Các phép toán : + Khi cộng hay trừ một phân số bước đầu tiên phải đưa được các phân số về cùng mẫu số bằng cách : quy đồng mà thực chất chính là nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với mộ[r]
Trang 1CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
+Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa trong Q;
+Quy tắc dấu ngoặc;
+Quy tắc chuyển vế;
+Tính chất các phép toán: giao hoán; kết hợp; phân phối của phép nhân đối với phép cộng
Từ các tính chất của phép toán ta chứng suy ra được các “Công thức ” sau :
a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ; b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ; c) (a - b).(a + b) = a2 - b2
Thật vậy : a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b)
= a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng) = (a + b)(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng) = (a + b)2
* Các Công thức a,b,c) sau chứng minh Ta gọi là các hằng đẳng thức đáng nhớ
II DẠNG TOÁN :
Dạng 1 Các phép toán : + Khi cộng hay trừ một phân số bước đầu tiên phải đưa được các
phân số về cùng mẫu số bằng cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với một giá trị thích hợp ) hoặc rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi
tư duy cao nhất
Câu 1 Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1
P
+ Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( .
A C = ) C
+ Với những bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý một số công thức cơ bản sau :
0) am = a.a.a…a (m thừa số );a0 = 1 ; a1 = a
1) am.an = am + n 2) am : an = am – n hay :
m
m n n
a a a
−
= ) 3) (am)n = am.n 4) (a.b)n = an.bn
5)
n n
n
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
-n = 1n
a ( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa )
Câu 3 Rút gọn :
9 10 10
2 27 15.4 9
6 2 12
+
Câu 4 Rút gọn : A = 1 + 5 + 52 + 53 + … + 550
Dạng 2 Chứng minh đẳng thức hữu tỉ :
Câu 5 Cho ba số a , b ,c đôi một khác nhau và thoả mãn hệ thức : a b c 0
b c+c a+a b =
Chứng minh rằng : 2 2 2 0
Câu 6 Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì :
(a b a c b c)( ) (b c b a c a)( ) (c a c b a b)( ) a b2 b c2 c a2
− − − − − − − − − (Các bài toán chọn lọc …)
Dạng 3 Toán tìm x :
2000 2001 2002 2003
x+ + x+ = x+ + x+
Câu 8 Tìm x , biết : x-ab
a+b
a b c
+ + với a≠ −b b; ≠ −c c; ≠ − a
Trang 2III BÀI TẬP
1) Tính : 8 207207
5 201201
− +
2 Rút gọn phân số : 1999
9995 (TQ : 199 99
99 995 )
2) Tính :
2001 2000 1999 1
M
+ + +
=
4.Rút gọn : A = 1 1 1 1
1.2+2.3+3.4+ +2009.2010
5) Rút gọn : B = 1 1 1 1
1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +1998.1999.2000
6) Rút gọn :
2008 2006
1
8 6
1 6 4
1 4 2
=
N
7) Biết xyz = 1 Hãy tính tổng : A = 5 5 5
9) Tính : a)
3
⎡ ⎛− ⎞ ⎛− ⎞ ⎤ ⎛− ⎞
6 +3.6 +3 :13
10 90 72 56 42 30 20 12 6 2− − − − − − − − − 10) Tìm x,biết : 315 313 311 309 4 0
11) Tìm x , biết :
)
)
b x
c x
⎛ − ⎞⎛− ⎞ = −⎛ ⎞
12) TÍnh :
) 1 2 3 4 5 6 7 8 1999 2000 2001 2002 2003
a A
b B
=⎜ − ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟
13) a)Tính :
2003 2004 2005 2002 2003 2004
2003 2004 2005 2002 2003 2004
−
b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203
2
A
=
+ .TÌm giá trị của A, biết x=
1
2 và y là số nguyên âm lớn nhất
14) Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117
15) Thực hiện phép tính :
1 4 1,5 6
14
1:
−⎜⎝ − ⎟ ⎛⎠ −⎜ ⎞⎟
16) Thực hiện phép tính :
a a b a c +b b a b c +c c b c a
17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đay theo n : 1 1 1 1 1 1 1 1
⎛ − ⎞⎛ − ⎞⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
Trang 3CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1 HS cần nắm vững những kiến thức sau trước khi nghiên cứu nội dung chuyên đề :
+Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa trong Q;
+Quy tắc dấu ngoặc;
+Quy tắc chuyển vế;
+Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối của phép nhân đối với phép cộng …
2 Từ các tính chất của phép toán ta chứng suy ra được các “Công thức ” sau :
a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ;
b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ;
c) (a - b).(a + b) = a2 - b2
Thật vậy :
a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b)
= a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng) = (a + b)(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng) = (a + b)2
* Các Công thức b)c) HS tự chứng minh Ta gọi các công thức trên là các hằng đẳng thức đáng nhớ
II DẠNG TOÁN :
Dạng 1 Các phép toán :
+ Khi cộng hay trừ một phân số bước đầu tiên phải đưa được các phân số về cùng mẫu số
bằng cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với một giá trị thích hợp ) hoặc rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư duy cao nhất Qua một
số bài tập sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ năng giải quyết vấn đề này bằng những cách làm
“đặc biệt “
Câu 1 Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1
P
(HSG T.p HP – 1997)
+ Hướng dẫn giải :
P
mỗi phân số lần lượt với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = 1 )
1
1
x xy xyz
x xy xyz
+ + +
=
+ + + = 1
* Có thể làm theo cách khác như sau :
- Vì xyzt = 1 nên ta có thể đặt x a;y b;z c;t d
= = = = với a,b,c,d là các số thực khác 0 Khi đó
ta có :
Biểu thức P được biến đổi thành :
1 a a b a b c 1 b b c b c d 1 c c d c d a 1 d d a d a b
1 a a a 1 b b b 1 c c c 1 d d d
Trang 4bcd acd abd abc acd abd abc bcd abd abc bcd acd abc bcd acd abd
bcd acd abd abc
bcd acd abd abc
=
=
Vậy P = 1
* Chú ý : đối với bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích bằng 1 , ta có thể biến đổi bằng
cách làm như trên (đặt x a;y b;z c;t d
+ Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( .
A C = ) Kĩ năng tưởng C
đơn giản này sẽ giúp ích rất lớn trong việc giải quyết nhiều bài toán khó Thật vây :
1 2 1 2 3 1 2 3 1986
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có : ( nhớ rằng ( 1)
1 2 3
2
n n
1 2 1 2 3 1 2 3 1986
2 2 1 3 3 1 1986 1986 1
2.3 3.4 1986.1987
2 5 9 1987.1986 2
3 6 10 1987
−
=
1986
4 10 27 1987.1986 2
6 12 20 1987.1986
−
=
Mặt khác :
1986.1987 – 2 = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988
= 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2)
Từ (1) và (2) ta có :
4.1 5.2 6.3 1988.1985
2.3 3.4 4.5 1986.1987
4.5.6 1988 (1.2.3 1985)
(2.3.4 1986) (3.4.5 1987)
A=
=
1987.1988 1.2
2.3 1986.1987
=
1988 994
1986.3 2979
* Lưu ý : Bài toán tổng quát hơn là :
A
n
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ với n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3
Trang 5+ Với những bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý một số công thức cơ bản sau :
0) am = a.a.a…a (m thừa số );a0 = 1 ; a1 = a
1) am.an = am + n 2) am : an = am – n ( hay :
m
m n n
a a a
−
= ) 3) (am)n = am.n
4) (a.b)n = an.bn
5)
n n
n
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 6) a-n = 1n
a ( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa )
Câu 3 Rút gọn :
9 10 10
2 27 15.4 9
6 2 12
+ + ( HSG quốc gia – 1971) + Hướng dẫn giải :
2 3 2.1 5.1.3
6 2 12 2 3 3 2 2 3 2.1 3.2 3 2 3.4 10206 5103
+
Câu 4 Rút gọn : A = 1 + 5 + 52 + 53 + … + 550 (NC&PT toán 7/T11)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có : 5.A = 5 + 52 + 53 + 54 + … + 551
Do đó : 5.A - A = 551 - 1 Vậy A =
51
5 1 4
−
* NX : Với biểu thức A như trên người ta còn thường ra bài toán : Chứng minh rằng A là số
chẵn hay chứng minh A chia hết cho 6 hoặc chứng minh A không là số nguyên Các em hãy thử tìm lời ?
Dạng 2 Chứng minh đẳng thức hữu tỉ :
Câu 5 Cho ba số a , b ,c đôi một khác nhau và thoả mãn hệ thức : a b c 0
b c+c a+a b =
− − − ( HSG toán 9 – 1999 – A ) + Hướng dẫn giải :
- Từ giả thiết suy ra :
1
b c− ta được :
2
=
Tương tự :
2
=
−
2
a b
=
−
Cộng theo cột hai vế của ba đẳng thức trên ta có ĐPCM
Câu 6 Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì :
(a b b c)(a c) (b c b a c)(a ) (c a b a)(c b) a b2 b c2 c2a
+ Hướng dẫn giải :
Trang 6- Ta có :
b c
− + −
Tương tự :
(c a b a)(c b) c1a c b1
−
− − − − ;(b c b a c a)( ) b c1 b a1
−
Cộng theo từng vế các kết quả vừa tìm được , suy ra ĐPCM
Dạng 3 Toán tìm x :
2000 2001 2002 2003
x+ + x+ = x+ + x+
( NC&PT toán 7 -tập 1)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta cộng vào hai vế của đẳng thức với cùng một giá trị là 2 , được :
2000 2001 2002 2003
2000 2001 2002 2003
0
2000 2001 2002 2003
x
+ + + = + + +
+ + + + + = + + + + +
2000+2001−2002−2003≠ ( hiển nhiên) nên x + 2004 = 0 hay x = -2004
* Nhận xét : Với những hệ thức chứa các phân số có quy luật như trên ( 4 + 2000 = 3 + 2001 =
2 + 2002 = 1 + 2003 = 2004 ) thì kĩ năng biến đổi trên sẽ là một công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toán
Câu 8 Tìm x , biết : x-ab
a+b
a b c
+ + với a≠ −b b; ≠ −c c; ≠ − a + Hướng dẫn giải : Đẳng thức đã cho tương đương với :
x-ab
0 a+b
⎛ − ⎞ ⎛+ − ⎞ ⎛+ − ⎞=
Quy đồng mẫu số trong từng dấu ngoặc rồi đặt thừa số chung ta được :
a b+b c+c a ≠
+ + + thì x = ab + bc + ca ;
a b+b c+c a =
+ + + thì có vô số giá trị của x thoả mãn bài toán
III BÀI TẬP
8) Tính : 8 207207
5 201201
− +
9) Rút gọn phân số : 1999
9995 ( TQ : 199 99
99 995 ) (BD HSG toán 8- trang 73)
10) Tính :
2001 2000 1999 1
M
+ + +
=
(HSG toán 6 T.p HP– 2002 – A)
Trang 711) Rút gọn : A = 1 1 1 1
1.2+2.3+3.4+ + 2009.2010 12) Rút gọn : B = 1 1 1 1
1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +1998.1999.2000
13) Rút gọn :
2008 2006
1
8 6
1 6 4
1 4 2
=
N
14) Biết xyz = 1 Hãy tính tổng :
8 * ) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992 Chứng minh rằng :
1992
1
9) Tính : a)
3
⎡ ⎛− ⎞ ⎛− ⎞ ⎤ ⎛− ⎞
b) ( 3 2 3)
6 +3.6 +3 :13
10−90−72−56−42−30−20−12− − 6 2
11) Tìm x , biết :
)
)
b x
c x
⎛ − ⎞⎛− ⎞ = −⎛ ⎞
12) TÍnh :
) 1 2 3 4 5 6 7 8 1999 2000 2001 2002 2003
a A
b B
=⎜ − ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟
13) a)Tính :
2003 2004 2005 2002 2003 2004
2003 2004 2005 2002 2003 2004
−
b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203
c) Cho
2
A
=
+ TÌm giá trị của A , biết x =
1
2 và y là số nguyên âm lớn nhất
14) Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117
15) Thực hiện phép tính :
Trang 8111 3 1 2
1 4 1, 5 6
14
1:
−⎜⎝ − ⎟ ⎛⎠ −⎜ ⎞⎟
16) Thực hiện phép tính :
a a b a c +b b a b c +c c b c a
17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đay theo n :
⎛ − ⎞⎛ − ⎞⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
18) Cho a,b,c là các số thực có tích bằng 1 Chứng minh rằng :
1 a ab+1 b bc+1 c ca =
b) a 1 1 b 1 1 c 1 1 a 1 1 b 1 1 c 1 1
⎛ − + ⎞⎛ − + ⎞⎛ − + ⎞ ⎛= + − ⎞⎛ + − ⎞⎛ + − ⎞
19) TÌm tất cả các số thực dương a,b,c thoả mãn đẳng thức :
3 2
a b+b c+c a =
20) Cho abc ≠0 và a + b + c ≠0 TÌm x , biết : a b x a c x b c x 4x 1
+ +
21) Cho x,y,z là các số khác không và x 1 y 1 z 1
+ = + = + Chứng minh rằng : Hoặc x = y = z hoặc x2y2z2 = 1
IV HƯỚNG DẪN GIẢI :
1) 8 207207 8 207 8 69
5 201201 5 201 5 67
2)
3 3
4
3
1
2 10
1
10 10
2
⎛ − ⎞
3)
2001 2000 1999 1
M
+ + +
=
Đặt A = 1 1 1
2+ + +3 2002 ;
B = 2001 2000 1999 1
1 + 2 + 3 + +2001 , ta có :
Trang 92000 1999 1 2002
2002 2002 2002 2002
2002
2002
A
M
B
= =
* Tương tự ta có bài toán sau :
Bài toán : Tính giá trị của biểu thức:
a)
1
1.99 3.97 5.99 97.3 99.1
A
=
L L
b)
B
=
L L
Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia: (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) ( 1 1) 100 100 100 100
99 3 97 5 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51
Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50
b) Biến đổi số chia:
100 1 100 2 100 3 100 99
=⎜ + + + + ⎟ ⎜− + + + + ⎟=
L
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia Vậy 1
100
1 ( 1)
a−a =a a
+ + ( a ≠ 0), ta có :
1.2 2.3 3.4 2009.2010
1 2 3 2 4 3 2010 2009 2010 2010
2 a a( 1) (a 1)(a 2) a a( 1)(a 2)
1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000
2 1.2 2.3 2.3 3.4 1998.1999 1999.2000
2 2 1999.2000 2.1999.2000
−
Trang 106) Hãy điền vào ô trống để có đẳng thức đúng : 1 1 1
( 2)
+ , sau đó áp dụng kết quả nhận được vào giải bài toán
* Chú ý : Từ kết quả các bài 4,5,6 ở trên ta rút ra một số quy luật ( Công thức ) sau đây :
k
k
= ⋅⎜ − ⎟
= ⋅⎜ − ⎟
k
=⎜ − ⎟
2 (2n n 2) 4 (n n 1) 2 2n 2n 2 4 n n 1
(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3
n n <n < n n
2 a a( 1) (a 1)(a 2) a a( 1)(a 2)
(Trong đó: , N n k ∈ ∗, n>1)
7) Nhân lần lượt cả tử và mẫu mỗi phân số với 1; x ; xy với chú ý xyz = 1 , ta được :
5 1
5
x xy x
A
+ +
* Chú ý : Cũng có thể đặt như phần ví dụ mẫu
8) Từ giả thiết xyz = 1992 (1) suy ra : xy 1992
z
= (2) , thay (1) và (2) vào vế trái đẳng thức được : 1992
1992
1992 1992
1
1
1
1
VT
x z
xz z
xz z
VP
+ +
=
+ +
= =
9) a)
3
6 +3.6 +3 :13=⎡⎣6 6 3+ +3 ⎤⎦:13= 2 3 3 +3 :13=3 3.2 +1 :13=3 13 :13=3 =27 c)
Trang 119 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10−90−72−56−42−30−20−12− − 6 2
10 90 72 56 42 30 20 12 6 2
0
=
=
− + − + − + − + = ( HSG quận Hoàn Kiếm HN – 2004) + Làm tương tự Câu 5 :
4 0
0
101 103 105 107
x
101 103 105 107
⎝ ⎠ > 0 nên dẫn đến 416 – x = 0 hay x = 416
11) Tìm x , biết :
a) Kết quả : x = 48
2
)
:
x
x
⎛ − ⎞⎛− ⎞ = −⎛ ⎞
⇔ − = −⎜ ⎟ ⎜− ⎟
⎛ ⎞
⇔ − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
64 8
9
64
;
x
x
−
c x
Trang 12+ Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
+ +
Vậy x = 1
2
12) TÍnh :
) 1 2 3 4 5 6 7 8 1999 2000 2001 2002 2003
a A
b B
=⎜ − ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟
a)
b) Từ 4 đến 121 có các số chính phương là : 4;9;16;25;36;49;64;81;100;121 nên :
3 8 15 24 35 48 63 80 99 120
4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
=
2 9 20 35 54 3 25 54 5 54 6
( ).( ) ( )
3 10 21 36 55 5 27 55 9 55 11
13) a) Ta có :
2003 2004 2005 2002 2003 2004
2003 2004 2005 2002 2003 2004
b) Biết : 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + 10 3 = 3025 TÍnh : S = 2 3 + 4 3 + 6 3 + … + 20 3
+ Ta có : S = 23(13 + 23 + 33 + …+ 103) = 8.3025 = 24200
c) Cho
2
A
=
+ TÌm giá trị của A , biết x =
1
2 và y là số nguyên âm lớn nhất ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 )
+ Vì y là số nguyên âm lớn nhất nên y = -1 cùng với x = 1
2thay vào biểu thức A , được :
( )
2
2
2
A
⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ + − −
− + −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
14) Tìm x , biết : 3 x + 3 x +1 + 3 x + 2 = 117 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 )
3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117
Ù 3x(1 + 3 + 32) = 117
Ù 13.3x = 117
Ù 3x = 117 : 13
Ù 3x = 32
Ù x = 2
15) Thực hiện phép tính :
1 4 1, 5 6
14
1:
−⎜⎝ − ⎟ ⎛⎠ −⎜ ⎞⎟= =
( HSG – Hà Tây – 2003 )
16) Thực hiện phép tính :
a a b a c +b b a b c +c c b c a
Trang 13( HSG quốc gia – 1963) +
17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đây theo n :
⎛ − ⎞⎛ − ⎞⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
+ Ta có :
n
18) Vì abc = 1 nên ta có thể đặt : a x;b y;c z
= = = với x,y,z là các số khác 0 Khi đó ta có : a) Vế trái của đẳng thức a) được biến đổi thành :
1;
+ +
Vậy ta có ĐPCM
b) Vế trái của đẳng thức b) được biến đổi thành :
⎛ − + ⎞⎛ − + ⎞⎛ − + ⎞= − + − + − + =
Tương tự ta cũng biến đổi được vế phải của đẳng thức b) về biểu thức (*) suy ra ĐPCM
2
Đặt x a;y b;z c
= = = ta có x,y,z là các số dương thoả mãn xyz = 1 Khi đó ta có :
( )
*
0
(quy đồng mẫu số,khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz = 1 )
Ù xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1 = 0 Ù (x -1)(y - 1)(z - 1) = 0 Ùx=1 hoặc y =1 hoặc z = 1
a b
b c
c a
=
⎡
⎢
⎢ =
⎣
0
+ +
Nếu : 1 1 1 4 0
a+ + −b c a b c ≠
+ + thì x = a + b + c
a+ + −b c a b c =
+ + thì có vô số giá trị của x thoả mãn
21) Từ giả thiết ta có : x y 1 1 y z
−
yx
zx
Nhân theo từng vế ba đẳng thức trên được : ( )( )( ) (x y)(x2 2z)(2 y z)
x y z
Đẳng thức này chỉ xảy ra khi x2y2z2 = 1 hoặc x = y = z