2.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng a Tính chất 1: ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao.. Do đó A là ma trận trực giao.. Do tính chất của ma trận cosin c
Trang 1CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC
CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN
2.1 Ma trận cosin chỉ hướng
2.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn
Cho vật rắn B và hệ quy chiếu R = { ( 0 )
3 ) 0 ( 2 ) 0 (
1 , e , e
3 ) 0 ( 2 ) 0 (
1 , e , e
ba véc tơ đơn vị trên các trục Ox0, Oy0, Oz0 Ta gắn chặt vật rắn vào một hệ quy chiếu R = {er1,er2,er3}, với
3 2
1,e ,e
er r r là ba véc tơ đơn vị trên các trục Az,
Ay, Az, (Hình 2.1)
`
Định nghĩa ma trận vuông cấp ba
A=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 ) 0 ( 3 2 ) 0 ( 3 1 ) 0
(
3
3 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( 2 1 ) 0
(
2
3 ) 0 ( 1 2 ) 0 ( 1 1 ) 0
(
1
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
r r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
(2.1)
được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R0
A
O
Hình 2.0
y0
z0
x0
B
y1
z1
x1
z
y
) 0 ( 1
er
) 0 ( 3
er
) 0 ( 2
er
2
er
1
er
3
er
x1
Trang 2Nếu ta đưa vào ký hiệu
aij = er( 0 )
i erj = cos(er ( 0 )
i erj), với (i,j = 1,2,3) (2.2) Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.1) có dạng
A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
(2.3)
Từ định nghĩa trên, trong hệ quy chiếu R0 ta có các hệ thức hiên hệ:
) 0 ( 3 31 ) 0 ( 2 21 ) 0 ( 1 11
) 0 ( 3 32 ) 0 ( 2 22 ) 0 ( 1 12
r = + + (2.4)
) 0 ( 3 33 ) 0 ( 2 23 ) 0 ( 1 13
Nếu ta ký hiệu ei là ma trận cột gồm các phần tử của véc tơ eri trong hệ qui chiếu R0
Ta có:
e1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
31
21
11
a
a
a
, e2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= 32 22 12
a a
a
, e3
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= 33 23 13
a a
a (2.5)
Tìm ma trận cosin chỉ hướng (2.3) có dạng:
A = [e1, e2, e3] (2.6)
Ma trận cosin chỉ hướng A còn được gọi là ma trận quay của vật rắn
2.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng
a) Tính chất 1: ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao
Theo công thức (2.6):
A = [e1, e2, e3]
Ma trận cosin chỉ hướng A là ma trận cột có ba cột là ba véc tơ trực chuẩn
Do đó A là ma trận trực giao
Do tính chất của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao nên A.AT = E
Từ đó nhận được 6 phương trình liên hệ giữa các thành phần của ma trận cosin chỉ hướng như sau:
Trang 31 a a
31
2
21
2
11+ + = a11a12 + a21a22 + a31a32 = 0
1 a a
32
2
22
2
12 + + = a11a13 + a21a23 + a31a33 = 0
1 a a
33
2
23
2
13 + + = a12a13 + a22a23 + a32a33 = 0
Do vậy chỉ có 3 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là độc lập
Từ hệ thức A.AT = E ta suy ra:
det(A.AT)= det(A) det(AT)= det(E)=1
Do: det(A)=det(AT) nên ta có det(A)=± 1 Ta có thể chứng minh det(A)=1
2.1.3 Ý nghĩa của ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn
Xét một hệ qui chiếu R0 và R có cùng gốc O Trong đó hệ qui chiêú R0≡
Ox0y0z0 là hệ qui chiếu cố định, Hệ qui chiếu R≡Oxyz gắn liền với vật rắn B Lấy điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B Vị trí của điểm P được xát định bởi vectơ định vị OP=rp.(Hình 2.1)
Hình 2.1
Ký hiệu các toạ độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là xp, yp, zp, các toạ độ của điểm P toạ độ hệ qui chiếu cố định Ox0y0z0 là 0
p
x , y0
p, z0
p
Ta có hệ thức sau:
) 0 ( 3 ) 0 ( p ) 0 ( 2 ) 0 ( p ) 0 ( 1 ) 0
(
p
p x e y e z e
z
x
y0 y
x0
z0
) 0 ( 2
er
) 0 ( 3
er
) 0 ( 1
er
2
er
3
er
1
er
P
B
Trang 43 p 2 p 1 p
p x e y e z e
Thế các biểu thức (2.4) vào hệ thức (2.8) ta được:
r = x ( a e + a e + a e( 0 )) +
3 31 ) 0 ( 2 21 ) 0 ( 1 11 p
p
r r
r
y ( a e + a e + a e( 0 )) +
3 32 ) 0 ( 2 22 ) 0 ( 1 12 p
r r
r
z ( a e a e a e( 0 ))
3 33 ) 0 ( 2 23 ) 0 ( 1 13 p
r r
Hay:
+ +
+
1
p
r
e( 0 )( a21 xp + a22 yp + a23 zp) +
2
r
e( 0 )( a31 xp a32 yp a33 zp)
r
So sánh các biểu thức (2.7), và (2.10) ta suy ra hệ phương trình:
p 13 p 12 p 11 )
0
(
p a x a y a z
( 0 ) 21 p 22 p 23 p
p a x a y a z
( 0 ) 31 p 32 p 33 p
p a x a y a z
Hệ phương trình (2.11) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
p p p
33 32 31
23 22 21
13 12 11
)
0
(
p
)
0
(
p
)
0
(
p
z y
x a a a
a a a
a a a z
y
x
(2.12)
Từ hệ phương trình (2.12) ta rút ra kết luận sau:
Ma trận cosin chỉ hướng A biến đổi các toạ độ của điển P bất kỳ thuộc vật
rắn trong hệ quy chiếu động Oxyz sang các toạ độ của điểm P đó trong hệ quy chiếu cố định Ox0y0z0
2.2 Các ma trận quay cơ bản
Ta quy ước hướng quay đơn là hướng ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ ( Hình 2.2)
Trang 5
Các phép quay quanh trục x,y,z của hệ toạ độ vuông góc Oxyz được là phép quay cơ bản
Ta tìm ra ma trận quay của phép quay quanh trục một góc ϕ (Hình 2.3)
Theo công thức định nghĩa (2.1) ta có:
Ax0(ϕ) =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 ) 0 ( 3 2 ) 0 ( 3 1 ) 0 ( 3
3 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( 2 1 ) 0 ( 2
3 ) 0 ( 1 2 ) 0 ( 1 1 ) 0 ( 1
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
r r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
(2.13)
Ax0(ϕ) =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ ϕ
ϕ
− ϕ cos sin
0
sin cos
0
0 0
1
` (2.14)
Ma trận (2.14) được gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x0
bằng cách tương tự ta xác định được các ma trận quay cơ bản quanh các trục
y0 và z0 (Hình 2.4)
y e
z
Hình 2.3
y0
z0
) 0 ( 3
er
) 0 ( 2
er
3
er
H×nh 2.2
z
O
x
y
ψ
θ
ϕ
Trang 6Ay0(ψ) =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ψ ψ
−
ψ ψ
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
, Az0(θ)=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ θ
θ
− θ
1 0
0
0 cos
sin
0 sin cos
(2.15)
Từ các công thức (2.14), (2.15) ta dễ dàng tính được:
detAx0(ϕ) = detAy0(ψ) = detAz0(θ)
2.3 Vận tốc góc của vật rắn
Vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định Ox0y0z0 Lấy D là một điểm nào đó thuộc vật rắn B Gắn chặt vào vật rắn B hệ qui chiếu động Dxyz Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B như hình vẽ (2.5)
-Gọi vrpvà vrD là vận tốc của điểm P và diểm D bất kỳ trên hệ cố định R0
-Gọi A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ R0 [1]
Từ hình vẽ ta có:
p D
Đạo hàm phương trình (2.16) trong hệ qui chiếu cố định R0 ta được:
dt
s d dt
r d dt
r
D
R p
R0 r 0 r 0 r
+
x z
x0
z0
) 0 ( 3
er
) 0 ( 1
er
3
er
ψ
1
er
x y
x0
y0
)
0
(
2
er
) 0 ( 1
er
2
er
θ 1
er
Trang 7SrP
Theo công thức định nghĩa vận tốc góc của vật rắn [1] ta có:
dt
s
d p
R0 r
= rωxrsp
Thay vào công thức (2.17):
p D
vr = r +ωr r (2.18) Biểu thức 2.46 dưới dạng ngôn ngữ đại số:
p
R D
R
p
R 0v = 0 v +ω~ 0s (2.19) Mặt khác ta biểu diễn phương trình (2.16) dưới dạng đại số:
p
R D
R
p
R 0r = 0 r + 0 s (2.20)
Do A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B nên:
p p
R0s =A.s (2.21)
sp: là dạng đại số của véc tơ srp trên hệ động Dxyz
Vậy:
p D
R
p
R0 0
A.s r
r = + (2.22) Đạo hàm phương trình (2.22) theo t ta được :
p D
R
p
R0v = 0 v +A.s (2.23)
0
x0
z 0
y0
x
y
z
rD
rP
P
D
Trang 8Vì A là ma trận cosin chỉ hướng nên là ma trận trực giao Từ công thức (2.21)
ta suy ra:
p R T p R 1 p
0
A
s = − = (2.24) Thay (2.24) vào (2.23) ta được:
p R T D
R
p
R0v = 0 v +A.A s0 (2.25)
So sánh (2.19) và (2.25) ta có :
ω~ = A& AT (2.26)
Như vậy nếu biết ma trận cosin chỉ hướng A của vật rắn B và ma trận A&, ta
có thể xác định được các thành phần vận tốc góc của vật rắn B theo công thức (2.26)
