Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)

Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)Về Mođun Cohen Macaulay dãy (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU

VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY DÃY

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU

VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY DÃY

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 604 601 04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi xin cam đoanmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và cácthông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Thu

Tôi xin cảm ơn Phòng Sau đại học - Đại học sư phạm Thái nguyên

đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành sớm khóa học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô ở Đại học TháiNguyên và các thầy ở Viện toán với những bài giảng đầy nhiệt thành

và tâm huyết, xin cảm ơn các thầy cô đã luôn quan tâm và giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập, tạo điều kiện cho tôi tham gia các buổixemina và các lớp học ngoài chương trình

Tôi xin cảm ơn tất cả các anh em bạn bè nghiên cứu sinh đã độngviên giúp đỡ tôi nhiệt tình trong quá trình học và làm luận văn

Tôi xin được gửi cảm ơn tới tất cả thành viên trong gia đình đãtạo điều kiện cho tôi được học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Mục lục

Lời nói đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Chiều Krull của vành và môđun 4

1.2 Hệ tham số và bội 6

1.3 Đồng điều Koszul và đối đồng điều địa phương 7

1.4 Môđun Cohen-Macaulay 10

2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 13 2.1 Lọc chiều và hệ tham số tốt 13

2.2 Tính chất của môđun Cohen-Macaulay dãy 22

2.3 Đặc trưng tham số 29

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

Lời nói đầu

Luận văn trình bày về môđun Cohen-Macaulay dãy và sử dụngtài liệu tham khảo chính là bài báo [5]: N T Cường and D T Cuong(2007), "On Sequentialy Cohen-Macaulay Modules", Kodal Math J., 30,409-428 Nội dung của luận văn bao gồm: Định nghĩa và các tính chất

cơ bản của lọc chiều, hệ tham số tốt; định nghĩa và tính chất cơ bản củamôđun Cohen-Macaulay dãy, đặc trưng của lớp môđun này với đầy đủchứng minh

Khái niệm về môđun Cohen-Macaulay dãy được giới thiệu đầutiên bởi Stanley trong [11] cho vành phân bậc Tương tự, các tác giả haibài báo [6] và [9] định nghĩa Môđun Cohen-Macaulay dãy trên vành địaphương Cho M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương

R với dim M = d Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay dãynếu tồn tại một lọc các môđun con của M

D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = Msao cho mỗi môđun Di/Di−1 là Cohen-Macaulay và

0 < dim D1/D0 < dim D2/D1 < < dim Dt/Dt−1 = d

Khi đó lọc D ở trên được gọi là lọc Cohen-Macaulay Lọc này xác địnhduy nhất và trùng với lọc chiều của M ([6], Bổ đề 4.4 (ii)) Lọc chiềucủa M được định nghĩa như sau: Một lọc D của M được gọi là lọc chiềunếu thỏa mãn hai tính chất: D0 = Hm0(M ) (đối đồng điều địa phươngthứ 0 của M ứng với giá iđêan cực đại m) và Di−1 là môđun con lớnnhất của Di thỏa mãn dim Di−1 < dim Di với mọi i = t, t − 1, , 1 ([5],Định nghĩa 2.1)

Nếu t = 1, khi đó M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉnếu `R(D0) < ∞ và D1/D0 là Cohen-Macaulay Theo lý thuyết về bội thì

trong trường hợp này M là Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu tồn tại hệtham số tốt x = (x1, , xd) của M sao cho `(M/xM ) = `R(D0)+e(x; D1).Trong đó hệ tham số tốt x = (x1, , xd) của M được định nghĩa là hệtham số tốt ứng với lọc chiều

D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = Mcủa M , tức là Di ∩ (xdi+1, , xd)M = 0, với mọi i = 0, 1, , t − 1 ([5],Định nghĩa 2.2) Ta biết rằng với môđun N hữu hạn sinh trên mộtvành Noether địa phương, y là một hệ tham số của N thì N là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu `(N/yN ) = e(y; N ) ([3], Định lý 4.7.10) Đốivới môđun Cohen-Macaulay dãy trong [4] đã chỉ ra rằng nếu M là môđunCohen-Macaulay dãy thì `(M/xM ) = Pti=0e(x1, , xdi; Di) Câu hỏi đặt

ra rằng các khẳng định sau có đúng không

1) M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu với mọi hệtham số tốt x = (x1, , xd) của M thì `(M/xM ) =Pt

i=0e(x1, , xdi; Di)với mọi i = 0, , t, với d = dim M và di = dim(Di)

2) M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu với một hệtham số tốt x = (x1, , xd) của M thì `(M/xM ) =Pt

i=0e(x1, , xdi; Di)với mọi i = 0, , t, với d = dim M và di = dim(Di)

Bài báo [5] đã chứng minh được khẳng định thứ nhất là đúng (xemĐịnh lý 2.3.2), khẳng định thứ hai nói chung không đúng (xem Ví dụ2.3.7)

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1: Chương này nhắc lại một số kiến thức được dùng trongchương tiếp theo: Chiều Krull của vành và môđun, hệ tham số và bội,phức Koszul và đồng điều Koszul, môđun Cohen-Macaulay

Chương 2: Chương này gồm ba phần Phần một nói về lọc chiều

và hệ tham số tốt Phần hai trình bày tính chất của môđun

Cohen-Macaulay dãy, dd-dãy và chứng minh đặc trưng thứ nhất của môđunCohen-Macaulay dãy Phần ba đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi đượcđặt ra ở trên (Định lý 2.3.2 và Định lý 2.3.3).

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Chiều Krull của vành và môđun

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành giao hoán

(i) Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của R

P0 ! P1 ! ! Pnđược gọi là một xích nguyên tố độ dài n

(ii) Cho P là một iđêan nguyên tố của R Cận trên của tất cả các độdài của xích nguyên tố với P0 = P được gọi là độ cao của P , kí hiệu làht(P ) Nghĩa là:

ht(P ) = sup{độ dài của các xích nguyên tố với P0 = P }

Cho I là iđêan của R, ta định nghĩa độ cao của iđêan I là

ht(I) = inf{ht(P )|P ∈ Spec(R), P ⊇ I}

(iii) Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố trong R được gọi

là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R Ta có

dim R = sup{ht(P )|P ∈ Spec(R)}

Cho M là R-môđun Khi đó dim R/ AnnRM được gọi là chiều Krull củamôđun M , kí hiệu là dim M Như vậy dim M 6 dim R.

Bổ đề 1.1.2 Cho R là vành giao hoán Noether, M là R-môđun hữuhạn sinh Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

i=1aixi Nếu a1 = b1 trong R/ AnnR(M ) thì aixi = bixivới mọi i = 1, , n Suy ra Pn

i=1aixi = Pn

i=1bixi nên φ là ánh xạ

Dễ kiểm tra được φ là đồng cấu và là toàn cấu Vậy ta có đẳng cấu(R/ AnnRM )n/ Ker φ ∼= M , mà từ giả thiết suy ra (R/ AnnRM )n/ Ker φ

là vành Artin, từ đó suy ra M là môđun Artin

Thêm điều kiện (R, m) là vành địa phương ta chứng minh (iii) ⇔(iv)

AnnRM = m

1.2 Hệ tham số và bội

Định nghĩa 1.2.1 Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là môđun hữu hạn sinh với dim M = d và x = (x1, , xs) là hệ s phần tửtrong m Ta nói x là hệ bội của M nếu `(M/xM ) < ∞ Khi s = d ta gọi

dim M/(x1, , xr)M > dim M − r

Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x1, , xr là một phần của một hệ tham

số của M

Bổ đề 1.2.4 Phần tử x ∈ m là phần tử tham số của M nếu và chỉ nếu

x /∈ P với mọi P ∈ AssRM sao cho dim(R/P ) = d

Bổ đề 1.2.5 ([3], Bổ đề 4.7.1) Cho (R, m) là vành Noether địa phương,

x là dãy các phần tử trong m và 0 → M0 → M → M00 → 0 là dãy khớp

ngắn giữa các R-môđun hữu hạn sinh Khi đó x là hệ bội của M nếu vàchỉ nếu x là hệ bội của M0 và M00.

Bổ đề trên cho ta hệ quả trực tiếp sau

Hệ quả 1.2.6 ([3], Hệ quả 4.7.2) Cho (R, m) là vành Noether địaphương, M là R-môđun hữu hạn sinh và x = (x1, , xs) là hệ bội của

M Khi đó x0 = (x2, , xs) là hệ bội của M/x1M và 0 :M x1

Từ hệ quả này ta định nghĩa bội bằng quy nạp

Định nghĩa 1.2.7 ([3], Định nghĩa 4.7.3) Cho (R, m) là vành Noetherđịa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh và x = (x1, , xs) là hệ bội của

M Khi đó kí hiệu bội e(x; M ) của M đối với hệ bội x được định nghĩaquy nạp như sau Nếu s = 0 thì `(M ) < ∞ nên đặt e(x, M ) = `(M );nếu s > 0 thì đặt e(x, M ) = e(x0; M/x1M ) − e(x0; 0 :M x1), trong đó

x0 = (x2, , xs)

Định lý 4.7.4 và Định lý 4.7.6 trong [3] đã chỉ ra rằng nếu x là hệtham số của M và I là iđêan sinh bởi x thì các số bội e(x; M ), e(I; M ) vàđặc trưng Euler-Poincare’ χ(x; M ) là như nhau Khi đó ta gọi e(x; M )

là bội Serre của M đối với hệ bội x

1.3 Đồng điều Koszul và đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.3.1 Cho vành R, K• và L• là các phức các R môđun

K• : → Kp+1 −−→ Kdp+1 p −d→ Kp p−1 −−→ dp−1

L• : → Lp+1 d

0 p+1

−−→ Lp d

0 p

−→ Lp−1 d

0 p−1

−−→

Tích tenxơ K• ⊗R L• là phức

→ (K ⊗ L)n+1 d

∗ n+1

−−→ (K ⊗ L)n d

∗ n

−→ (K ⊗ L)n−1 d

∗ n−1

−−→

được định nghĩa như sau

(K ⊗ L)n := ⊕p+q=nKp⊗R Lq,

vi phân d∗ cho bởi

d∗n(x ⊗ y) = dp(x) ⊗ y + (−1)px ⊗ d0q(y),trong đó x ∈ Kp và y ∈ Lq Vì ta có các đẳng cấu giữa các phức:

K• ⊗ L• ∼= L• ⊗ K• cho bởi x ⊗ y 7→ (−1)pqy ⊗ x với x ∈ Kp, y ∈ Lq vàđẳng cấu (K•⊗L•)⊗P• ∼= K

•⊗(L•⊗P•) cho bởi (x⊗y)⊗z 7→ x⊗(y ⊗z)nên phép toán tích tenxơ giữa các phức có tính chất giao hoán và kếthợp

Định nghĩa 1.3.2 Cho vành R và x = (x1, , xn) là bộ các phần tửtrong R, ta định nghĩa phức K•(x1, , xn) hoặc K•(x) như sau: K0 = R,

Kp := 0 nếu p nguyên không thuộc [0, n], với 1 6 p 6 n thì đặt Kp :=

⊕Rei1 ip là R-môđun tự do hạng np
với cơ sở {ei1 ip|1 6 i1 < < ip 6n} Vi phân dp : Kp → Kp−1cho bởi dp(ei1 ip) =Pp

r=1(−1)r+1xirei

1 b ir ip.(Với p = 1, đặt d1(ei) = xi) Dễ kiểm tra được rằng dp−1dp = 0 Phứcnày được gọi là phức Koszul

Đặc biệt khi n = 1 phức K•(x) là 0 → R −→ R → 0, và kiểm traxđược rằng K•(x1, , xn) = K•(x1) ⊗ ⊗ K•(xn), vì thế phức Koszul làxác định (sai khác đẳng cấu) với mọi hoán vị của x1, , xn

Mỗi R-môđun M ta đồng nhất với phức → 0 → M → 0

Ta đặt K•(x, M ) := K•(x) ⊗R M và với phức C• các R-môđun tađặt C•(x) := C• ⊗ K•(x) Phức Koszul K•(x, M ) có các đồng điều

R-môđun Khi đó ta có dãy khớp giữa các phức

0 → K•(x, M0) → K•(x, M ) → K•(x, M00) → 0

Từ đó ta có dãy khớp dài đồng điều

→ Hp(x, M0) → Hp(x, M ) → Hp(x, M00) → Hp−1(x, M0) → Định nghĩa 1.3.5 Cho I là iđêan của vành R Với mỗi R−môđun M ,đặt ΓI(M ) = S∞

n=0(0 :M In) Ta có ΓI(M ) là một môđun con của M vàmỗi R−đồng cấu f : M → N ta có f (ΓI(M )) ⊆ ΓI(N ) Vì thế có mộtR-đồng cấu ΓI(f ) : ΓI(M ) → ΓI(N ) xác định bởi ΓI(f )(x) = f (x) vớimỗi x ∈ ΓI(M ) Khi đó ΓI là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái trênphạm trù các R−môđun Hàm tử ΓI được gọi là hàm tử I-xoắn

Mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn

kí hiệu là HIi và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứngvới giá iđêan I

Với một R-môđun M , ảnh của M qua hàm tử HIi kí hiệu là HIi(M )

và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với giáiđêan I

Chú ý 1.3.6 (i) Từ định nghĩa trên ta có thể xác định HIi(M ) như sau.Lấy giải nội xạ của M

0 → M −→ Eα 0 d−→ E0 1 d−→ 1 −−→ Edi−1 i d−→ iTác động hàm tử ΓI vào ta được đối phức

HIi(M ) = Ker ΓI(d

i)

Im ΓI(di−1).(ii) HIi(M ) không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của M

(iii) HI0(M ) ∼= ΓI(M )

(iv) Nếu M là nội xạ thì HIi(M ) = 0 với mọi i > 0

Mệnh đề 1.3.7 Cho I là iđêan của vành R và dãy khớp ngắn cácR-môđun

(ii) Cho I là một iđêan của vành R Một dãy các phần tử a1, , an ∈ Iđược gọi là dãy chính quy cực đại của M nếu không tồn tại b ∈ I để

a1, , an, b là dãy chính quy của M

Chú ý 1.4.2 (i) Với n = 1 ta có định nghĩa phần tử chính quy Phần

tử a ∈ R là phần tử chính quy của M nếu aM 6= M và ax 6= 0 với mọi

x 6= 0 trong M

Nếu (R, m) là vành địa phương thì ta có những điều sau

(ii) Nếu a1, , an ∈ m thì điều kiện (a1, , an)M 6= M trong định nghĩadãy chính quy có thể bỏ đi

(iii) Phần tử a ∈ m là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi a /∈ Pvới mọi P ∈ AssRM

(iv) Mọi hoán vị của của dãy M -chính quy cũng là M -chính quy

Mệnh đề 1.4.3 Cho I là một iđêan của vành Noether R, khi đó độ dàicủa hai dãy M -chính quy cực đại trong I là bằng nhau

Định nghĩa 1.4.4 Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là mộtiđêan của R Độ dài của một dãy M -chính quy cực đại trong I được gọi

là độ sâu của của M đối với iđêan I, kí hiệu là depthIM Đặc biệt khi

I = m thì depthmM được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M

Độ sâu của một môđun có thể đặc trưng qua đối đồng điều địaphương

Định lý 1.4.5 Cho I là iđêan của vành Noether địa phương R và M làR-môđun hữu hạn sinh Khi đó các điều sau là tương tương

(i) depthIM = t

(ii) HIi(M ) = 0 với mọi i < t và HIt(M ) 6= 0

Chú ý 1.4.6 Theo Bổ đề 1.2.4 và Chú ý 1.4.2 (iii) thì nếu a1, , an là

M -dãy chính quy thì nó cũng là một phần của hệ tham số của M , do

đó depth M 6 dim M

Định nghĩa 1.4.7 Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và M

là R-môđun hữu hạn sinh M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

a) `(M/(x1, , xn)M ) > e(x, M)

b) Các điều sau tương đương

(i) M là môđun Cohen-Macaulay

(ii) `(M/(x1, , xn)M ) = e(x, M )

(iii) Hmi (M ) = 0 với mọi i < n

(iv) Hi(x, M ) = 0 với mọi i > 0

(v) H1(x, M ) = 0

Ngoài kiến thức chuẩn bị trên, luận văn cần chuẩn bị một số bổ

đề, mệnh đề và định lý sau

Bổ đề 1.4.9 Cho R là vành Noether và M là R-môđun, N là môđuncon của M Nếu N là môđun con P -nguyên sơ của M thì

(i) Sn>0N :M In = M với mọi I ⊆ P

(ii) Sn>0N :M In = N với mọi I * P

Định lý 1.4.10 (Định lý giao Krull) Nếu M là môđun hữu hạn sinhtrên vành Noether R và iđêan I ⊆ J (R) với J (R) là căn Jacobson của

(i) Hi(x, M ) = 0 với mọi i > 0

(ii) x là M -dãy chính quy

Định nghĩa 2.1.1 (i) Ta nói rằng một lọc hữu hạn các môđun con củaM

F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = Mthỏa mãn điều kiện chiều nếu dim Mi−1 < dim Mi với mọi i = 1, 2, , t.(ii) Một lọc thỏa mãn điều kiện chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M đượcgọi là lọc chiều của M nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn

a, D0 = Hm0(M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ 0 của M ứngvới giá iđêan cực đại m

b, Di−1 là môđun con lớn nhất của Di với mọi i = t, t − 1, , 1

Định nghĩa 2.1.2 Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M là một lọc thỏamãn điều kiện chiều và di = dim Mi Một hệ tham số x = (x1, , xd) đượcgọi là một hệ tham số tốt ứng với lọc F nếu Mi ∩ (xdi+1, , xd)M = 0,với mọi i = 0, 1, , t − 1

Hệ tham số tốt ứng với lọc chiều được gọi là hệ tham số tốt của

M

Trong [9], Schenzel định nghĩa lọc chiều của M là một dãy tăngcác môđun con {Mi}06i6d sao cho Mi là môđun con lớn nhất của Mthỏa mãn dim Mi 6 i Khi đó đánh lại số thứ tự các môđun con đó thì

ta được lọc chiều trong cách định nghĩa của ta ở trên Vì thế hệ tham

số tốt của M là hệ tham số tách biệt đã định nghĩa bởi Schenzel trong[8], điều ngược lại chưa chắc đúng

Chú ý 2.1.3 (i) Do tính chất Noether của môđun M nên luôn tồn tạimột lọc chiều D của M và nó là duy nhất

Hơn nữa, nếu cho Tp∈Ass

R (M )N (p) = 0 là phân tích nguyên sơthu gọn của môđun con 0 của M thì Di = Tdim(R/p)>d

i+1N (p), trong đó

di = dim Di

(ii) Cho N là môđun con của M và dim N < dim M , khi đó tồn tại một

Di trong lọc chiều D của M sao cho N ⊆ Di và dim N = dim Di

Vì thế, nếu F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt0 = M cũng là một lọc thỏamãn điều kiện chiều thì với mỗi Mj tồn tại một Di sao cho Mj ⊆ Di vàdim Mj = dim Dj

(iii) Nếu hệ tham số x = (x1, , xd) là hệ tham số tốt ứng với lọc Fthì x(n) = (xn1

Giả sử N cũng là môđun con cực đại của Σ khác M0 Khi đó

M0+ N cũng là môđun con của M và có dim(M0+ N ) 6 dim(M0⊕ N ) =Max{dim M0, dim N } < d Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của M0.Vậy nên môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d là tồn tại duynhất Cứ như vậy sau hữu hạn bước quy nạp lùi ta thu được một dãytăng chặt các môđun con của M

0 Giả sử N0 là một môđun con của M có chiều bằng 0, cũng theo Mệnh

đề 1.1.2 ta có pAnnR(N0) = m Do đó tồn tại số nguyên dương k saocho mk ⊆ AnnRN0, suy ra N0 ⊆ (0 :M mk) ⊆ Γm(M ) Như vậy Hm0(M )

là môđun con lớn nhất của M có chiều bằng 0

Tiếp theo để chứng minh Di = T

dim(R/p)>d i+1N (p) ta chứng minhchúng đều bằng môđun Ha0i(M ) với ai = Q

p∈AssRM,dim R/p6d iP Trongtrường hợp {p ∈ AssRM, dim R/p 6 di} = ∅ ta đặt ai = R Ta có

p∈Ass R M,dim R/p>d i+1 N (p) Vì dim Di = max{dim R/p|p ∈ AssRDi} nên

AssR(Di) ⊆ {p ∈ AssRM | dim R/p 6 di}

Vì thế ta có ai ⊆ T

p∈Ass R Dip = pAnnR(Di) Do đó Di ⊆ Ha0i(M ).Chú ý rằng AssR(Ha0i(M )) = AssRM ∩ V (ai) nên AssR(Ha0i(M )) = {p ∈

AssRM | dim R/p 6 di} Suy ra dim H0

ai(M ) = di Mà Di là môđun conlớn nhất của M có chiều di suy ra Di = AssR(Ha0i(M ))

(ii) Nếu dim N = dim Dt−1 khi đó rõ ràng do tính cực đại của Dt−1 tasuy ra (ii), nếu dim N < dim Dt−1 thì ta so sánh dim N với dim Dt−2.Nếu dim N = dim Dt−2 thì ta có (ii) bởi tính cực đại của Dt−2, nếudim N < dim Dt−2 ta lại tiếp tục so sánh dim N với dim Dt−3 như sosánh dim N với dim Dt−2 ở trên Quá trình này phải dừng sau hữu hạnbước, như vậy ta luôn tìm được môđun con Di nào đó của lọc chiều Dsao cho N ⊆ Di và dim N = dim Di

I + AnnRM = m, theo Mệnh đề 1.1.2 suy ra `(M/J M ) < ∞ do đó J

là hệ tham số của M Hơn nữa với mọi i = 0, , t − 1 ta có

Mi ∩ (xndi+1

di+1, , xnd

d )M ⊆ Mi∩ (xdi+1, , xd)M = 0nên (xn1

Bổ đề sau nói rằng ta có thể tìm lọc chiều qua hệ tham số tốt

Bổ đề 2.1.4 Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M là lọc chiều của

M và x = (x1, , xd) là một hệ tham số tốt của M Đặt di = dim Di

Khi đó (x1, , xdi) là hệ tham số tốt của Di và Di = 0 :M xj với mọi

di < j 6 di+1, i = 0, , t − 1

Chứng minh Vì `(M/(x1, , xd)M ) < ∞ nên `(Di/(x1, , xd)Di) < ∞.Do

(xdi+1, , xd)Di ⊆ Di ∩ (xdi+1, , xd)M = 0nên

`(Di/(x1, , xdi)Di) = `(Di/(x1, , xd)Di) < ∞

Vậy (x1, , xdi) là hệ tham số của Di và ta có Di ⊆ 0 :M xj với mọi

j > di, i = 0, 1, , t − 1 Môđun Di có lọc chiều D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Di,khi đó dễ thấy rằng (x1, , xdi) là hệ tham số tốt của Di Ta đã có

Di ⊆ 0 :M xj với di < j 6 di+1, ta còn phải chứng minh 0 :M xj ⊆ Di với

di < j 6 di+1 Giả sử trái lại 0 :M xj * Di Gọi s là số nguyên dương lớnnhất sao cho 0 :M xj * Ds−1 Khi đó i + 1 6 s 6 t và 0 :M xj ⊆ Ds Suy

ra 0 :M xj = 0 :Ds xj Vì ds > di+1 > j nên xj là phần tử tham số của

Ds và dim 0 :M xj < ds Do tính cực đại của Ds−1 ta có 0 :M xj ⊆ Ds−1.Điều này mâu thuẫn với cách chọn s Vì vậy Di = 0 :M xj với mọi

di < j 6 di+1, i = 0, , t − 1

Bổ đề 2.1.5 Cho N là môđun con của M Khi đó nếu dim(M/N ) < dthì tồn tại x là phần tử tham số của M sao cho x ∈ AnnR(M/N ) Hơnnữa nếu dim(M/N ) = d − t < d thì tồn tại t phần tử tham số của M là

x1, , xt sao cho x1, , xt ∈ AnnR(M/N )

thuẫn với dim M/N < d Vậy khẳng định thứ nhất đúng với x = yn, n

là số nguyên dương nào đó

Tiếp theo ta chứng minh khẳng định thứ hai với dim(M/N ) =

d − t < d Với t = 1 ta có khẳng định thứ nhất đã chứng minh Với

t > 1 thì theo chứng minh trên thì tồn tại x1 là phần tử tham số của

M sao cho x1 ∈ AnnR(M/N ), suy ra x1M ⊆ N Đặt M1 = M/x1M và

N1 = N/x1M , khi đó

dim M1/N1 = dim M/N = d − t < d − 1 = dim M1

Suy ra tồn tại phần tử tham số x2 của M1 sao cho x2 ∈ AnnR(M1/N1) =AnnR(M/N ) và ta có

dim M/(x1, x2)M = dim M1/x2M1 = dim M1 − 1 = d − 2

Theo Mệnh đề 1.2.3 ta có (x1, x2) là một phần của hệ tham số của M thỏamãn x1, x2 ∈ AnnR(M/N ) Nếu t = 2 thì bổ đề được chứng minh, nếu t >

2 thì do (x1, x2)M ⊆ N ta lại đặt M2 = M/(x1, x2)M, N2 = N/(x1, x2)M

và lý luận tương tự như đối với M1, N1 để tìm ra x3 ∈ m mà (x1, x2, x3)

là một phần của hệ tham số của M thỏa mãn x1, x2, x3 ∈ AnnR(M/N ) Quá trình này phải dừng sau hữu hạn bước, cuối cùng ta tìm được đúng

t phần tử tham số x1, , xt của M sao cho x1, , xt ∈ AnnR(M/N )

Kết quả sau nói về sự tồn tại của hệ tham số tốt

Bổ đề 2.1.6 Luôn tồn tại một hệ tham số tốt của M

Chứng minh Giả sử D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M là lọc chiều của Mvới dim Di = di Theo Chú ý 2.1.3 (i), Di = T

dim(R/p)>d i+1N (p), trong