Hãy tìm số n lớn nhất sao cho tồn tại n điểm đôi một được nối với nhau bằng đoạn thẳng... Bất đẳng thức được chứng minh..[r]
Trang 1GV: NGễ TÙNG LÂM
Đấ̀ 13
Đấ̀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013
Mụn : Toỏn
Thời gian làm bài : 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
-Cõu 1 (5.0 điểm)
a) Giải hệ phương trỡnh
2
1
b) Giải phương trỡnh sau : 2x2 3x 2 3 x3 8
Cõu 2 (4 điểm )
a) Cho x,y,z> 0 , x+y+z=1 ,
Tỡm MaxP , 2 2 2 2 2 2
P
Cõu 3 (4,0 điểm)
a) Cho dãy số {x n}n=0 ∞ với x0=1 ; x1=4; xn+2=5xn+1-6xn+2 với mọi n tự nhiên.
Hãy xác định số hạng tổng quát xn
b) cho dãy số (Un) xác định bởi:
¿
U1=α >1
2009 U n+1=U n2+2008U n ,n ≥ 1
¿ {
¿ Hãy tính lim
n →+∞∑
i=1
U i+1 − 1
Cõu 4.(5.0 điểm)
Cho tam giác ABC Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại A1, B1, C1 Đoạn thẳng AA1 cắt đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tại giao điểm thứ hai Q Qua A kẻ đờng thẳng d song song với BC Các đờng thẳng A1C1, A1B1 lần lợt cắt d tại P, R Chứng minh các góc PQR và B1QC1 bằng nhau
Cõu 5 ( 2 điểm)
Trong khụng gian cho 2003 điểm mà khụng cú ba điểm nào thẳng hàng và khụng cú bốn điểm nào đồng phẳng Người ta nối mỗi điểm với ớt nhất 1600 điểm khỏc bằng cỏc đoạn thẳng Hóy tỡm số n lớn nhất sao cho tồn tại n điểm đụi một được nối với nhau bằng đoạn thẳng
Hết:
GV: NGễ TÙNG LÂM
Đấ̀ 13
Đấ̀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013
Mụn : Toỏn
Hướng giõ̃n giải
Trang 2
-Câu I (5,0 điểm)
a) Điều kiện :
4 5
x
Chia cả hai vế của phương trình (1) cho y 5 0 5
5
y y
Hàm số : f t( ) t5 t f t; '( ) 5 t4 1 0 t R
Chứng tỏ f(t) đồng biến Cho nên để có (*) thì chỉ xảy ra khi
2
x
y
Thay vào phương trình (2) ta được : 4x 5 x 8 6 x1
Vậy hệ có nghiệm là : (x;y)=(1;-1)
b) ĐK x 2 Pt (1) 3 x 2 x2 2x 4 2x2 2x 4 2x 2
Do x=-2 không là nghiệm của pt(1) nên chia cả 2 vế cho x+2 ta được:
Đặt
2
t
x
ĐK t 0 Phương trình (1)
2
2
2
t
t t
t
* Với
1
2
t
pt VN
*Với t=2 PT có nghiệm x 3 13
Câu 2 (4 điểm )
a)
2
3
xy yz zx x y z xy yz zx
2
x y
Nên
P
b) Áp dụng BĐT : (A+B+C)(1A+
1
B+
1
1
A+
1
B+
1
C
9
Ta có
1
3 x +4 y +2 z=
1 (x +2 y)+(x+ y+ z)+( x+ y +z ) ≤
1
x+ y + y+
1
x+ y +z+
1
x + y +z
1
x+
1
y+
1
y
2
x + y +z
3 x +4 y +2 z ≤
xy
9 (1x+
2
y
2
x+ y +z)=2 x + y
2 xy
9(x + y +z )(1)
Tương tự
Trang 32 x +3 y +4 z=
1 (y+2 z )+(x + y +z)+(x+ y+ z) ≤
1
y +z +z+
1
x+ y +z+
1
x + y +z
1
y+
1
z+
1
z
2
x+ y +z
2 x +3 y +4 z ≤
yz
9 ( 1y+
2
z
2
x+ y+z)=2 y +z
2 yz
9 (x+ y+z )(2)
Tương tự
¿
xz
4 x +2 y+3 z ≤
2 z +x
2 xz
9(x + y +z )(3)
¿
Từ (1) ;(2) ;(3) ta cú
Q≤ x+ y +z
2(xy +yz +zx )
9(x + y +z) ≤
x+ y+ z
2(x+ y+z )
x + y +z
9
Vỡ xy +yz+zx ≤1
3(x + y + z )
2
Cỏch 2
áp dụng
2 2 2 2 (a b c) a b c
A B C A B C
với a.b, c không âm và A,B dơng Dấu "=" xảy ra khi
A B C ta có:
6 2 12
2x y
(1) Dấu "=" xảy ra khi x y z Tơng tự ta có:
2y z
(2) Dấu "=" xảy ra khi x y z
2z x
(3) Dấu "=" xảy ra khi x y z Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta đợc:
3x 3y 3z
Lại có 3(xy+yz+zx) (x+y+z)2
2
3x 3y 3z
9
(ĐPCM) Dấu "=" xảy ra khi x y z
Cỏch 3
xy yz zx x y z
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 9
Trang 49xy 9yz 9zx
x y z
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y
Ta cú:
x y z x y z x 2y 3x 4y 2z 2xy xy 9xy
x y z x 2y 3x 4y 2z
Tương tự:
2yz yz 9yz
x y z y 2z 3y 4z 2x 2zx zx 9zx
x y z z 2x 3z 4x 2y
Cộng vế cỏc bất đẳng thức trờn, ta được:
2
9xy 9yz 9zx
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y
xy yz zx xy yz zx
2
x y z x 2y y 2z z 2x
x y z xy yz zx
2
3 x y z x 2y y 2z z 2x
2 xy yz zx
x y z
3 x 2y y 2z z 2x
Ta chỉ cần chứng minh:
xy yz zx x y z
x 2y y 2z z 2x 3
Thật vậy:
x 2y 2x y x y y x x y 9xy 2x y xy
9 x 2y
Tương tự:
2y z yz 2z x zx
;
9 y 2z 9 z 2x
Suy ra
xy yz zx x y z
.
x 2y y 2z z 2x 3
Bất đẳng thức được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z.
Cõu 3 (4,0 điểm)
a) + Ta tìm số a sao cho xn+2=5xn+1-6xn+2 ⇔ xn+2+a=5(xn+1+a)-6(xn+a).
⇔ xn+2=5xn+1-6xn-2a Vậy ta chọn a=-1
Khi đó xn+2=5xn+1-6xn+2 ⇔ xn+2-1=5(xn+1-1)-6(xn-1) (1)
Với mỗi n ta đặt un=xn-1 khi đó (1) ⇔ un+2=5un+1-6un với u0=0; u1=3 Phơng trình đặc trng của dãy số này là x2-5x+6 = 0 ⇔ x1=2 và x2=3
Do đó ta đợc: un=C1.2n + C2.3n
Cho n=0, 1 ta đợc: C1=-3; C2=3 và ta đợc un=-3.2n + 3.3n
Vậy xn = -3.2n + 3.3n +1
b) *Bằng quy nạp ta chứng minh đợc: U n+ 1>U n ≥ α , ∀ n ∈ N
Trang 5*Nếu dãy (Un) bị chặn trên thì nó hội tụ Đặt lim
n →+∞ U n=u ≥ α
Từ 2009 U n+1=U n2+2008U n ,n ≥ 1 cho n →+∞ ta đợc :
2009 u=u2 +2008 u⇔u2
=u ⇔ u=1
¿
u=0
¿
vô lí vi u≥ α>1
¿
¿
¿
⇒(U n) không bị chặn trên ⇒ lim
n →+∞ U n =+ ∞
* giả thiết
⇒2009(U n+1 − U n)=U n2−U n ⇔2009 (U n+1 −U n)=U n(U n − 1)
⇔2009(U n1−1 −
1
U n +1 −1)= U n
U n+1 −1
⇒∑
i=1
U i+1 −1=2009(U11−1 −
1
U n +1 − 1)
⇒ lim
i=1
U i+1 −1=
2009
α − 1
Cõu 4.(5.0 điểm)
Ta có
Suy ra QARQB A1 1, suy ra tứ giác QARB1 là tứ giác nội tiếp nội tiếp
Tơng tự tứ giác QAPC1 là tứ giác nội tiếp nội tiếp
Suy ra
Cõu 5 ( 2 điểm ):
Gọi a 1 , a 2 , a 3 , … , a 2003 là cỏc điểm đó cho Gọi A 1 , A 2 , … A 2003 là cỏc tập hợp cỏc điểm được nối với cỏc điểm tương ứng a 1 , a 2 , a 3 , … , a 2003 Theo giả thiết thỡ
1600 với i=1,2,…2003.
Xột 2 điểm a 1 , a 2 chẳng hạn được nối với nhau:
Ta cú A 1 A2
= A1
+ A2
- A 1 A2
1600+1600-2003 =1197.
Chứng tỏ cú ớt nhất 1197 điểm mà mỗi điểm đều được nối với a 1 , a 2 Khụng mất tớnh tổng quỏt
ta giả thiết trong 1197 điểm này cú điểm a 3 , khi đú 3 điểm a 1 , a 2 , a 3 đụi một được nối với nhau Xột: A1 A2 A3
= A 1 A2 + A3 - A1 A2 A3
1197+1600-2003 =794 Chứng tỏ cú ớt nhất 794 điểm mà mỗi điểm đều được nối với a 1 , a 2 , a 3 Khụng mất tớnh tổng quỏt ta giả thiết trong 794 điểm này cú điểm a 4 , khi đú 3 điểm a 1 , a 2 , a 3 ,a 4 đụi một được nối với nhau
Xột: A1 A2 A3 A4 = A1 A2 A3 + A4 - A1 A2 A3 A4 794+1600-2003 = 391
Chứng tỏ cú ớt nhất 391 điểm mà mỗi điểm đều được nối với a 1 , a 2 , a 3 , a 4 Khụng mất tớnh tổng quỏt ta giả thiết trong 391 điểm này cú điểm a 5 , khi đú 5 điểm a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 đụi một được nối với nhau Do vậy n 5 (1)
Bõy giờ ta chỉ ra một cỏch nối mà bất kỳ 6 điểm nào cũng tồn tại 2 điểm khụng được nối với
Trang 6Xét cách nối sau: Nối tất cả các cặp điểm a m , a k mà m và k không đồng dư với nhau (mod 5).Khi đó,
5
2003
= 400 nên suy ra mỗi điểm sẽ được nối với 1600 hoặc 1601 điểm khác Như vậy cách nối trên thoả mãn điều kiện bài toán
Với cách nối này: Xét 6 điểm bất kỳ, hiển nhiên trong 6 điểm đó luôn tồn tại hai điểm A i , A j
mà i j(mod 5) Suy ra n < 6 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n=5.