De thi HSG Toan 8 2012

Chứng minh được tứ giác ANCM là hình bình hành Từ đó suy ra các đường thẳng AC, BD, MN cùng cắt nhau tại trong điểm O của mỗi đường Chứng minh được P là trọng tâm của tam giác ADC nên.. [r]

MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8

Năm học 2011 – 2012

Chủ đề

Thông hiểu

Vận dụng thấp

Vận dụng cao

Số câu Số

điểm

Phương trình bậc nhất

một ẩn

Đa giác – diện tích đa

giác

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – NĂM HỌC 2011 -2012

Thời gian: 120 phút(không kể thời gian giao đề)

Câu 1(3 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 6x - 7

b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 8

Câu 2(2 điểm): Cho phân thức A =

2 2n 3n 3 2n 1

 Tìm tập hợp các số nguyên n sao cho A nhận giá trị nguyên

Câu 3(4 điểm): Với giá trị nào của x thì biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất?

2

.

Câu 4(3 điểm): Biết rằng năm nay mẹ 33 tuổi và con 7 tuổi Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con?

Câu 5(4 điểm): Cho hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, MN cùng cắt nhau tại một điểm b) Gọi giao điểm của BD với AN, CM theo thứ tự là P và Q Chứng minh rằng

tứ giác NPMQ là hình bình hành

Câu 6(4 điểm):Cho tam giác ABC có hai góc B và C thoả mãn điều kiện C B 1v   , kẻ đường cao AH

a) Chứng minh rằng AH = BH.CH2

b) Gọi diện tích tam giác ABC = m(đvdt) và đặt

AC n

AB Tính diện tích tam giác AHB theo m và n

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – NĂM HỌC 2011 -2012

1

a x2 – 6x – 7 = (x – 1)(x – 7) 1,5

b

B x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 8

= x x+3 x+1 x 2 8

x 3x x 3x 2 8



Đặt x2 + 3x = y

Khi đó B y y 2    8y 2 y 4     Hay B x 2  3x 2 x    2  3x 4  

0,5

1

2

n 1

  

Dễ thấy A Z khi 2n + 1  Ư(2) = {1; 2}

Từ đó tìm được n = 0 và n = -1

1 0,5 0,5

3

2

.

.

x x 1 x 1 x x 1



Ta có

2 2

x



Do thấy tử và mẫu của phân thức đều dương và tử là hằng số nên phân thức đạt giá trị lớn nhất khi

x2 + x + 1 nhỏ nhất

mà

2

      

nên min(x2 + x + 1) =

3

4 x =

1 2



Vậy với x =

1 2

 thì phân thức đạt giá trị lớn nhất

2 0,5

0,25

0,5 0,5 0,25

4

Gọi số tuổi con vào thời điểm tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con là

x ( x  Z, x > 7) Tuổi mẹ khi đó là 3x Theo đề ra ta có phương trình: 3x – 33 = x – 7 Giải phương trình ta được x = 13

Trả lời: Sau 6 năm nữa thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con)

0,5

0,25 1 1 0,25

Tổng 3 điểm

5

Vẽ đúng hình

P

N

M

B A

0,5

a

Chứng minh được tứ giác ANCM là hình bình hành

Từ đó suy ra các đường thẳng AC, BD, MN cùng cắt nhau tại trong điểm O của mỗi đường

1 0,75

b

Chứng minh được P là trọng tâm của tam giác ADC nên 1

3



Tương tự,

1

3



suy ra OP = OQ Kết luận được tứ giác NPMQ là hình bình hành

0,75 0,5 0,5

6

Vẽ đúng hình

0,5

a

Chứng minh được B CAH 

Từ đó suy ra AHCBHA g g   Dẫn đến AH = BH.CH2

0,5 0,5 0,5

b

Theo câu a,  AHC   BHAnên

2 2 AHC

BHA

n





  

Lại có SABC  S BHA  SAHC  m

Từ đó tính được BHA 2

m S

1 n





0,5 0,5

1

Tổng 20 điểm

C H

A

B