Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến ST và SK và một cát tuyến SAB A nằm giữa S và B; A, B nằm trên cùng một cung tròn chứa điểm T.. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc [r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang
ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P = (3 x +3√x −3
x +√x − 2 +
1
√x −1+
1
√x +2 − 2): 1
x −1
1 Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó rút gọn P
2 Tìm các số tự nhiện x để P1 là số tự nhiên
3 Tính giá trị của P với x=√3 2+10√271 +
3
√2−10√271
Câu 2: (4,0 điểm) Cho phương trình x2 + 5mx - 4m = 0
1 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt;
2 Với điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 Chứng minh rằng
x12 + 5mx2 - 4m > 0;
3 Tìm m để biểu thức x m2
1 2 +5 mx2+12 m+
x22 +5 mx1+12 m
m2 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 3: (4,0 điểm).
1) Giải phương trình x 3 x 1 x 1 1
2) Giải hệ phương trình
2 2
2 4
x y xy
x y
Câu 4: (6,0 điểm).
Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ các tiếp tuyến ST và SK và một cát tuyến SAB (A nằm giữa S và B; A, B nằm trên cùng một cung tròn chứa điểm T) Từ
A kẻ đường thẳng vuông góc với OT cắt TK và TB lần lượt tại C và D Chứng minh rằng
CA = CD
Câu 5: (2,0 điểm).
1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá avà ký hiệu là a Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, biểu thức
2
27 3
n n
không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương 2) Với x y z, , là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx 5, tìm giá trị
.
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI C ẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2NĂM HỌC 2011 – 2012 Đáp án gồm: 02 trang
II, ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
1
1
P= x +3√x+2
(√x −1)(√x +2) .(x − 1)
¿
(√x −1)(√x+2).(√x −1)(√x +1)
√x +1¿2
¿ ¿
0,5
2
Do √x+1¿2≥1
¿ với mọi x ≥ 0 nên
√x+1¿2
¿
¿
0<1
¿
Vì thế
√x +1¿2
¿
√x +1¿2
¿
√x+1¿2=1
¿
¿
1
P=
1
¿
0,5
0,5
Mà √x+1>0 ⇒√x +1=1 ⇔ x=0 Khi đó P1=1 là số tự nhiên 0,5
3
Đặt a=√32+10√271 ;b=
3
√2− 10√271 ta có
¿
a3+b3=2
3 a b=8
¿
Lập phương cả hai vế ta có x3 = 4 + 2x ⇔ x3 - 2x - 4 = 0
⇔ (x - 2)(x2 + 2x + 2) = 0
do x2 + 2x + 2 > 0 nên x = 2
Vậy P = √2+1¿2=3+2√2
¿
0,5
0,5 0,25 0,25
Để PT đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ĐK cần và đủ là:
0,5
Trang 3Δ = 25m2 + 16m > 0
⇔ m>0
¿
m<−16
25
¿
¿
¿
¿
¿
2
Theo hệ thức Vi-ét:
¿
x1 +x2 =5 m
x1 x2=−4 m
¿
0,25
Vì x1 là hiệm của pt nên: x12 - 5mx1 - 4m = 0 => x12 = 5mx1 + 4m
Do đó x12 + 5mx2 - 4m = 5mx1 + 4m + 5mx2 - 4m
= 5m(x1+ x2 ) = 25m2 > 0
0,25
0,25
3
Theo câu b ta có x12 + 5mx2 - 4m = 25m2
suy ra x12 + 5mx2 +12m = 25m2 + 16m
Tương tự x22 + 5mx1 +12m = 25m2 + 16m
0,25
Vậy
2
x12 +5 mx2+12 m+
x22 + 5 mx1+12 m
m2
m2
25 m2+16 m+
25 m2 +16 m
m2
0,5
Áp dụng BĐT Côsi với hai số dương tao có:
S ≥2√ m2
25 m2+16 m .
25 m2+16 m
m2 =2
0,5
Dấu “=” xảy ra khi: m4=(25m2 + 16m)2 <=> 24m2 +16m = 0
⇔ m=0
¿
m=−2
3
¿
¿
¿
¿
¿
(m= 0 loại)
Vậy MinS= 2 khi m = −2
3
0,5
0,5 0,25 0,25
phương trình tương đương với
3
( 1 1) 1
3( 1 x 1) x x 3
0,5
Trang 4Nếu 0 x 1 3 1 x 1 3
đồng thời x x 3 1 4 3 Suy ra VTVP (loại)
0,5
2
0
Xét x0,y0 hệ phương trình tương đương với
0,5
0,5
Thay (1) vào (2) ta thu được
3
1 1
2
1 1
8
1 1
x y
x y
xy
4 Vẽ hình chính xác
0,5
Lấy I là trung điểm của AB => OI AB
Chứng minh được 5 điểm S; T; I; O; K cùng thuộc đường tròn đường kinh SO
sđ STK = sđ SIK = 12 sđ TK (1)
Ta có sđ ACK = 12 (sđ AT + sđ TP)
Mà sđ AT = sđ TP (do ST//AP)
=> sđ ACK = 12 sđ TK (2)
Từ (1) và (2) suy ra ACK = AIK Vậy tứ giác AKIC nội tiếp
0,5 0,75 0,5
0,5 0,5
0,5
Suy ra AIC = AKC (cùng chắn cung AC)
0,5
P
I
O
D C
B
A
K T
S
Trang 5mà AKC = TBA
suy ra AIC = TBA mà hai góc này ở vị trí đồng vị => CI//DB
Trong tam giác ADB có CI//DB, IA = IB => C là trung điểm của AD
Hay CA = CD (đpcm)
0.75 0,75 0,25
5
1
Ký hiệu
,
27 3
K n
do n 1 K 1 Ta có
1
27 3
K n K
0,25
2
K
3
K
Suy ra
2
27 3
n K n n
không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương.
0,25
2
6 x 5 6 y 5 z 5 6 x y x z 6 y z y x z x z y
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương
0,25
x y x z x y y z z x z y
0,25
3
P
Đẳng thức xảy ra x y 1,z2.
Vậy min
2 3
Ghi chú: - Thí sinh trình bày đúng, đủ nội dung bài làm cho 20 điểm.
- Điểm của toàn bài là tổng điểm thành phần và được làm tròn số đến 0,5đ.
……… Hết ………