở mục 2.1

Thí dụ 2: Giải phơng trình:

P =

x x

x x

! Có thể chỉ ra với x = 1 thì cả hai căn thức đều có nghĩa và x = 1 chính là nghiệmcủa phơng trình HS đã sai khi giải bất phơng trình (x – 1)2(x + 2) ≤ 0  x + 2 ≤ 0

x x

ở lời giải trên thiếu x = -1 và đó chính là nghiệm duy nhất của phơng trình HS đã

quên rằng

0 0

A B A

A Bconghia A

x x x

x x

Với x ≥ 1 làm nh lời giải trên

Nếu a ≠ 5 thì x =

15

5 aNếu a = 5 thì phơng trình vô nghiệm

! Sai lầm của học sinh không để ý x =

15

5 a khi nào không là nghiệm của phơng

trình Vì nghiệm phải thoả mãn x ≠ 2 nên khi

15

5 a = 2  a =

5 2

 thì phơng trình vônghiệm Lời giải phải bổ sung điều này và kết luận đúng là:

Nếu

5 5 2

a a

a a

? Điều kiện: x ≥ 3 Ta có:

(*) x 3 16 2   x  x – 3 = 256 – 64x + 4x2

 4x2 – 65x + 259 = 0 

7 37 4

x x

! Sai lầm khi viết x 3 16 2   x  x – 3 = 256 – 64x + 4x2

Cần lu ý HS rằng:

2 0

0 0

ab

a b ab

2.1.3: Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức:

Các sai lầm thờng bắt nguồn từ việc vận dụng các bất đẳng thức cổ điển mà không

để ý tới điều kiện để bất đẳng thức đúng, hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi

từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia

x x

đẳng thức xảy ra 

1

x x

Lời giải đúng: Xét x + 1

x − 2 =

(x −1)2x (x −1)2

x ≥ 0 ⇔ x > 0 ⇔ x + 1

x ≥ 2 (x −1)2

a a 



0 4

a  a 



2 1 0 2

a

  hiển nhiên đúng với mọi a

Thí dụ 3: Chứng minh rằng nếu:

a + b + c > 0 (1)

ab + bc + ca > 0 (2)

abc > 0 (3)thì a > 0; b > 0; c > 0

? Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên ta chỉ cần chứng minh a > 0

Giả sử a < 0 thì từ (3)  bc < 0

Từ (2)  a(b + c) > -bc > 0  b + c < 0

Từ a < 0, b + c < 0  a + b + c < 0 mâu thuẫn với (1) Do đó a > 0.

! Khi phủ định a > 0 để thực hiện phép chứng minh phản chứng thì phải biết xét a

≤ 0 Lời giải trên thiếu trờng hợp a = 0

2.1.4 Sai lầm khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Những sai lầm khi tìm giá trị lớn nhât và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay của biểuthức nhiều ẩn thờng do vi phạm quy tắc suy luận lôgíc:

“Nếu f(x) ≥ m (m hằng số), với mọi x  A và tồn tại x0  A sao cho f(x0) = m thìgiá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền A là m” (có quy tắc tơng tự cho giá trị lớn nhất củaf(x)

Đối chiếu với biểu thức nhiều ẩn cũng có quy tắc tơng tự

Thí dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

F (x, y) = (x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 2)2

? với mọi x, y  R thì:

(x + y)2 ≥ 0(x + 1)2 ≥ 0(y – 2)2 ≥ 0Vậy F (x, y) ≥ 0 x, y  R

Từ đó suy ra minF(x,y) = 0

! Sai lầm của lời giải là không chỉ ra các giá trị của x, y để F(x, y) = 0 Nhớ rằng:F(x, y) ≥ 0 x, y  R và nếu tồn tại x0, y0 sao cho F(x, y) = 0 thì mới kết luận đợcminF(x;y) = 0 Đối với bài toán này, không tồn tại x0; y0 để F(x0;y0) = 0

y 

Thí dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

f(x) =

2 2

 thì

Do đó min f(x) = 2  t 1

! Sai lầm là chuyển bài toán không tơng đơng Giá trị nhỏ nhất của f(x) khôngtrùng với giá trị nhỏ nhất của g(t) với t thuộc R Có thể thấy ngay với t =1 thì không tồntại x và thực ra sai lầm ở lời giải này lại trở về sai lầm ở thí dụ 1 vì không có giá trị của x

để (x) = 2

Thí dụ 3 : Tính giá trị nhỏ nhất của:

f(x) =

1 3

x x

Thấy ngay không có giá trị của x thoả mãn vì x   3 3  x 32   9 1

Vậy f(x) không có giá trị nhỏ nhất

! Không có giá trị của x để f(x) = -1 thì chỉ suy ra đợc giá trị min f(x) > -1 và lờigiải trên không đi đến đợc min f(x)

Thí dụ 4: Cho x, y là các số nguyên dơng, thoả mãn: x + y = 2011.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x(x2 + y) + y(y2 + x)

Giá trị nhỏ nhất của P là 20112.2013

4

! Dấu bằng ở bất đẳng thức (*) không xảy ra do điều kiện x, y nguyên dơng nêndấu bằng ở bất đẳng thức (**) không xảy ra

2.1.5 Sai lầm khi giải bài toán phơng trình bậc hai.

Khi giải toán về phơng trình bậc hai, các sai lầm xuất hiện do không chú ý đếngiả thiết của các định lý mà đã vội vàng áp dụng hoặc là lạm dụng suy diễn những mệnh

đề không đúng hoặc xét thiếu các trờng hợp cần biện luận

Thí dụ 1: Tìm m để phơng trình:

(m – 1)x2 + (2m -1)x + m + 5 = 0

Có hai nghiệm phân biệt?

? Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi:

 > 0  (2m – 1)2 – 4(m- 1)(m + 5) > 0

 -20m + 21 > 0  m <

21 20

F không có giá trị lớn nhất vì F là hàm bậc hai với hệ số m2 là a = 1 > 0

! Lời giải không đặt điều kiện để tồn tại x và y Do đó đã xét với mọi m thuộc R

2.2 Phân tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của học sinh trung học cơ sở khi giải toán

2.2.1 Nguyên nhân 1: Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán học.

Chúng ta biết rằng: Khái niệm là một trong các sản phẩm của t duy toán học Mỗikhái niệm đều có nội hàm và ngoại diện Tập hợp các dấu hiệu đặc trng cho bản chất của

các đối tợng đợc phản ánh trong khái niệm chính là nội hàm của khái niệm Tập hợp các

đối tợng có chứa các dấu hiệu trên chính là ngoại diên của khái niệm Việc không nắmvững nội hàm và ngoại diên của một khái niệm sẽ dẫn HS tới sự hiểu không trọn vẹn,thậm chí sai lệch bản chất khái niệm Từ đó các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện Mặtkhác nhiều khái niệm trong toán học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm có trớc

đó Việc HS không nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc không hiểu và không thể cóbiểu tợng về khái niệm khác

Nhiều khi ngời ta hay nói tới sự “mất gốc” của HS về kiến thức thì trớc hết cầnhiểu rằng: đó là sự “mất gốc” về các khái niệm

Nh vậy qua các dẫn chứng cụ thể trên chúng ta có thể thấy từ việc không nắmvững các thuộc tính của khái niệm, học sinh có thể bị dẫn tới các sai lầm trong lời giải

Chúng tôi xin lu ý tới nguyên nhân này vì nếu giáo viên không có các biện pháp kịp thời thì chính từ đó sẽ gây ra hậu quả lớn cho học sinh, thể hiện qua sơ đồ sau (sơ đồ

1):

2.2.2 Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lí.

Định lí là một mệnh đề đã đợc khẳng định đúng Cấu trúc thông thờng của định lí

có dạng A  B Trong cấu trúc của định lí A  B thì A là giả thiết của định lí và chochúng ta biết phạm vi sử dụng đợc định lí Ngời ta còn nói A là điều kiện đủ để có B.Nhng khá nhiều học sinh lại không nắm vững hoặc coi thờng giả thiết A nên dẫn tới sailầm khi giải toán

Khi học định lí Viét thuận, nhiều học sinh chỉ nhớ tổng và tích hai nghiệm là baonhiêu, chứ không để ý tới giả thiết của định lí là phơng trình phải là phơng trình bậc hai

có nghiệm (a    0, 0) do đó học sinh sẽ mắc sai lầm khi áp dụng định lí này

Vẽ hình saiKhông nắm vững

ngoại diên

Diễn đạt sai

Học sinh Không phát Không phân tíchhiện Giáo viên

Không củng cố Không phân loại

Khi học về bất đẳng thức Cauchy, học sinh không để ý tới giả thiết chỉ áp dụngbất đẳng thức cho các số không âm nên khi gặp bài toán so sánh x + 1/x với 2 số đã ápdụng ngay để có kết luận sai lầm x + 1/x > 2 với x ≠ 1 và x + 1/x = 2 với x = 1.(?)

Tóm lại việc không nắm vững cấu trúc logic của định lí sẽ dẫn học sinh tới nhiềusai lầm trong khi học toán và giải toán Chúng tôi xin lu ý bởi sơ đồ sau (sơ đồ 2):

2.2.3 Nguyên nhân 3: Thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic:

Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán – một trong các hìnhthức của t duy Hoạt động suy luận khi giải toán dựa trên cơ sở của lôgic học Học sinhthiếu các kiến thức cần thiết về lôgic sẽ mắc sai lầm trong suy luận và từ đó dẫn đến cácsai lầm khi giải toán

Ngay việc sử dụng từ nối “và”, “hoặc” vẫn là điều khó khăn của rất nhiều họcsinh Lẽ ra cần khẳng định: tam giác cân hoặc vuông thì lại khẳng định tam giác là tamgiác vuông cân Khi biến đổi phơng trình tích AB = 0, học sinh vẫn viết A = 0 và B = 0

Không nắm đợc phép phủ định học sinh rất khó khăn khi dùng phơng pháp chứngminh phản chứng Việc “phủ định không hoàn toàn” sẽ dẫn tới sai lầm trong lời giải phủ

định a > 0 là a < 0 gây cho lời giải thiếu trờng hợp a = 0

Trong SGK thì các phép chứng minh đợc trình bày theo phơng pháp tổng hợp màkhông qua phơng pháp phân tích để dẫn tới cách chứng minh trong khi đó thì giáo viênlại không thể hiện dới dạng tờng minh các kiến thức về quy luật, quy tắc, phơng phápsuy luận đã đợc sử dụng

2.2.4 Nguyên nhân 4: học sinh không nắm vững phơng pháp giải các bài toán cơ bản:

Học sinh không nắm vững phơng pháp giải các bài toán cơ bản thì dẫn tới sai lầmtrong lời giải

có B

Sử dụng

định lí cha

đúng

Sử dụng

B mà không

có A

Có B suy ra

có A

Có A nhng suy ra không phải B

Lời giải sai

Không nắm vững phơng pháp giải học sinh không nghĩ ra đợc đủ các khả năngcần xét và dẫn tới đặt điều kiện sai.

Không nắm vững phơng pháp giải, học sinh sẽ biện luận không đủ các trờng hợpxảy ra của bài toán

2.3 Bốn biện pháp s phạm chủ yếu nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm cho học sinh.

2.3.1 Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ chính xác các kiến thức về bộ môn Toán:

* Tình huống 1: Dạy toán học nh thế nào để tránh sai lầm cho học sinh khi giải

ở đây cũng cần lu ý phân biệt việc cha hiểu hết với hiểu sai Có những khái niệmkhó, học sinh không hiểu hết các thuộc tính ngay một lúc mà phải qua các hoạt độngnhận dạng và thể hiện mới đi tới sự trọn vẹn Chính việc cha hiểu hết các thuộc tính củakhái niệm sẽ rất dễ dẫn đến hiểu sai khái niệm Do đó có những sai lầm của học sinhphải làm cho học sinh hiểu hết các thuộc tính của khái niệm thì mới mong học sinh hếthiểu sai Ví dụ: Khái niệm hàm số, học sinh cần phải hiểu rõ ba thuộc tính của kháiniệm đó là:

+ Tập X, Y là các tập hợp số

+ Mỗi giá trị của x đều có giá trị y tơng ứng

+ Giá trị tơng ứng y là duy nhất

* Tình huống 2: Dạy các định lí toán học nh thế nào để học sinh tránh sai lầm khi

định lí Nhng chúng tôi xin lu ý thêm: A cho biết dùng định lí khi nào và B cho biết sẽkết luận, suy ra đợc gì khi có A

Dạy định lí toán học có thể đợc thực hiện theo hai con đờng, con đờng suy diễn vàcon đờng có khâu suy đoán

Nhằm hạn chế và đề phòng các sai lầm của học sinh khi giải toán chúng tôi thấycần thiết phải phân tích rõ giả thiết của định lí Học sinh nhiều khi không quan tâm tớigiả thiết định lí mà chỉ quan tâm tới kết luận của định lí nên dẫn tới sai lầm

Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm x1, x2 thì tổng và tíchcác nghiệm của nó là:

Trớc khi dùng định lí này phải kiểm trahoặc đặt điều kiện để bài toán thoả mãn đồng thời hai điều kiện của giả thiết Học sinhrất hay quên điều kiện a ≠ 0 Nhiều học sinh vẫn tính tổng và tích các nghiệm của phơngtrình x2 – x + 1 = 0 mặc dù phơng trình này vô nghiệm.

Giáo viên cần tạo ra những thí dụ mà các điều kiện của giả thiết cha thoả mãn hoàn toàn để học sinh thấy rằng mọi điều kiện của giả thiết là không thể thiếu đ -

ợc

Giáo viên cũng cần nêu ra ở thí dụ để thuyết phục chứ không chỉ dừng lại ở việcnhắc nhở Các thí dụ, mà đặc biệt các phản thí dụ bao giờ cũng tạo ấn tợng đối với họcsinh

Ví dụ: x nếu x ≥ 0

- x nếu x < 0

ở đây |x| = -x khi x < 0 ( nhng khi x = 0 thì |x| = - x) Điều này chứng tỏ

x < 0 chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để tránh sai lầm cho học sinh

Khi dạy một định lí cần chỉ ra cho học sinh các hớng dẫn ứng dụng của định lí đểtạo ra sự nhạy cảm của học sinh khi đứng trớc một bài toán biết nghĩ tới việc vận dụng

định lí nào

Điều đặc biệt cần lu ý là khi dạy định lí toán học cho học sinh là giáo viên cầncho học sinh thấy rõ phơng pháp phân tích chứng minh định lí Chính biện pháp nàygiúp cho học sinh dễ đi tới chứng minh đúng trong giải toán sau này

* Tình huống 3 Cung cấp các kiến thức về lôgic nh thế nào để học sinh tránh sai

lầm khi giải toán?

Theo thực nghiệm của chúng tôi, việc đa các ví dụ theo ngôn ngữ tự nhiên cần đitrớc các thí dụ theo ngôn ngữ toán học Đây chính là con đờng đi từ “trực quan sinh

động” đến “t duy trừu tợng” của nhận thức Chẳng hạn có thể nêu mệnh đề A = Trờinắng ; B = Đội mũ thì thông thờng học sinh đợc nhắc nhở “Nếu trời nắng thì đội mũ”nên học sinh dễ hình dung ra ý nghĩa của phép kéo theo A  B

A là đủ để có B nhng lu ý là nhiều học sinh vẫn đội mũ khi trời không nắng, nghĩa

là A cha phải là điều kiện cần để có B

Đặc biêt, nếu A  B là đúng thì đây là một ví dụ để nhấn mạnh mệnh đề đảo B

 A không đúng, học sinh có thể thấy ngay việc mình đội mũ không làm cho trời nắng

Chẳng hạn, nếu A = số tự nhiên có tận cùng là 0 ; B = số tự nhiên có tận cùng

là 5 ; C = số tự nhiên chia hết cho 5 thì ta có A B  C