Qua M kẻ các đường thẳng d, d' lần lượt song song với AC, BD chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N,Q.. Qua N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P.[r]
Trang 1P GiÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (4đ)
Cho biểu thức:
A
a Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
b Rút gọn A.
c Tìm các giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2(4đ)
1 Cho phương trình x2−(a+ b)x − ab=0 (x là ẩn), có hai nghiệm là
x1, x2
Tìm x1, x2 biết rằng: x12
+x22 +2=2( x1+x2− 2 x1x2)
2 Giải hệ phương trình:
(x2 +x )(x+ y)=−4
x +1¿2+y=1
¿
¿
¿ {
¿
Câu 3 (4 đ)
1 Giải phương trình:
x
2 Gọi x 1, x2 là hai nghiệm của phương trình:
x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 ( với m là tham số) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = |x1 +x2+x1x2|
Câu 4:(6 đ)
1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=6cm, AD=4cm M là một điểm bất kì trên cạnh AB (M không trùng với A và B) Qua M kẻ các đường thẳng d, d' lần lượt song song với AC, BD chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N,Q Qua
N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P Tìm vị trí của M trên AB để diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất
2 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Gọi O là tâm hình vuông ABCD,
M là trung điểm cạnh OB, N là trung điểm cạnh CD H là chân đường cao hạ từ
M của tam giác AMN Chứng minh AMN là tam giác vuông cân, từ đó tính độ dài đoạn AH theo a
Câu4:(2đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn (x y y)( z z)( x) x y z
Chứng minh: x + y + z chia hết cho 27.
……….Hết………
Trang 2SỞ GiÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THCS
THI THỰC HÀNH NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM
Hướng dÉn chÊm Toán
Câu 1
4đ
1 (2 điểm)
a (1 đ)
0 0
1 0
1 16
16
x x
x
x x
x
x
x x
1
b.(1,5 điểm)
A
=
4
x
………
c, (1,5đ) Ta có: A = √x −2
√x − 4=1+
2
√x −4
Để A nhận giá trị nguyên thì 2
√x − 4=k ∈ Ζ (k 0) => √x= 4 k +2
k
Do x 0; x 1, x 16 => k ≤− 1
k ≥1
Vậy các giá trị của x cần tìm là x = 4 (2 k+1 k )2 với k ∈ Ζ và k ≠¿
¿ 0
0,5
1
0,5 0,5
0,5
Câu 2
4đ
1) (2 điểm).
Ta có x12
+x22 +2=2( x1+x2− 2 x1x2) x1 +x2 ¿2+2 x1 x2−2(x1 +x2 )+2=0
¿ (1)
Theo định lí Vi-ét ta có:
¿
x1+x2=a+b
x1x2=−ab
¿ {
¿
thay vào (1) ta được:
0,5
0,5
0,25 0,5
0,25
Trang 3a+b¿2− 2ab − 2(a+b)+2=0
¿ b −1¿
2
= 0
a −1¿2+ ¿
¿
¿
a=1 b=1
¿ {
¿
Thay vào phương trình ta được: x2 – 2x – 1 = 0
x=1+√2
¿
x=1−√2
¿
¿
¿
¿ Vậy x1=1+√2 , x2=1−√2 hoặc x1=1−√2 , x2=1+√2
2) (2điểm).
Hệ phương trình tương đương:
¿ (x2+x )(x+ y)=−4
(x2+x )+(x + y )=0
¿ {
¿ Đặt u=x2+x , v=x + y ta được hệ:
¿
uv =−4
u+v=0
¿ {
¿
¿
u=− 2
v =2
¿ {
¿
hoặc
¿
u=2
v =−2
¿ {
¿
Với
¿
u=2
v =−2
¿ {
¿ suy ra
¿
x2+x=2 x+ y=−2
¿ {
¿
x =1
¿
x=− 2
¿
¿y=− 2− x
¿
¿ {
¿
¿
¿
¿x=1 y=− 3
¿
¿
¿
x=−2
¿
y=0
¿
¿
¿
¿
¿ Với
¿
u=− 2
v =2
¿ {
¿ suy ra
¿
x2+x=− 2 x+ y=2
¿ {
¿
vô nghiệm
Vậy hệ có hai nghiệm:
¿
x=1 y=− 3
¿ {
¿
và
¿
x=−2
y =0
¿ {
¿
0,5
0,25
0,25
0,5 0,25
0,25
Câu 3
4đ
1, (2đ)
1 1 2 1 3 (1)
Nếu x>2 thì (1) x 1 2x=5 (thoả mãn)
0,5
0,5 0,5
Trang 4Nếu 1≤x≤2 thì (1)
25
9
x x
(loại)
………
2, (2đ) Phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 có nghiệm
khi:[-(m – 1)]2 – (2m2 – 3m + 1) 0 0 ≤ m≤1 (1)
* Với 0 ≤ m≤1 , phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 Ta có:
P = |x1+x2+x1x2|=|2m2−m− 1|=2| (m−1
4)2− 9
16|
Vì 0 ≤ m≤1 => −1
4≤ m−
1
4≤
3
4⇒(m−1
4)2≤ 9
16
Do đó P = 2[ 9
16−(m−1
4)2]= 9
8− 2(m−1
4)2≤9
8 và
P = 98⇔ m=1
4 (thoả (1)) Vậy Giá trị lớn nhất của P là 98 khi m = 14
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 4
6đ
1, (3đ)
dt(MNPQ)= dt(ABCD)-dt(AMQ)-dt(BMN)-dt(CNP)-dt(DPQ)
= dt(ABCD)-2dtAMQ)-2dt(BMN)
Đặt AM = x suy ra BM = 6 - x
Vì tam giác AMQ đồng dạng với tam giác ABD nê ta có:
AM AQ AM AD x x
suy ra AQ
AB AD AB
suy ra QD=BN=
2 12 2 4
x x
Suy ra dt(MNPQ) =
2
0,5
0,5
0,5
0,5
N Q
P
Trang 5 2
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=3
Vậy khi M là trung điểm của AB thỡ dt(MNPQ) lớn nhất
0,5
0,5
Câu 5
(2đ)
2.(3đ)
Hạ NK vuụng gúc với BD, suy ra NKsong song và băng 1/2 OC suy
ra NK=OM,
cũng cú OK bằng 1/2 OD suy ra MK = OA
Vậy hai tam giỏc vuụng OAM và KMN bằng nhau, suy ra AM=MN
và gúc KMN băng gúc OAM suy ra AMN = 1v, Vậy ta, giỏc AMN vuong cõn tại M
Đường cao MH là đường trung tuyến, suy ra MH=
2
a a
AN AD DN a
……… Xét 3 số d của x, y, z khi chia cho 3
+ Nếu 3 số d là khác nhau thì 3 số d đó là 0, 1 và 2 thì (x+y+z) 3
Khi đó (x - y) ; (y - z) và (z - x) đều không chia hết cho 3
(x - y)(y - z)(z - x) không chia hết cho 3 (vô lý)
+ Nếu có 2 số d bằng nhau thì x + y + z không chia hết cho 3
Trong khi đó một trong 3 hiệu x - y ; y - z ; hoặc z - x chia hết cho 3
(x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3 (vô lý)
+ Nếu có 3 số d bằng nhau (x-y) 3 ; (y-z) 3 ; (z-x) 3
(x-y)(y-z)(z-x) 27
mà (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z x + y + z 27 (đpcm)
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
M
N O