De hoc sinh gioi mon toan lop 9 ha noi

Năm điểm phân biệt được đặt tùy ý vào hình chữ nhật sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng mỗi điểm trong năm điểm đó có thể đặt được đặt trên cạnh hoặc đặt nằm trong hình chữ nhật.. i

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

BỘ ĐỀ HỌC SINH GIỎI

Tài liệu sưu tầm, ngày 31 tháng 3 năm 2021

MỤC LỤC

1 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2021

2 Đề thi HSG quận Đống Đa năm 2021

3 Đề thi HSG quận Gia Lâm năm 2021

4 Đề thi HSG quận Long Biên năm 2021

5 Đề thi HSG quận Nam Từ Liêm năm 2021

6 Đề thi HSG quận Ba Đình năm 2021

7 Đề thi HSG quận Hai Bà Trưng năm 2021

8 Đề thi HSG quận Tây Hồ năm 2021

9 Đề thi HSG huyện Thanh Oai năm 2021

10 Đề thi HSG huyện Ba Vì năm 2021

11 Đề thi HSG huyện Chương Mỹ năm 2021

12 Đề thi HSG huyện Đan Phượng năm 2021

13 Đề thi HSG quận Long Biên vòng 2 năm 2021

14 Đề thi HSG huyện Mỹ Đức năm 2021

15 Đề thi HSG huyện Ứng Hòa năm 2021

16 Đề thi HSG quận Cầu Giấy năm 2021

17 Đề thi HSG quận Long Biên vòng 2 năm 2021

18 Đề thi HSG huyện Thanh Oai vòng 2 năm 2021

19 Đề thi HSG trường ARCHIMEDES ACADEMY năm 2021

20 Đề thi HSG quận Ba Đình vòng 2 năm 2021

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2021

Võ Quốc Bá Cẩn – Nguyễn Lê Phước

P x = x +ax+ b có một nghiệm là 1+ 3 (a, b là các số hữu tỉ) Chứng minh

rằng đa thức P(x) chia hết đa thức 2

Bài 4 (6.0 điểm) Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (I) tiếp

xúc với các cạnh BC, CA lần lượt tại điểm D, E Qua điểm B, kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BI, cắt đường thẳng AI tại điểm J Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm J trên đường thẳng BC

a) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 3x +2y = +1 2 z

b) Cho một hình chữ nhật có diện tích bằng 1 Năm điểm phân biệt được đặt tùy ý vào hình chữ

nhật sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng (mỗi điểm trong năm điểm đó có thể đặt được đặt trên cạnh hoặc đặt nằm trong hình chữ nhật)

i) Chứng minh rằng mọi tam giác tạo bởi ba điểm trong năm điểm đã cho đều có diện tích không

vượt quá 1

2

ii) Với mỗi cách đặt năm điểm vào hình chữ nhật như trên, gọi n là số tam giác có ba đỉnh là ba

điểm nằm trong năm điểm đó và diện tích không vượt qua 1

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của n

LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN CÁC BÀI TOÁN Bài 1 (5.0 điểm)

P x = x +ax+ b có một nghiệm là 1+ 3 (a, b là các số hữu tỉ) Chứng minh

rằng đa thức P(x) chia hết đa thức 2

Với mọi số nguyên x, ta có x chia 3 dư 0, 1 hoặc 2 nên 2

x chia 3 dư 0 hoặc 1.Suy ra 2

a và 2

b khi chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1 Như vậy, để 2 2

a +b chia hết cho 3, ta phải có 2

a và 2

b cùng chia hết cho 3, tức a và b cùng chia hết cho 3 Mặt khác, do a + b + c chia hết cho 3 nên c cũng chia hết cho 3 Từ đây, dễ thấy ab−bc−ca chia hết cho 9 Ta có điều phải chứng minh

b) Từ giả thiết, ta có P(1+ 3), hay (a+6) 3= −(a+ +b 10 )

Nếu a+ ≠6 0 , ta có 3 10

6

a b a

Bình luận: Để chứng minh Q≥2, ta còn có hai cách tiếp cận khác như sau

Cách 1 Không mất tính tổng quát, giả sử a≥ ≥b c Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2

Bài 4 (6.0 điểm) Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (I) tiếp

xúc với các cạnh BC, CA lần lượt tại điểm D, E Qua điểm B, kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BI, cắt đường thẳng AI tại điểm J Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm J trên đường thẳng BC

a) Chứng minh rằng BD = CP

b) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AJ và BC Chứng minh rằng: 1 1 2

AI + AJ = AN

c) Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng JP và DE Gọi K là trung điểm của PQ Chứng minh

rằng đường thẳng BK vuông góc với đường thẳng AP

Hoặc lấy trung điểm M của IJ, khi đó MB = MC, MD = MP nên BD = CP

b) Tính chất của hàng điểm điều hòa (kiến thức lớp 10)

Có : BI, BJ là phân giác trong, ngoài tam giác ABN suy ra IA JA

a) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 3x +2y = +1 2 z

b) Cho một hình chữ nhật có diện tích bằng 1 Năm điểm phân biệt được đặt tùy ý vào hình chữ

nhật sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng (mỗi điểm trong năm điểm đó có thể đặt được đặt trên cạnh hoặc đặt nằm trong hình chữ nhật)

i) Chứng minh rằng mọi tam giác tạo bởi ba điểm trong năm điểm đã cho đều có diện tích không

vượt quá 1

2

ii) Với mỗi cách đặt năm điểm vào hình chữ nhật như trên, gọi n là số tam giác có ba đỉnh là ba

điểm nằm trong năm điểm đó và diện tích không vượt qua 1

(2k + −1) (2k − =1) 2 không chia hết cho 3) nên trong hai số phải có một số bằng 1 Lại có

2k − <1 2k +1 nên 2 1 1k − = , tức k =1 Một cách tương tự, ta tính được z =2và x=1 Thử lại, ta thấy thỏa mãn

Trường hợp 2: y≥2.Vì 3x >1 nên từ phương trình đã cho, ta có 2z >2y , tức z y> Suy ra

2y và 2z cùng chia hết cho 4 Từ đó ta có 3x ≡1 mod 4( ) Nếu x là số lẻ, tức x=2l+1 với l

Nếu z y− là số lẻ, tức z− =y 2u+1 với u tự nhiên, thì 2z y− =2.4u ≡ ±2 mod 5( ) mâu thuẫn

Do đó z y− là số chẵn, tức z− =y 2u với u nguyên dương Khi đó, ta có

2z −2y =2y 4u −1 chia hết cho 3 Lại có 3xchia hết cho 3 nên 1 chia hết cho 3, mâu thuẫn +) Như vậy, ta phải có y≤3 Nếu y=2 thì ta có 3x + =3 2z, suy ra 2z chia hết cho 3, mâu thuẫn Do đó y=3 Khi đó ta có: 2

x= Thử lại, ta thấy thỏa mãn

Vậy có hai bộ số (x, y, z) thỏa mãn yêu cầu là (1, 1, 2) và (2, 3, 4)

b) i) Trước hết, ta chứng minh kết quả sau: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S Xét ba điểm E, F, G không thẳng hàng thuộc miền mặt phẳng giới hạn bởi hình chữ nhật ABCD Khi đó 1

2

EFG

Qua ba điểm E, F, G kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB Trong các đường thẳng này, có một đường thẳng nằm giữa hoặc trùng với một trong hai đường thẳng kia Không mất tính tổng quát, giả sử đó là đường thẳng d qua điểm F Khi đó, đường thẳng d

sẽ cắt đoạn thẳng EG tại điểm P nào đó Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng d và hai đường thẳng AB, CD Khi đó, ta có

Trong đó d(X, ZT) được ký hiệu là khoảng cách từ điểm X đến đường thẳng ZT

Từ kết quả vừa chứng minh trên, ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh

ii) Trước hết, ta sẽ chứng minh n≥2 Thật vậy, giả sử n≤1 Gọi hình chữ nhật đã cho là hình chữ nhật ABCD Chia hình chữ nhật ABCD thành bốn hình chữ nhật nhỏ bằng nhau AMRQ, BMRP, CPRN, DQRN như hình vẽ bên dưới

Xét hai hình chữ nhật AMND và BMNC Ta thấy mỗi điểm trong năm điểm đã cho thuộc một trong hai miền mặt phẳng giới hạn bởi hai hình chữ nhật này Do đó, có ba điểm thuộc cùng một hình chữ nhật Không mất tính tổng quát, giả sử ba điểm đó là H, K, S và chúng cùng thuộc hình chữ nhật AMND

Xét hai hình chữ nhật AMRQ và DQRN Ta thấy mỗi điểm trong ba điểm H, K, S sẽ thuộc một trong hai miền mặt phẳng giới hạn bởi hai hình chữ nhật này Do đó, có hai điểm thuộc cùng một hình chữ nhật Không mất tính tổng quát, giả sử hai điểm đó là H, K và chúng cùng thuộc hình chữ nhật AMRQ

Nếu S thuộc một trong hai hình chữ nhật DQRN và BMRP thì bằng cách sử dụng kết quả

n≥ mâu thuẫn Vậy ta phải có n≥2

Mặt khác, ta có n = 2 được thỏa mãn trong trường hợp sau:

Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 2

Bình luận: Bài 5a) là một sự tương tự hóa của bài số học trong đề chọn đội tuyển Việt Nam dự thi

IMO 2019: Tìm tất cả số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 7x +2y = +1 2 z

Trường hợp đặc biệt của bài toán cũng đã được sử dụng làm đề chọn đội tuyển Đại học

Vinh tham dự kì thi học sinh giỏi Quốc gia 2019: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 1 2+ x =3y +2.4z

PHÒNG GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Th ời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 14/11/2020

Cho đoạn thẳng AB = 8cm và một điểm M nằm bất kỳ trên đoạn thẳng AB, một nửa

mặt phẳng bờ AB, dựng hai hình vuông AMCD và BMEF Gọi giao điểm của đường

thẳng AE và BC là điểm N , giao điểm của đường thẳng AC và BE là P

a) Chứng minh bốn điểm , , ,A N P B cùng thuộc một đường tròn

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN ĐỐNG ĐA

( 3)( 2)6

(n + thì luôn t2) ồn tại một số số chẵn nên khi đó P là hợp số

2 2

2( 1)(6 ) 2( 1)(6 ) 4

( )

( )1

Dấu “ =” xảy ra khi a= = = b c 1

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1

2 khi a= = = b c 1

Câu 4 (7 điểm)

Cho đoạn thẳng AB = 8cm và một điểm M nằm bất kỳ trên đoạn thẳng AB, một nửa

mặt phẳng bờ AB, dựng hai hình vuông AMCD và BMEF Gọi giao điểm của đường

thẳng AE và BC là điểm N , giao điểm của đường thẳng AC và BE là P

a) Chứng minh bốn điểm , , ,A N P B cùng thuộc một đường tròn

a) Chứng minh bốn điểm , , ,A N P B cùng thuộc một đường tròn

Hình vuông AMCD có đường chéo AC , suy ra  o

45

CAM = hay PAB=45o Hình vuông BMEF có đường chéo BE, suy ra EBM =45o hay PBA=45o

Suy ra tam giác PAB vuông cân ở P, suy ra AP⊥BE

Xét tam giác EAB có AP EM , là các đường cao và cắt nhau tại C ,

suy ra C là trực tâm tam giác EAB, suy ra BC⊥AE hay BN ⊥AE

90

DMF =DMC+EMF = , từ đó theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có DN FN =MN2

Ta có tứ giác ENCP nội tiếp vì   o

180

ENC+EPC= , suy ra CEN =NPC hay

 APD=NEM

Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy ra   MFN =NEM , suy ra APD=MFN hay

 APD=DFM mà AP MF , suy ra , ,// D P F thẳng hàng, lại có , , D P N

Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật đó là x y z, ,

Từ giả thiết, ta có a=xyz=2z x( +y)+xy⇔xy z( − =1) 2z x( +y)⇒ ≥ z 2

Ta có xy z( − =1) 2z x( +y)≥4z xy

( )

3 2

Xét hiệu

2 3

16

108

1

z xyz

UBND HUY ỆN GIA LÂM

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2020-2021

MÔN: TOÁN

Đề số 3 Câu 1 (2.0 điểm) Cho đa thức ( ) 3 2

f x =x +ax +bx c+ trong đó a b c, , ∈  Biết rằng khi chia

đa thức f x ( ) cho đa thức x− thì được dư là 5, còn chia đa thức 2 f x( )cho đa thức 1

x+ thì được dư là – 4 Tính giá trị biểu thức ( 2019 2019)( 2020 2020)( 2021 2021)

x

x x

Câu 4 (2.0 điểm) Tìm số tự nhiên x, biết

Câu 7 (2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ

và bệnh nhân Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình

của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn

Câu 8 ((2.0 điểm) Cho tanx 22ab2

=

− , trong đó a> > và 0b 0 ° < <x 90° Hãy biểu diễn sin x theo a b;

Câu 9 (2.0 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c+ + =2020 Tìm giá trị nhỏ

f x =x +ax +bx c+ trong đó a b c, , ∈  Biết rằng khi chia

đa thức f x ( ) cho đa thức x− thì được dư là 5, còn chia đa thức 2 f x ( ) cho đa thức 1

x+ thì được dư là – 4 Tính giá trị biểu thức ( 2019 2019)( 2020 2020)( 2021 2021)

x

x x

x x

⇔ − + = (phương trình vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = ∅

Câu 3 (2.0 điểm) Cho ( ) 5 3 5 1 5 5 3 5 1 5

Câu 4 (2.0 điểm) Tìm số tự nhiên x, biết

Từ (3), (4) suy ra 2

2

p + là hợp số (trái với đề bài)

Vậy p=3thỏa mãn bài toán

Câu 6 (2.0 điểm) Cho P là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD sao cho

Câu 7 (2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ

và bệnh nhân Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình

của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn

Vậy số bác sỹ và số bệnh nhân bằng nhau

Câu 8 (2.0 điểm) Cho tanx 22ab2

=

− , trong đó a> > và b 0 0 0

0 < <x 90 Hãy biểu diễn sin x theo a b;

Khi đó số đo góc Bchính là số đo x

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác

Câu 9 (2.0 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c+ + =2020 Tìm giá trị nhỏ

Ta đã biết số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1

Xét tập S ={ , , }a b c thỏa yêu cầu

• Nếu a b c, , là các số lẻ thì (a b+  , () 4 b c+  và () 4 a c+  ) 4Khi đó a b b c+ + + − + =  (a c) 2 4b

Suy ra b là số chẵn (mâu thuẫn với b lẻ)

• Nếu a b, là các số lẻ và c chẵn thì (a b+  , () 4 b c+ − +  ) (a c) 4

Khi đó a b+ + + − + = (b c) (a c) 2 4b

Suy ra b là s ố chẵn (mâu thuẫn với b lẻ)

PHÒNG GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu 2 (3,0 điểm)

1) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c+ + chia hết cho 12 Chứng

minh: P=(a+b b)( +c c)( +a) -5abc chia hết cho 12

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y z, , thỏa mãn điều kiện:

4 100

20212

3) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD, CE lần lượt tại Q và P Chứng minh rằng: MP=MQ

Câu 5 (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó

thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số

mới bằng a b+ −2lên bảng Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

H ẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI PHÒNG GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠO

3

x +y +z = xyz 3) Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn điều kiện: 3 3 3

(a b− ) + −(b c) + −(c a) =378 Tính giá trị của biểu thức A= −|a b|+|b c− + −| |c a|

Vậy phương trình có tập nghiệm là S ={2;3}

2) Cho ba số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện x+ + =y z 0 Chứng minh rằng:

Đặt a b− = x b c; − = y c; − = ⇒ + + =a z x y z 0

Câu 2 (3,0 điểm)

1) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c+ + chia hết cho 12 Chứng

minh: P=(a+b b)( +c c)( +a) -5abc chia hết cho 12

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y z, , thỏa mãn điều kiện:

2020

x +y +z = + + +x y z

L ời giải

1) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c+ + chia hết cho 12 Chứng

minh: P=(a+b b)( +c c)( +a) -5abc chia hết cho 12

Giả sử a b c, , đều chia 2 dư 1 ⇒ + + chia a b c 2 dư 1 (2)

Mà a b c+ + :12⇒ + +  (theo giả thiết) (2) a b c 2

Do đó (1) và (2) mâu thuẫn ⇒ Điều già sử là sai

⇒ Trong ba số a b c, , ít nhất có một số chia hết cho 2 ⇒6abc:12 (**)

2) Cho số thực x thỏa mãn 0< < Tìm GTNN của biểu thức: x 2 4 100 2021

2) Chứng minh BH AC= cot ABC

3) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD, CE lần lượt tại Q và P Chứng minh rằng: MP=MQ

L ời giải

1) Chứng minh: BH BD = BC BK và BH BD + CH.CE= BC2

Xét tam giác: ∆BHK đông dạng BCD∆ có:

2) Chứng minh BH AC= cot ABC

Chứng minh : BEH∆ đồng dạng CEA g g( ) BH BE

Câu 5 (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó

thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số

mới bằng a b+ −2lên bảng Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

Lời giải

Tồng tất cả các số ban đầu trên bảng: S = + + +…+1 2 3 99 100+ =5050

Qua mỗi bước ta thấy tồng giàm đi 2

Lúc đầu tồng S =5050 sau 99 bước số còn lai sẽ là 5050 2.99 4852− =

 H ẾT 

K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN

QU ẬN NAM TỪ LIÊM MÔN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2020 - 2021

Th ời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề số 5 Bài 1 (4,0 điểm)

m n+ + +p + cũng chia hết cho 6 (q là số tự nhiên)

2 Cho a b c d, , , là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 2

Cho hình vuông ABCD độ dài cạnh bằng a và có tâm là O Điểm M là một điểm di

chuyển trên BC ( M khác B và C ) Gọi N là giao điểm của tia AM và đường thẳng

CD G là giao điểm của DM và BN

Bài 5 (1,0 điểm) Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một

trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác màu

H ẾT

ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN

QU ẬN NAM TỪ LIÊM MÔN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2020 - 2021 Bài 1 (5,0 điểm)

m+ + +n p + cũng chia hết cho 6 (q là số tự nhiên)

2 Cho a b c d, , , là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 2

a =b +c +d

Chứng minh rằng:abcd+2021 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương

L ời giải

1 Ta có: (m+5 6) ⇒m: 6 dư 1

Suy ra: không xảy ra 2 2 2 2

a =b + +c d (vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3 )

Vậy trong các số a b c d, , , có ít nhất 1 số chẵn Ta có: abcd+2021 là số lẻ

+ TH1:

2 2

(10 37) 9

217

( )5

2( )73( )4

chuyển trên BC ( M khác B và C ) Gọi N là giao điểm của tia AM và đường thẳng

CD G là giao điểm của DM và BN

M

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác màu

L ời giải

Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo thành một tam giác cân

Do đó khi tô 5 đỉnh bởi đủ 3 loại màu đã cho thì tồn tại 2 khả năng:

- Nếu tô 5 đỉnh bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân

- Nếu tô 5 đỉnh bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành một tam giác cân

Vậy, luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên

mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác nhau

PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH

ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN 9

a) Ch ứng minh ∆MON vuông cân

b) AN c ắt DC t ại E, ON b ắt BE t ại F Tìm v ị trí M N, để các tứ giác

PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH

ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN 9

TH2: 2x− = ⇒ =1 1 x 1 ( Th ỏa mãn điều kiện)

V ậy x=1 là nghi ệm của phương trình