CHƯƠNG III: PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG 3RPS 3.1 Bài toán phân tích vị trí 3.1.1 Các phương trình liên kết cho Robot song song 3RPS tổng quát Trên hình 3.1 mô tả sơ đồ động học
Trang 1CHƯƠNG III:
PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG 3RPS
3.1 Bài toán phân tích vị trí
3.1.1 Các phương trình liên kết cho Robot song song 3RPS tổng quát
Trên hình 3.1 mô tả sơ đồ động học của Robot song song 3RPS Cấu trúc các khâu của Robot này được mô tả trong mục 1.6
a) Quan hệ về hình học và các hệ toạ độ
Do cấu trúc Robot đảm bảo tính hợp lý nên các chân AiBi ⊥ Zi (các trục quay) Gọi O và P là trọng tâm của hai tam giác A1A2A3 và B1B2B3, ta đặt lên
đó các hệ toạ độ như trên hình 3.1:
- Ox0y0z0 : Hệ toạ độ cố định
- Pxyz : Hệ toạ độ động gắn liền với bàn máy động
- Aixiyizi, (i = 1,2,3): Hệ động gắn với chân thứ i Với xi≡A i B i và zi≡ trục quay, trục yi lập với xi và zi một hệ quy chiếu thuận
Ta đưa thêm vào 3 toạ độ suy rộng αi (i = 1,2,3) là góc hợp bởi trục z0 và trục
A1
A2
A3 B1
B3
B2
Hình 3.1: Cấu trúc chấp hành song song 3RPS
Đế cố định
Bàn máy động
x0
y0
z0
x1
x1
x2
x3
z1
z2
z3
1
α
2
α
3
α P
O
y1
z1
Trang 2Ngoài ra ta sử dụng các ký hiệu:
- ai : Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm Ai trên hệ cố định, ai=[ ]T
i i
i a a
a1, 2, 3
bi: Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm Bi trên hệ cố định
- Bbi : Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm Bi trên hệ cố động, Bbi=
iz
iy
ix, b , b
- p: véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm P trên hệ cố định, p = [p1,p2,p3]T
- di: độ dài chân thứ i (di = AiBi)
- bi và Bbi : Xác định được từ kết cấu hình học của robot
- ARB : Ma trận cosin chỉ hướng của hệ động Pxyz so với hệ cố định Ox0y0z0
- ARi : Ma trận cosin chỉ hướng của hệ động Aixiyizi so với hệ cố định Ox0y0z0
ARB
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
z z z
y y y
x x x
w v t
w v t
w v t
, ARi
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
iz iz iz
iy iy iy
ix ix ix
w v u
w v u
w v u
với: (i = 1,2,3) (3.1)
Các phần tử của ma trận ARB và ma trân ARi tuỳ theo kết cấu của bàn đế cố định, là hàm của góc αi
Từ hình vẽ ta có:
i
OB = + AiBi (i = 1,2,3) (3.2)
OP
OBi = + PBi (i = 1,2,3) (3.3)
Ta có thể biểu diễn (3.2) và (3.3) dưới dạng sau:
bi = ai + ARi.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ 0 0
di
(i = 1,2,3) (3.4)
bi = p + ARB.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ 0 0
di
(i = 1,2,3) (3.5)
Kết hợp hai phương trình trên ta có :
p + ARB.Bbi = ai + ARi.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ 0 0
di
(i=1,2,3) (3.6)
Trang 3Hệ thức (3.6) gồm có 9 phương trình chứa các ẩn là toạ độ diểm P, độ dài các chân di, các góc αi Khi giải các bài toán động học thuận/ngược, ta đã biết 3 thông số p/di nên công việc còn lại chỉ chỉ giải bài toán 6 phương trình 6 ẩn, các thông số còn lại như hướng của bài máy động, hướng của các chân AiBi
sẽ được xác định khi đã biết các thông số này
Hệ thức này có ý nghĩa rất quan trọng, qua đó ta có thể giải quyết bài toán động học một cách trọn vẹn cả bài toán thuận và bài toán ngược, điều mà các phương pháp trước đây chưa giải quyết được hay mới chỉ đưa ra cách giải quyết bài toán thuận
b) Tính toán các phần tử của hệ thức (3.6)
Các ma trận cosin chỉ hướng ARi được xác định bởi các phép quay liên tiếp dựa vào lý thuyết trình bày ở mục 2.2, ta thực hiện các phép biến đổi liên tiếp
để hệ toạ độ cố định Oxyz trùng với hệ Aixiyizi
Hình 3.2
Áp dụng hệ thức trong tam giác ta có thể tính được độ dài các đường trung bình, như vậy sẽ xác định được ϕ2 và ϕ3
cos ϕ2 =
2 1
2 2 1
2 2
2 1
OA OA 2
A A OA
3 =
3 1
2 3 1
2 3
2 1
OA OA 2
A A OA
Ma trận ARi được xác định bởi các phép quay liên tiếp từ hệ cố định quanh chính nó như sau:
ARi = Az1 Ax2 Az3 Ax4
Với Az1 , Ax2 , Az3 , Ax4 lần lượt là ma trận cosin chỉ hướng của các phép
quay sau:
-Quay một góc ( 1
2 −β
∏
) quanh trục z0
Y0
Z2
Z1
Z3
2 ϕ
3 β 3 ϕ
β1
2 β
X0
Trang 4-Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc (Π/2)
-Quay tiếp quanh trục z của hệ mới một góc (Π/2 + α1)
-Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc Π
Vậy :
AR1=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α
− α
α
− α
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
β β
β
−
β
1 0 0
0 1 0
0 0 1 0 0
0
1 sin
cos
0 cos
sin 0 1 0
1 0 0
0 0 1 1 0
0
0 sin
cos
0 cos
sin
1 1
1 1
1 1
1 1
AR1=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α α
β α
β α
β
−
β
− α β
α β
−
0 sin
cos
sin cos
cos sin
cos
cos cos
sin sin
sin
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1
Bằng cách tương tự ta cũng xác định được các ma trận AR2 và AR3
Ma trận A R 2 được xác định bởi các phép quay sau:
- Quay hệ cố định một góc ( 2 2
∏
) quanh trục z0
- Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc (Π/2)
- Quay tiếp quanh trục z của hệ mới một góc (Π/2 + α2)
- Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc Π
AR2=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α
− α
α
− α
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
− β ϕ
−
β
ϕ
− β
− ϕ
−
β
1 0 0
0 1 0
0 0 1 0 0 0
1 sin cos
0 cos sin
0 1 0
1 0 0
0 0 1 1 0
0
0 ) sin(
)
cos(
0 ) cos(
)
sin(
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
AR2=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α α
ϕ
− β α
ϕ
− β α
ϕ
− β
−
ϕ
− β
− α ϕ
− β α
ϕ
− β
−
0 sin
cos
) sin(
cos ) cos(
sin ) cos(
) cos(
cos ) sin(
sin ) sin(
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
Ma trận AR3 được xác định bởi các phép rơ quay sau:
- Quay hệ cố định một góc ( 3 3
2 − β − ϕ
∏ ) quanh trục z0
- Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc (Π/2)
Trang 5- Quay tiếp quanh trục z của hệ mới một góc (Π/2 + α3)
- Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc Π
AR3=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α
− α
α
− α
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ
− β ϕ
−
β
ϕ
− β
− ϕ
−
β
1 0 0
0 1 0
0 0 1 0 0
0
1 sin cos
0 cos sin
0 1 0
1 0 0
0 0 1 1 0
0
0 ) sin(
)
cos(
0 ) cos(
)
sin(
3 3
3 3
3 3 3
3
3 3 3
3
AR3=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α α
ϕ
− β α
ϕ
− β α
ϕ
− β
−
ϕ
− β
− α ϕ
− β α
ϕ
− β
−
0 sin
cos
) sin(
cos ) cos(
sin ) cos(
) cos(
cos ) sin(
sin ) sin(
3 3
3 3 3
3 3 3
3 3
3 3 3
3 3 3
3 3
Ta thấy các thành phần của các ma trận ARi (i=1,2,3) chỉ chưa các ẩn là các góc αi còn ϕ2 , ϕ3 và βi (i=1,2,3) đã biết do kết cấu của robot
Mặt khác dựa vào kết cấu của bàn di động B ta có :
(b1 – b2)T(b1- b2) = 2
2
B (3.7)
(b1 – b3)T(b1- b3) = 2
3
B (3.8)
(b2 – b3)T(b2- b3) = 2
3
B (3.9)
Với bi = ai + ARi
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ 0 0
di (i = 1,2,3)
Như vậy các thành phần của hệ thức (3.6) được xác định thông qua 9 ẩn số
α1, α 2, α 3, d1, d2, d3, p1, p2, p3
Khi giải quyết bài toá động học thuận hay ngược, ta biết trước được 3 ẩn (d1, d2, d3 hoặc p1, p2, p3 ) Công việc còn lại chỉ phải giải hệ 6 phương trình 6 ẩn
số
3.1.2 Bài toán động học thuận
Bài toán động thuận là bài toán biết độ dài các chân di (i=1,2,3), ta phải tìm vị trí của bàn máy động p và ma trận ARB
Ta thay các giá trị di vào hệ (3.6), ta được hệ 6 phương trình với 6 ẩn số là: α1, α2, α3,, p1, p2, p3
3.1.3 Bài toán động học ngược
Trang 6Bài toán động ngựoc là bài toán biết vị trí của bàn máy di động pi (i=1,2,3), ta phải tìm vị trí của các chân di (i=1,2,3) và các góc αi (i=1,2,3)
Ta thay các giá trị pi vào hệ (3.6), ta được hệ 6 phương trình với 6 ẩn số là: α1, α2, α3, d1, d2, d3
3.1.4 Tính toán vị trí cho robot song song 3RPS cụ thể
Trên hình 3.3 mô tả sơ đồ động học của một con robot song song 3RPS, có đế
cố định A1A2A3 và bàn di động B1B2B3 là các tam giác đều Độ dài PB1=h: OA1= g Khi các góc ϕ2= ϕ3 = 2π/3 Để đảm bảo tính hợp lý của kết cấu ta có
zi = AiBi , zi ⊥ OAi nên βi = π/2
Khi đó Bb1 =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ 0 0
h
; Bb2 =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
0 2
3 h 2 h
; Bb3 =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
0 2
3 h 2 h
(3.10)
A1
A2
A3 B1
B3
B2
Hình 3.3: Cấu trúc chấp hành song song 3RPS
Đế cố định
Bàn máy động
x0
y0
z0
x1
x1
x2
x3
z1
z2
z3
1
α
2
α
3
α
y1
z1
P
O
Trang 7a1=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
g
; Bb2 =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
0 2
3 g 2 g
; Bb3 =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
0 2
3 g 2 g
(3.11)
Sử dụng công thức (3.7), (3.8), (3.9) thay vào hê thức (3.6) :
Các ma trận AR1 trở thành:
AR1 =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α α
α α
−
0 sin
cos
1 0 0
0 cos
sin
1 1
1 1
(3.12)
AR2 =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α α
− α α
−
− α
− α
−
0 sin
1 cos
2
3 sin
2
3 cos
2
1 sin
2 1
2 2
2 2
2 21
(3.13)
AR3 =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α α
− α
− α
α
− α
0 sin
1 cos
2
3 sin
2
3 cos
2
1 sin
2 1
3 3
3 3
3 3
(3.14)
Thay vào hệ thức (3.6) ta được:
+ Với i = 1:
p1 + ux h = g – d1.sinα1
p2 + uy.h = 0
p3 + uz.h = d1cosα1
Suy ra:
ux =
h
sin d p
Trang 8uy =
h
p2
−
uz =
h
p cos
+ Với i = 2
2 2
x x
2
1 2
g 2
3 h v 2
h u
2
3 2
3 g 2
3 h v 2
h
u
2 2
x z
2
3 h v 2
h u
+ Với i = 3
3 3
x x
2
1 2
g 2
3 h v 2
h u
2
3 2
3 g 2
3 h v 2
h
u
3 3
x z
2
3 h v 2
h u
Thực hiện các phép biến đổi (3.15), (3.16), (3.17) và thay các Bbi vào (3.7), (3.8), (3.9) ta được:
3p1 =
2
1
(d2sinα2 + d3sinα3) – d1sinα1
3p2 =
2
3
− (d2sinα2 - d3sinα 3)
3p3 = d1cosα1 + d2cosα2 – d3cosα3 (3.18)
3g2 – 3gd1sinα1 - 3gd2sinα2 +d1 d2sinα1.sinα2 – 2d1d2cosα1.cosα2+ d
2 2
2
2
1+ d = 3 h
3g2 – 3gd1sinα1 - 3gd3sinα3 +d1 d3sinα1.sinα3 – 2d1d3cosα1.cosα3+
2 2
3
2
1 d 3 h
Trang 93g2 – 3gd2sinα2 - 3gd3sinα3 +d2d3sinα2.sinα3 – 2d2d3cosα2.cosα3+
2 2
3
2
3 d 3 h
Hệ (3.18) là dạng khai triển của hệ (3.6) áp dụng cho một robot song song 3RPS cụ thể, nhờ hệ này ta có thể áp dụng tính toán và giải bài toán động học robot một cách trọn vẹn
a) Bài toán động học thuận
Bài toán động học thuận là bài toán biết độ dài các chân di (i = 1,2,3) ta phải tìm vị trí của bàn máy động p và ma trận ARB
Theo phần trên ta thay các giá trị di (i = 1,2,3) vào hệ (3.8) ta sẽ được hệ 6 phương trình 6 ẩn là α1, α2, α3, p1, p2, p3
Chú ý 3 phương trình sau của hệ (3.18) chỉ chứa di và αi nên việc giải hệ 6 phương trình 6 ẩn đơn giản còn có 3 phương trình 3 ẩn là αi Sau đó thay các giá trị của di và αi vào 3 phương trình đầu ta sẽ được các giá trị của p
Các gía trị còn lại được tính bằng cách thay trực tiếp vào phương trình (3.15), (3.16), (3.17)
b) Bài toán động học ngược
Bài toán động học ngược là bài toán biết vị trí bàn máy động p, ta phải tìm độ dài các chân di (i = 1,2,3) và các góc αi (i=1,2,3)
Tương tự như cách làm đối với bài toán động học thuận ta thay các giá trị p vào hệ (3.18), ta sẽ được hệ 6 phương trình với 6 ẩn số là α1, α2, α3, d1, d2, d3
Các giá trị còn lại được tính bằng cách thay trực tiếp vào phương trình (3.15), (3.16), (3.17)
3.2 Bài toán phân tích Jacobi
3.2.1 Ma trận Jacobi của robot song song không gian
Trong phần trước ta đã xây dựng được các điều kiện dàng buộc động học của
cơ cấu, các điều kiện này có dạng tổng quát :
f (x,q) = 0 (3.19)
Trong đó: q là biến khớp tác động
x đặc trưng vị trí bàn máy di động
f là hàm ẩn n chiếu theo q và x
Đạo hàm (3.19) theo thời gian ta được:
q q
f x
x
f
&
& ∂= ∂
∂
∂
(3.20)
Trang 10Nếu đặt
x
f J
∂
∂
=
x và
q
f J
∂
∂
=
q thì hệ (3.20) có dạng :
q J
x
Jx& = q.& (3.21)
Từ đó ta có:
x J J
q& x&
1
q
−
= (3.22)
Ta có thể biểu diễn (3.22) dưới dạng sau:
x
J
q& = 1& với J1 = - 1 x
q .J
J (3.23) Tương tự ta cũng có được :
q J J
x& 1 q.&
x
−
= (3.24)
q
J
x& = 2.& với 1 q
x
2 J J
J = − (3.25)
Trong đó J1 , J2 là các ma trận Jacobi ứng với 2 trạng thái động học thuận và
động học ngược
Các trạng thái đặc biệt
Với sự tồn tại hai ma trận Jacobi, cơ cấu chấp hành song song có cấu hình đặc
biệt khi Jx, Jq hoặc cả hai trạng thái đặc biệt do đó có thể tìm được ba kiểu
trạng thái đặc biệt:
+ Khi định thức của Jq tiến đến zero
det(Jx) = 0 (3.26)
Khi đó tồn tại các véc tơ q& khác zero dẫn đến kết quả vectơ x& bằng zero Tức
là chuyển động vi phân của bệ di động theo một số chiều không thể thực hiện
được, cơ cấu chấp hành bị dàng buộc lại và mất đi một số bậc tư do Trạng
thái đặc biệt động học đảo thường xảy ra ở biên không gian hoạt động của cơ
cấu chấp hành
+ Khi định thức Jx bằng zero
det(Jx) = 0 (3.27)
Khi đó tồn tại các véc tơ x& khác zero dẫn đến kết quả vectơ q& bằng zero
Trong trường hợp này bệ di động có thể chuyển động vi phân theo một số
chiều, còn mọi bộ tác động khác đều bị khoá tức là hệ sẽ tăng lên một số bậc
tự do
+Khi cả hai định thức của Jx và Jq đều bằng zero
Trong phạm vi đồ án này ta không xét tới các trạng thái động học đặc biệt
này
Trang 113.2.2 Phân tích Jacobi Robot song song 3RPS tổng quát
Từ công thức (3.6):
p + ARB.Bbi = ai + ARi.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ 0 0
di
(i = 1,2,3)
Đạo hàm công thức (3.6) ttheo thời gian ta được :
A1
A2
A3 B1
B3
B2
Hình 3.4: Cấu trúc chấp hành song song 3RPS
Đế cố định
Bàn máy động
x0
y0
z0
x1
x1
x2
x3
z1
z2
z3
1
α
2
α
3
α P
O
y1
z1
Trang 12⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ +
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ +
= +
0 0
d 0
0
d
i i
i i i i B
A
&
&
&
&
Do ai là hằng số nên đạo hàm a&i =0
Từ phương trình (2.28) ta có:
i
T
i
i.R ω~
R& =
Nên R& =ω ~ Ri i (3.29)
B
A B
.
AR =ω ~ R
Trong đó:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ω ω
−
ω
− ω
ω ω
−
=
0 0
0
~
1 i 2 i
1 i 3
i
2 i 3 i i
1
i
ω , ω ,i2 ω là các thành phần vận tốc góc của chân thứ i so với hệ cố định i3
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ω ω
−
ω
− ω
ω ω
−
=
0 0
0
~
1 2
1 3
2 3
ω
1
Chú ý:Do vector vận tốc góc ωr có hướng theo các trục zi tương ứng trên hình i chiếu của nó lên các trục x0,y0,z0 cho ta ωι3=0
Vậy
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ω ω
−
ω
−
ω
=
0
0 0
0
0
~
1 i 2 i
1 i
2 i i
Nếu biết ωi1(hoặc ωi2) ta có thể xất định các thành phần còn lại từ các tham
số hình học của hệ
Phương trình (3.28) được viết dưới dạng :
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ +
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0 0 d 0
0
d
~
i
i i i
B B
&
Khai triển (3.30) ta sẽ được 9 phương trình, các đại lượng đã biết từ bài toán tìm vị trí và tham số hình học của robot là: di,Bbi,Ri,AR B (i=1,2,3)
Trang 13-Bài toán Jacobi thuận : Biếtd& (i=1,2,3) ta có 9 phương trình đại số tuyến tính i
để giải 9 ẩn: p &1, p &2, p &3, ω1, ω2, ω3, ω11, ω21, ω31
-Bài toán phân tích Jacobi ngược: Biết [ ]T
3 2
1,p ,p
p& & &
& =
p hoặc ω ta có 9 phương trình đại số tuyến tính để giải 9 ẩn: d&1,d&2,d&3,ω1,ω2,ω3 (hoặc p&),
31
21,
Ma trận Jacob được mô tả trong mục (3.2.1) sẽ được xát định khi sắp xếp các
số hạng của phương trình (3.30)
3.2.3 Phân tích Jacobi của một robot song song 3RPS cụ thể
Đạo hàm phương trình (3.18) ta được hệ (3.31):
3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1
3
3 3 3 3 3 2
2 2
1 1 1 1 3 3 3 3 3 2
2
1
sin d cos
d sin d cos
d sin d cos
d
p
cos d sin
d cos d sin
d
2
3
p
cos d sin
d cos d sin
d cos d sin
d
2
1
p
α α
− α
− α α
− α +
α α
− α
=
α α
− α
− α α
+ α
−
=
α α
− α
− α α
+ α +
α α
+ α
=
2 2
2
1 2
2 2
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
sin cos
d d 2 sin
cos d d cos
gd
3
cos cos
d 2 d 2 sin
sin d sin
g
3
d
cos cos
d 2 d 2 sin
sin d sin
g
3
d
0 sin
cos d d 2 sin
cos d d cos
gd
3
sin cos
d d 2 sin
cos d d cos
gd
3
cos cos
d 2 d 2 sin
sin d sin
g
3
d
cos cos
d 2 d 2 sin
sin d sin
g
3
d
3 1
3 1 1 3
3 1 3 3
3
1 3 3
1 3 1
3 1 1 1
1
3 1
3 3 1
1 3 3
3 3
1 3 1
3 1
2 1
2 1 1 2
2 1 2 2
2
1 2
2 1 2 1
2 1 1 1
1
1 2 2 1
1 2 2
2 1 2 1
2 1
= α α
− α α
+ α
−
α
+ α α
− α α +
α
−
α
+ α α
− + α α +
α
−
+ α α
− + α α
− α
−
= α α
− α α
+ α
−
α
+ α α
− α α +
α
−
α
+ α α
− + α α +
α
−
+ α α
− + α α
− α
−
1
1 1
2 1
2 1
1
&
&
&
&
&
&
&
&
sin cos d d 2 sin cos d d cos
gd
3
cos cos
d d 2 sin sin d sin
g
d
cos cos
d d 2 sin sin d sin
g
3
d
3 2 3
2 2 3 3
2 3 3
3
2 3 3 2 3 2 3
2 2 2
2
3 2 2
3 3 2 2 3
3
3 2
3 2 3 2 3 2 2
= α α
− α α +
α
−
α
+ α α
− α α +
α
−
α
+ α α
− + α α +
α
−
+ α α
− + α α
− α
−
&
&
&
&
