Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn * nên chúng đều là các số chính phương... cạnh đáy tương ứng.[r]
Trang 1UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS HÒA BÌNH
-Ký hiệu mã đề:…….
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4
+2011 x2
+2010 x +2011
b) Tìm các số nguyên x ; y sao cho: 3 x3+ xy=3
c) Tìm các hằng số a và b sao cho x3
+ax+b chia cho x+1 dư 7;
chia cho x − 2 dư 4
Câu 2: (1,5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức:
¿2
−¿+2 xy
|x2+y2+5+2 x −4 y|−¿
với x=22011; y =16503
b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất:
2 2
2 2011
x x
B
x với x>0
Câu 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
a) 20113+113
20113+20003=
2011+11 2011+2000 b) Nếu m n; là các số tự nhiên thỏa mãn : 4 m2+m=5 n2+n thì :
m-n và 5 m 5 n 1 đều là số chính phương.
Câu 4: (4 điểm)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N a) Chứng minh OM=ON
b) Chứng minh AB1 + 1
CD=
2
MN c) Biết SAOB=a2; SCOD=b2 Tính SABCD ?
d) Nếu ^D<^ C<900 Chứng minh BD > AC
Trang 2
-HẾT -Người ra đề
(ký, ghi rõ họ tên)
Vũ Ngọc Anh
Người thẩm định
(ký, ghi rõ họ tên) (ký tên, đóng dấu)BGH nhà trường
Trang 3UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS HÒA BÌNH
-Ký hiệu mã HDC:…….
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2012-2013
1
a/ x4+2011 x2+2010 x +2011 = x4+x3+x2+2010(x2+x +1)−(x3−1) 0,5
b/ 3 x3
+xy=3 ⇔ x(3 x2
+y)=3 Do x ; y là các số nguyên nên ta có:
TH1:
¿
x=1
3 x2+y =3
⇔
¿x=1 y=0
¿{
¿
(thỏa mãn) hoặc 2
26
y
0,25
0,25
TH2:
¿
x=−1
3 x2+y =−3
⇔
¿x=− 1 y=− 6
¿{
¿
(thỏa mãn) hoặc 2
28
y
x y
(thỏa mãn)
0,5
c/ Vì x3+ax+b chia cho x+1 dư 7 nên ta có: x3+ax+b = ( x+ 1) Q ( x)+7
do đó với x=−1 thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1)
0,25
Vì x3
+ax+b chia cho x − 2 dư 4 nên ta có: x3
+ax+b = ( x − 2) P( x)+ 4
do đó với x=2 thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2)
0,25
2 a/ Ta có: x2+y2+5+2 x − 4 y =( x+1)2+( y −2 )2≥ 0 với mọi x ; y nên ta có: 0,25 A= x2
+y2+5+2 x − 4 y − (x + y −1)2+2 xy
= x2+y2+5+2 x − 4 y − x2− y2− 1− 2 xy+2 x +2 y+2 xy=4 x −2 y + 4=2(2 x − y )+ 4
0,25
Thay x=22011; y =16503=(24)503=22012 vào A ta có: A= 2.(2 22011−22012)+4=4 0,25 b/ B= x
2
−2 x+2011
x2 = 2011 x
2
−2 x 2011+20112
2011 x2
0,25
=
x −2011
(¿)
¿
¿2
¿
¿
2010 x2
+( x − 2011)2
2011 x2 =2010
2011 +¿
0,25
Trang 4Dấu “=” xảy ra khi x=2011
0,25 Vậy GTNN của B là 20102011 đạt được khi x=2011
3
a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000 Khi đó ta có a=b+c
Xét vế phải đẳng thức ta có: 2011
3
+113
20113+20003=
a3
+b3
a3+c3=
(a+b )( a2− ab+b2)
(a+c )(a2−ac +c2) 0,25 Thay a=b+c vào a2−ab+b2=(b +c)2−(b+c)b+b2=b2+bc+c2 0,25
a2−ac +c2=(b+ c)2−(b+c)c+c2=b2+bc+c2 0,25 Nên a2−ab+b2
=a2− ac+c2
0,25 Vậy: 2011
3
+113
20113+20003=
a3+b3
a3+c3=
(a+b )( a2− ab+b2)
(a+c )(a2−ac +c2)=
a+b a+c=
2011+11 2011+2000 b/Ta có 4 m2+m=5 n2+n ⇔5(m2− n2)+m −n=m2⇔ (m− n)(5 m+5 n+1)=m2 (*) 0,5 Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ⇒ (5m+5n+1)+5m-5n ⋮ d ⇒ 10m+1 ⋮ d
Mặt khác từ (*) ta có: m2 ⋮ d2 ⇒ m ⋮ d Mà 10m+1 ⋮ d nên 1 ⋮ d
⇒ d=1
0,25
Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau,
thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương
0,25
4
a/ Ta có OAAC=OB
BD Do MN//DC
DC =
ON
0,5
0,5 b/ Do MN//AB và CD ⇒ OM
CD =
AM
AD và OMAB =DM
AD Do đó:
1
(1)
0,25
Tương tự: ONDC+ON
Từ (1);(2) ⇒ MN
DC +
MN
DC+
1
AB=
2
c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 0,25
N M
O
D
C
H
Trang 5cạnh đáy tương ứng Do vậy : S SAOB
AOD
= OB
OD và S SAOD
COD
= OA OC Nhưng OBOD=OA
OC ⇒ SAOB
SAOD=
SAOD
SCOD ⇒ S2 AOD
=SAOB SCOD=a2.b2
nên
SAOD=ab
Tương tự SBOC=ab Vậy SABCD=(a+b )2
0,5
0,25 d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K
Do ^D<^ C<900 nên H, K nằm trong đoạn CD
Ta có A ^E D=B ^ C D=^ C > ^ D ⇒ AD>AE
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC ⇒ DH>KC ⇒ DK > CH
0,25
0,25
Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :
DB BK DK AH CH AC (Do AH2 BK2) BD AC
0,25
HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa
Trang 6Người ra đề
(ký, ghi rõ họ tên)
Vũ Ngọc Anh
Người thẩm định
(ký, ghi rõ họ tên) (ký tên, đóng dấu)BGH nhà trường