Ví Dụ 5: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật M có khối lượng 400g và lò xo có hệ số cứng 40N/m đang dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng với biên độ 5cm.. Biết tốc độ chuyển [r]
Trang 1TÀI LIỆU ÔN THI TN & ĐH 2010-2011
PHẦN 1 : DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
Ví Dụ 1 : Một CLLX gồm một lị xo khối lượng khơng đáng kể cĩ k = 40N/m một đầu cố định, đầu kia treo một
vật cĩ khối lượng m = 400g Kéo vật ra 6cm từ VTCB và thả nhẹ cho vật dao động Viết PTDĐ của vật nếu chọn chiều dương từ trên hướng xuống, gốc tọa độ tại VTCB:
- Gốc thời gian lúc thả vật - Gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm
- Gốc thời gian lúc vật qua li độ x = 3 2 cm theo chiều dương
Hướng dẫn giải :
Tốc độ gĩc :
40 10 0.4
k m
rad/s Biên độ : x = 6cm, v = 0 A2 = x2 + 2
2
v
A = 6cm gốc thời gian lúc thả vật : t= 0, x = 6cm thay vao pt : 6 = 6cos cos PTDĐ : 1 x6cos10t cm
gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm : t = 0, x = 0 => thay vao pt : 0 = 6cos =>
=>PTDĐ : x 6cos(10t 2)cm
gốc thời gian lúc vật qua li độ x = 3 2 cm theo chiều dương : t = 0, x = 3 2 cm => thay vao pt : 3 2 = 6cos
=>
2
=>PTDĐ : x 6cos(10t 4)cm
Ví Dụ 2 : Một con lắc lị xo cĩ khối lượng m = 400g và độ cứng k = 40N/m Vật cĩ năng lượng là W = 0.032 J
a) Viết phương trình dao động của vật nặng Chọn gốc thời gian lúc vật qua biên âm
b) Viết phương trình dao động của vật nặng Chọn gốc thời gian lúc vật cĩ li độ 2 cm và đang tăng
Hướng dẫn giải :
Tốc độ gĩc :
40 10 0.4
k m
rad/s Biên độ : E =
2
W
k
0,04 m = 4 cm
- Chọn gốc thời gian lúc vật qua biên âm : t= 0, x = - A thay vao pt : -A = Acos cos => 1 ptdđ : x4cos(10t)cm
Chọn gốc thời gian lúc vật cĩ li độ 2 cm và đang tăng : t = 0, x = 2, v > 0 ( ) : 0 x 4cos(10t 3)cm
Ví Dụ 3: Một vật dao động điều hồ, tại li độ x1 và x2 vật cĩ tốc độ lần lượt là v1 và 2 Chứng minh biên độ dao
động của vật bằng:
v x v x
Dạng 1: Viết PTDĐ:
PTDĐ cĩ dạng : x = A cos ( t)Tìm các đại lượng cần thiết: A, ,
+ Tìm tần số gĩc : = 2 f = T
2
= m
k Hoặc T = N
t
( t : Thời gian dao động , N : số lần dđ )
+ Tìm biên độ : 1 A2 = x2 + 2
2
v
=
(lấy A dương) 2 A = 2
d
min max l
l
( d : chiều dài quỹ đạo )
max
4 E =
2 2 2
2
1 2
1
A m
+ Dựa vào gốc thời gian (t = 0) và vị trí của vật tại thời điểm đĩ ( VTCB: x = 0 ; nơi thả vật x = A tuỳ theo chiều dương)
giải ra 2 nghiệm : và loại nghiệm theo v ( v> 0 thì 0 và ngược lại )
Lưu ý : CLLX cĩ thể dùng CT : l
g
với l : độ biến dạng của lị xo Khi kéo vật ra một đoạn x rồi thả nhẹ ( khơng vt đầu ) khi đĩ A = x
CLLX treo thẳng đứng khi kéo vật ra từ vị trí lị xo khơng biến dạng : x d k ( với l
m g l k
) Lực tổng hợp tác dụng lên vật dđđh (gọi là lực hồi phục, lực kéo về ): F = -k.x = - m x ; F2 max = m2A
Dđđh đổi chiều khi lực hồi phục đạt giá trị cực đại Khi x = A
Trong một chu kỳ vật dđđh đi được quãng đường 4A Vật dđđh trong khoảng cĩ chiều dài 2A
Trang 2Hướng dẫn giải :
A v v x A v v x A (v v ) v x v x A
v (A x )
Ví Dụ 4: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 3,14s Xác định pha dao động của vật khi nó qua vị trí x = 2cm
với vận tốc v = 0,04m/s
Hướng dẫn giải :
ω =
2 2.3,14
T 3,14
=2rad/s ; A = 2 2 ; t = 0, x = 2cm , v = 0,04m/s >0 (t)= 4
Ví Dụ 5: Vật có khối lượng M= 160g được gắn vào lò xo có độ cứng k =64N/m
đặt thẳng đứng Người ta đặt thêm lên vật m một gia trọng m = 90g Gia trọng m tiếp
xúc với vật theo mặt phẳng ngang Kích thích cho hệ dao động điều hòa theo phương
thẳng đứng Để gia trọng m không rời khỏi vật trong quá trình dao động thì biên độ
dao động A của hệ phải là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải :
Để m không rời M trong suốt quá trình dao động thì : amax g 2.A g 2
g A
m M
k
Ví Dụ 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos(4 t)cm, Tìm :
- vận tốc của vật tại thời điểm t = 7,5s - gia tốc của vật tại thời điểm t = 5s
Hướng dẫn giải :
Từ x = 6cos(4 t)cm ta có : v = x’ = - 24 sin(4 t)cm/s Thay t = 7,5s vào ta được v = 0
Từ x = 6cos(4 t)cm ta có : a = x” = - 962cos(4 t)cm/s2 Thay t = 5s vào ta được a = - 947,5cm/s2
Ví Dụ 2: Phương trình dao động của một vật là x = 8cos(4t - 3
), với x tính bằng cm, t tính bằng s
a) Viết phương trình vận tốc và gia tốc của dao động b) Xác định tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật c) Xác định li độ, vận tốc và gia tốc của vật khi t = 0,25s d) Xác định vận tốc và gia tốc của vật khi ly độ x= 6 cm
Hướng dẫn giải :
a ) phương trình vận tốc : v sin(A t)= - 32 sin(4t - 3
) cm/s
- phương trình gia tốc : a 2 cos(A t)= - 128 cos(4t - 32
) cm/s2
b - tốc độ cực đại : vmax = A = -32 cm/s - gia tốc cực đại : amax2.A= - 128 cm/s2 2
c) Thay t = 0,25s vào pt vận tốc : v = - 32 sin(4.0,25 - 3
) =16 3 cm/s
Thay t = 0,25s vào pt gia tốc
: a = - 128 cos(4.0,25 - 32
) cm/s2 = - 64 m/s2 2
d ) Áp dụng công thức độc lập thời gian :
M
k
Dạng 2: Tìm vận tốc , gia tốc của vật dđđh :
Phương trình vt : v = - A sin ( t)
+ v đạt cực đại sin( t) = 1 vmax = A khi x = 0 ( vật ở vị trí cân bằng )
+ v = 0 khi x = A ( vật ở vị trí biên )
+ v2 2A2 x2 ( biểu thức độc lập thời gian ) Phương trình gia tốc: a = v’ = x” = - A cos (2 t)
a đạt cực đại cos ( t)= 1 amax = 2
A
L
ưu ý : - Khi a.v > 0 vật chuyển động nhanh dần - Khi a.v < 0 vật chuyển động chậm dần
- Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm vào vật M đang đứng yên :
Va chạm đàn hồi: Áp dụng ĐLBT động lượng và năng lượng ( dưới dạng động năng vì mp ngang Wt = 0 )
Từ m v 0m v M V và m v 02m v 2M V 2 0
2.m
m M
m M
m M
Va chạm mềm ( sau va chạm hai vật dính vào nhau cđ cùng vận tốc ) :
m M
Trang 3vận tốc :v2 2A2 x2 = 16 ( 82 2 – 62 ) = 448 cm/s => v = 8 72 cm/s
Gia tốc : a2.x = -16 6 = -962 cm/s2 2
Ví Dụ 3: Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 20 N/m và viên bi có khối lượng 0,2 kg dao động điều hòa Tại
thời điểm t, vận tốc và gia tốc của viên bi lần lượt là 20 cm/s và 2 3 m/s2 Biên độ dao động của viên bi là
Hướng dẫn giải :
2
0 0412 0 2 0 04
0 04
Ví Dụ 4: Một lò xo có độ cứng k = 16N/m có một đầu được giữ cố định còn đầu kia gắn vào quả cầu khối lượng M
=240 g đang đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang Một viên bi khối lượng m = 10 g bay với vận tốc vo = 10m/s theo phương ngang đến gắn vào quả cầu và sau đó quả cầu cùng viên bi dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang Bỏ qua ma sát và sức cản không khí Biên độ dao động của hệ là
Hướng dẫn giải :
Va cham mềm nên động lượng của hệ 2 vật ( M và m) bảo toàn: mv0 = (m+M) V
Suy ra vận tốc của hệ 2 vật ngay lúc va chạm: v =
0, 4 / 40 / ( ) 0,01 0, 240 0, 25
mv
Hệ 2 vật dao động với tần số góc mới =
16
( ) (0, 01 0, 24)
k
rad s
Vì hệ nằm ngang nên biên độ dao động được tính theo công thức:
40
16
Vậy biên độ dao động: A = 10cm
Ví Dụ 5: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật M có khối lượng 400g và lò xo có hệ số cứng 40N/m đang dao
động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng với biên độ 5cm Khi M qua vị trí cân bằng người ta thả nhẹ vật m có khối lượng 100g lên M (m dính chặt ngay vào M), sau đó hệ m và M dao động với biên độ
Hướng dẫn giải :
Vận tốc của M khi qua VTCB: v = ωA =
k
m A = 10.5 = 50cm/s
Vận tốc của hai vật sau khi m dính vào M: v’ =
Mv 0,4.50
M m 0,5 = 40cm/s
Cơ năng của hệ khi m dính vào M: W =
2
1
kA '
2 =
2
1 (M m)v'
2 ==> A’ = v’
M m k
=40
0,5
40 = 2 5cm
Ví Dụ 6: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang với chu kỳ T = 2π (s), quả cầu nhỏ có
khối lượng m1 Khi lò xo có độ dài cực đại và vật m1 có gia tốc là – 2(cm/s2) thì một vật có khối lượng m2 (m1 = 2m2 ) chuyển động dọc theo trục của lò xo đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật m1, có hướng làm lò xo nén lại Biết tốc
độ chuyển động của vật m2 ngay trước lúc va chạm là 3 3 (cm/s) Quãng đường mà vật m1 đi được từ lúc va chạm đến khi vật m1 đổi chiều chuyển động là
Hướng dẫn giải :
Lúc đầu biên độ dao động của vật m1 : A1 =
max.
a
cm
Vì va chạm là xuyên tâm nên ĐL BT Động lượng và năng lượng:
m v2 02 m v1 1v m2 2 => v022v1v2 (1)
2m v 2m v 2m v => v022 2v12v22 (2) Từ (1) và (2) ta tính được : v12 3 /m s
Sau va chạm biên độ dao động của vật m1 lúc sau A2 :
(2 3)
1
v
Vậy Quãng đường mà vật m1 đi được từ lúc va chạm đến khi vật m1 đổi chiều chuyển động là:
S= A1 + A2 = 2 + 4 = 6 cm
Trang 4Ví Dụ 1 :Một con lắc lò xo gồm một quả nặng khối lượng 100g, lò xo có độ cứng 100N/m, khối lượng không đáng
kể treo thẳng đứng Cho con lắc dao động với biên độ 5cm Lấy g = 10m/s2; 2 = 10
a) Tìm năng lượng dao động của vật và động năng khi vật có ly độ x = 3 cm
b) Tìm ly độ của vật khi vật có động năng bằng thế năng và vận tốc, gia tốc của vật khi đó
c) Tìm vận tốc của vật khi vật có động năng bằng 3 lần thế năng
Hướng dẫn giải :
a ) Cơ năng của vật : W =
2
1
2k A = 0,5.100.0,052 = 0,125 J
áp dụng : W = Wt + Wđ => Wđ = W – Wt = 0,5.100.(0,052 – 0,032 ) = 0,08 J
b ) x = ? ( Wđ = Wt ) : W = Wt + Wđ = Wt + Wt = 2.Wt =
2
1
2k A 2x2 = A2 2
A x
= 2,5 2 cm vận tốc của vật : v A2 x2 = 111 cm/s gia tốc của vật : a2.x = 2500 2 cm/s2
c ) W = Wt + Wđ = Wđ +
1
3 Wđ =
4
3 Wđ =
1
2m A v = 137 cm/s
Ví Dụ 2 :Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g Con lắc dao động điều hòa theo phương trình: x = Acost.
Cứ sau khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau Lấy 2 = 10 Tính k
Hướng dẫn giải :
Trong một chu kỳ có 4 lần động năng và thế năng bằng nhau do đó khoảng thời gian liên tiếp giữa hai lần động năng
và thế năng bằng nhau là 4
T T = 4.0,05 = 0,2 (s); = T
2
= 10 rad/s; k = 2m = 50 N/m
Ví Dụ 3 :Con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 400 g và lò xo có độ cứng k Kích thích cho vật dao động
điều hòa với cơ năng W = 25 mJ Khi vật đi qua li độ - 1 cm thì vật có vận tốc - 25 cm/s Xác định độ cứng của lò xo
và biên độ của dao động
Hướng dẫn giải :
Ta có: W = 1
2kA2 =
1
2k(x2 +
v2
ω2) =
1
2k(x2 + mv
2
k ) =
1
2(kx2 + mv2) k =
2W − mv2
x2 = 250 N/m.
Ví Dụ 4 : Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình x = 2cos10 t(cm) Khi động năng bằng ba lần thế năng
thì chất điểm ở vị trí
Hướng dẫn giải :
Từ phương trình x = 2cos10 t(cm) ta suy ra biên độ A = 2cm Cơ năng trong dao động điều hoà E = Eđ + Et, theo
bài ra Eđ = 3Et suy ra E = 4Et, áp dụng công thức tính thế năng
2
2
1
E
và công thức tính cơ năng
2
kA 2
1
E
→ x
= ± A/2 = ± 1cm
Dạng 3: Tìm năng lượng, động năng và thế năng :
+ Động năng : Wđ = 2
1
mv2 = 2
1 m2A2sin2(t+)
+ Thế năng: Wt = 2
1
kx2 = 2
1
k A2cos2(t + )
Áp dụng: W = Wt + Wđ =
2 2
2
1 2
1
mv
kx
=
2 2 2
2
1 2
1
A m
( k m2 )
Lưu ý :
v = 0 khi x = A ( vật ở vị trí biên ) Khi đó Eđ = 0 => Et = E ( Etmax )
Vmax khi x = 0 ( vật ở vị trí CB ) Khi đó Et = 0 => Eđ = E ( Eđmax )
Động năng và thế năng dao động điều hòa với tần số góc ’ = 2, tần số f’ = 2f và chu kì T’ = 2
T Trong mọi công thức tính lực và năng lượng đơn vị chiều dài là m, đơn vị khối lượng là kg
Đông năng và thế năng bằng nhau sau những khoảng thời gian t = 4
T
Trang 5Ví Dụ 1 :Một vật tham gia đồng thời hai dao động cùng phương , có các phương trình dao động thành phần :
3
và x2 8cos(10t 3)(cm)
p
a ) Viết phương trình dao động tổng hợp b ) Tìm tốc độ cực đại của vật
Hướng dẫn giải :
a ) ptdđ có dạng : x A cos(t)
A = A12 A22 2A1A2cos( 2 1) = 8 cm Vì A
1 = A2 nên 2
2
= 0 => x8cos10t cm
b ) tốc độ cực đại : vmax = A = 80 cm/s
Ví Dụ 2 :Một vật thực hiện đồng thời 4 dao động điều hòa cùng phương và cùng tần số có các phương trình:x1 = 3sin(t + ) cm; x2 = 3cost (cm);x3 = 2sin(t + ) cm; x4 = 2cost (cm)
a ) Hãy xác định phương trình dao động tổng hợp của vật
b ) Xác định cơ năng dao động biết vật có khối lượng m = 100 g ( )2 10
Hướng dẫn giải :
a ) dùng máy tính ta viết được : x 5 2 cos( t 4)
cm
b )cơ năng dao động : W =
1
2m A = 0,5.0,1.10.( ( 0,05 2) = 2,5 mJ2
Ví Dụ 3 :Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, theo các phương trình: x1 = 4 cos( t + ) (cm) và x2 = 4√3sin( t) (cm) tìm góc để biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải :
Ta có : x2 = 4√3sin( t) = 4 3 cos( t 2)
và A = A12 A22 2A1A2cos( 2 1)để A
min hai dao động ngược pha :
giải ra hai nghiệm :
3 2
và 2
Dạng 4: Tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số :
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động:
x 1 = A 1 cos ( t1) v x
2 = A 2 cos ( t2) => x = x
1 + x 2 = A sin ( t) có:
Biên độ A: A = 2 2 1 2cos( 2 1)
2
2
2 2 1 1
cos cos
sin sin
A A
A A
tg
( Nếu A 1 = A 2 thì 2
2
)
Lưu ý : + Khi 2 1 2
2
A + Khi 2 1 (2k1). hai dđ ngược pha nhau => A = A 1 A2
+ Khi 2 1 2k hai dđ cùng pha nhau => A = A 1 A2
+ trong mọi trường hợp : A1 A2 A A1A2
Ngoài ra có thể sử dụng máy tính bỏ túi : xem chuyên đề phần sau