ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG HUYỆN LỚP 9Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phútkhông kể thời gian giao đề Bài 16 điểm.. Tìm tập xác định của hàm số b.. Vẽ đồ thi hàm số d.. Tìm giá trị nhỏ nhấ
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG HUYỆN LỚP 9
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề)
Bài 1(6 điểm) Chứng minh rằng:
a S = 21 + 22 + 23 + …+ 22010 chia hết cho 3
b a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) với mọi a, b, c, d, e
c Với mọi số tự nhiên n thì: (n + 20112010)(n + 20102011) chia hết cho 2
Bài 2(4 điểm) Cho hàm số 2 2 6 9
y
a Tìm tập xác định của hàm số
b Rút gọn y
c Vẽ đồ thi hàm số
d Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x
Bài 3(4 điểm)
a Tìm mọi x, y, z trong phương trình sau: x 2 x 3 y 6 y 5 10 ( z 7 2 )
b Giải hệ phương trình: 1 2 9
Bài 4(3 điểm) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD), M và N là trung điểm của
hai đường chéo BD và AC Chứng minh:
a Các tứ giác AMNB và DMNC là những hình thang cân.
b BM2 = AM2 + MN.AB
Bài 5(3 điểm) Cho hai tiếp tuyến AB và AC của nữa đường tròn(O) (B, C là hai tiếp điểm)
Qua điểm X của cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến đến đường tròn này nó cắt AB và AC theo thứ tự tại M và N Chứng minh rằng chu vi tam giác AMN và góc MON không phụ thuộc vào việc chọn điểm X trên cung nhỏ BC
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
Bài 1
Câu a
(2 đ)
Câu b
(2 đ)
Câu c
(2 đ)
Chứng minh rằng:S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + …+ 2 2010 chia hết cho 3
Ta có: S = 21 + 22 + 23 + …+ 22010
= (21 + 22) + (23 + 24) + … + (22009 + 22010)
= 2(1 + 2) + 23 (1 + 2) + … + 22009 (1 + 2)
= (1 + 2) (2 + 23 + … + 22009 )
= 3 (2 + 23 + … + 22009 ) 3
Vậy S = 21 + 22 + 23 + …+ 22010 chia hết cho 3
Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a(b + c + d + e) a, b, c, d, e
Ta có:
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a(b + c + d + e) 0
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – ab – ac – ad – ae 0
(
2
4
a
– ab + b2 ) + (
2
4
a
– ac + c2 ) + (
2
4
a
– ad + d2 ) + (
2
4
a
– ae + e2 ) 0
(
2
a
– b)2 + (
2
a
– c)2 +(
2
a
– d)2 +(
2
a
– e)2 0 (bđt này đúng a,b,c,d,e)
Vậy a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) với mọi a, b, c, d, e
Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n thì: (n + 2011 2010 ) (n + 2010 2011 )
chia hết cho 2
* Nếu n là số chẵn thì (n + 20102011) là số chẵn
(n + 20112010) (n + 20102011) là số chẵn
(n + 20112010) (n + 20102011) chia hết cho 2
* Nếu n là số lẻ thì (n + 20112010) là số chẵn
(n + 20112010) (n + 20102011) là số chẵn
(n + 20112010) (n + 20102011) chia hết cho 2
Vậy với mọi số tự nhiên n thì: (n + 20112010) (n + 20102011) chia hết cho 2
0,5 0,5 0,5 0,25 0,25
0,25 0,25 0,75 0,5 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5
Bài 2
Câu a
(0,75đ)
Cho hàm số y x2 x2 6x 9
Tìm tập xác định của hàm số
y có nghĩa
2 2
0
x
2 2
0
x x