Cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B và N là một điểm tùy ý trên đoạn AB N không trùng với A, B.. + Xét phương tích của đối với hai đường tròn ta được1 Suy ra
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 Giải hệ phương trình:
= +
+
= +
4 3 2
2008
1 2008
2008
1 2008
y y x
y
y x
x
Câu 2
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B và N
là một điểm tùy ý trên đoạn AB (N không trùng với A, B) Một đường thẳng (d)
đi qua B cắt (O1), (O2) tại M1, M2 theo thứ tự đó Đường thẳng M1N cắt đường tròn (O2) tại P2, Q2 và đường thẳng M2N cắt đường tròn (O1) tại P1, Q1 Chứng minh rằng bốn điểm P1, P2, Q1, Q2 cùng nằm trên một đường tròn có tâm O và OB
⊥M1M2
Câu 3 Tìm tất cả các cặp hai số nguyên (x; y) sao cho:
3 3 ) 7 ( 3 ) 6 (
3 ) 2 ( 3 ) 1 (
Câu 4 Cho các số thực x, thỏa mãn y x2+xy+ y2 ≤3 Chứng minh rằng:
3 3 4 2 3 2
3 3
4 − ≤ − − ≤ −
Câu 5 Cho số nguyên dương n Tìm số từ độ dài n lập từ ba chữ cái a, b, c trong đó có
chẵn lần chữ cái a
-Hết -(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh SBD
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc
1.
(2đ) + Điều kiện: Từ phương trình thứ hai, suy ra nếu là nghiệm
+ Hệ đã cho tương đương với
0.25
+ Từ (1) suy ra hoặc 0.25 + Nếu thay vào (2), được
0.25
+ Nếu thay vào (2), được
và do đó
0.25 0.25
2.
(2.5
đ)
O
Q 1
P 1
Q 2
P 2
M 2 B
A
M
N
Trang 3+ Xét phương tích của đối với hai đường tròn ta được
1 Suy ra cùng nằm trên một đường tròn, gọi theo thứ tự
là tâm, bán kính của đường tròn đó
Ta có:
0.5
+ Từ đó, suy ra
1 Suy ra
3.
(2.5
đ)
+ Xét đa thức
0.5 + Nếu thì
+ Suy ra và do đó hoặc
+ Mặt khác không có nghiệm
nguyên và không có nghiệm
nguyên Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm mà
0.5
+ Với : để ý rằng , nên là nghiệm nếu
+ Do đó, phương trình không có nghiệm với , suy ra nếu phương
trình có nghiệm thì 0.5 + Thử trực tiếp, tìm được các nghiệm:
0.5
4.
(1.5
đ)
+ Nếu thì và khi đó
Trang 4bất đẳng thức cần chứng minh đúng
+ Nếu thì
Chia cả tử và mẫu cho và đặt thì
0.5
+ Để ý rằng , nên cần chứng minh:
+ Ta có
(1) 0.25 + Nếu thì (1) là phương trình bậc nhất, có nghiệm (2)
+ Với , do (1) luôn có nghiệm nên
0.25
+ Giải bất phương trình này thu được và (3)
+ Từ (1),(2) và (3) suy ra điều phải chứng minh 0.25
5.
(1.5
đ)
Giả sử trong từ độ dài có chữ cái Thế thì
+ Có cách chọn vị trí cho chữ cái với mỗi cách đó, có
cách chọn vị trí cho hai chữ cái 0.25 + Do đó, số từ độ dài , có chứa chữ cái bằng 0.25 + Vậy, số từ cần tìm bằng:
=
−
2
n
0 k
2k n 2
2k n
+ Xét khai triển và tính được
2
1 3 2
n
0
k
2k n 2
2k n
∑
=
−
n