Chuyen de boi duong HSG Toan 8

Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi An lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n n  N hoÆc n  Z a/ Để chứng minh An chia hết cho m ta phân tích An thành tích trong đó cã mét thõa sè lµ m + Nếu m là[r]

Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số

a – biển đổi biểu thức nguyên

– [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3]

= 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz

Ví dụ 2 Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5

Lời giảia) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3

Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z) T¬ng tù :

y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx

V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy)

= 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm)

4 Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4

5 Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :

12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945.

13 Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :

a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 và b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0 Hãy tính : D = a + b

14 Cho a3 – 3ab2 = 19 và b3 – 3a2b = 98 Hãy tính : E = a2 + b2

15 Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;

e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008

Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số

a – biển đổi phân thức hữu tỉ

Ví dụ 5

a) Chứng minh rằng phân số

3n 15n 2

++ là phân số tối giản nN ;

cho phân số A cha tối giản Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó

Lời giảia) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d  d = 1

Vậy phân số

3n 15n 2

++ là phân số tối giản.

n+5 phải cha tối giản

Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29

Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5  29  n + 5 = 29k (k  N) hay n = 29k – 5

Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009  1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69}

Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tổng của các số này là :

ê + =ê

ê ê

NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0  a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x).

§iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 x

a)

2 2

= + = +ç ÷÷- = - =

b)

3 3

++

2n 12n 1

c) Biết 10a2 –3b2 + 5ab = 0 và 9a2 – b2 ≠ 0, hãy tính :

2a b 5b aR

=+ + và

2

xN

2 3 2

n 1 n

-=

+ .

a) Chứng minh rằng a1 = a5

b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108

Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử

2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

III- Phơng pháp đổi biến

Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

IV- Phơng pháp xét giá trị riêng

Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán chocác biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, Giả sử thay x bởi y thì P = y y z2(  ) y z y2(  ) 0 

Nh vậy P chứa thừa số x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P

có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z) Do đó nếu P đã chúa thùa số x – y thìcũng chúa thừa số y – z, z – x Vậy P phải có dạng

P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3 đốivới tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợpcác biến x, y, z Vì đẳng thức

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.

áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử Thực hiện

nh sau:

Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm củaf(x) không

Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f (x)=(x − a) p(x )

Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a

Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc Sau đó viếtkết quả cuối cùng cho hợp lí

Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ số bất

định), phơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức

*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :

Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đathức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau

Ví dụ: P(x)=ax2+2 bx −3 ; Q(x)=x2− 4 x − p

Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:

a = 1(hệ số của lũy thừa 2)

2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)

- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)

*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)

Gọi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)

Khi đó ta có: P(x)=Q(x) M (x )+ N (x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)

Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : x=α

( α là hằng số) Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ sốcủa các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d)

Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)

Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:

a2x3

+ 3 ax 2−6 x − 2 a=(x+1).Q(x )

Vỡ đẳng thức đỳng với mọi x nờn cho x = -1 ta dược:

a=− 2 a=3

−a2+3 a+6 −2 a=0 ⇒− a2

B i 1: à Cho đa thức A x( ) a x2 3 3ax2 6x 2 (a a Q ) Xác định a sao cho A(x) chia hếtcho x + 1.

Bài 2: Phân tích đa thức P x( ) x4 x3 2x 4 thành nhân tử, biết rằng một nhân tử códạng: x2dx 2

Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức : x3

+ ax 2 +2 x+b chia hết cho đa thức:

x2+x +1 Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau

Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f (x)=x4− 9 x3 +21 x 2

+x +k chia hết cho đa thức:

g(x)=x2− x −2

Bài 5: Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn k để cho đa thức: f (k )=k3+2 k2+ 15 chia hết cho nhịthức: g(k )=k +3

Bài 6: Với giỏ trị nào của a và b thỡ đa thức: f (x)=x4−3 x3 +3 x 2

+ax+b chia hết cho

c) Xỏc định a, b để P(x)=x3+5 x2− 8 x+a chia hết cho M (x)=x2+x +b

x3− ax2+bx − c=(x −a)(x −b)(x −c ) Bài 8: Hóy xỏc định cỏc số a, b, c để cú đẳng thức:

Bài 9: Xỏc định hằng số a sao cho:

+ bx 2

+5 x −50 chia hết cho x2

+3 x +10 c) ax4+bx2+1 chia hết cho x −1¿2

d) x4+4 chia hết cho x2+ax+b

Bài 11: Tỡm cỏc hăng số a và b sao cho x3

+ax+b chia cho x+1 thỡ dư 7, chia cho

x − 3 thỡ dư -5

Bài 12: Tỡm cỏc hằng số a, b, c sao cho ax 3

+ bx 2 +c chia hết cho x+2 , chia cho

x2−1 thỡ dư x+5

Bài 13: Cho đa thức: P(x)=x4

+x3− x2 +ax +b và Q(x)=x2

+x −2 Xỏc định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)

Bài 14: Xỏc định a và b sao cho đa thức P(x)=ax4

+ bx 3 + 1 chia hết cho đa thức

x −1¿2

Q(x)=¿

Bài 15: Cho cỏc đa thức P(x)=x4− 7 x3

+ ax 2 +3 x+2 và Q(x)=x2− x +b Xỏc định a

và b để P(x) chia hết cho Q(x)

Chuyên đề IV: xác định đa thức

Dạng 2: Phương phỏp nội suy NiuTơn

Phương phỏp:

Để tỡm đa thức P(x) bậc khụng quỏ n khi biết giỏ trị của đa thức tại n + 1 điểm

C1, C2, C3, ⋯,C n +1 ta cú thể biểu diễn P(x) dưới dạng:

0=b00=b1⇔ b1=0,

6=b2 2 1⇔ b2=3,

36=3 3 2+b3 3 2 1⇔ b3=3

0=3.(−1)(−2)+3.(− 1)(− 2)(−3)+b4(−1)(−2)(−3)(− 4) ⇔b4= 1

2Vậy, đa thức cần tỡm cú dạng:

2 (x +2) P(x)=3(x +1) x+3(x +1) x (x −1)+1

2(x +1)x (x − 1)(x −2)=

1

2x¿

(Tuyển chọn bài thi HSG Toỏn THCS)

Bài 5: cho đa thức P(x)=ax2+bx +c ,(a , b , c ≠ 0) Cho biết 2 a+3 b+6 c=0

1) Tớnh a, b, c theo P(0), P(12), P(1)

2) Chứng minh rằng: P(0), P(12), P(1) khụng thể cựng õm hoặc cựng dương

Bài 6: Tỡm một đa thức bậc hai, cho biết:

P (0)=19 P(1)=85 P(2)=1985

1 Kiến thức cần nhớ

1 Chứng minh quan hệ chia hết

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (nN hoặc n Z)

a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó

có một thừa số là m

+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tốcùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó

+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k

b/ Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trờng hợp về số dkhi chia m cho n

Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp:

- Tồn tại một bội số của 5 (nên A  5 )

- Tồn tại một bội của 7 (nên A  7 )

- Tồn tại hai bội của 3 (nên A  9 )

- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A  16)

Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau  A 5.7.9.16=5040

Ví dụ 2: Chng minh rằng với mọi số nguyên a thì :

a/ a3 –a chia hết cho 3

Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 :

+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp

Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bêntrái của số liền trên

 A không chia hết cho 17

+Cách 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo công thức NiuTơn)

- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17

- Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17

Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn,  n Nd/ Ngoài ra còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứngminh quan hệ chia hết

 VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004….2004

= BS9 – 2 = BS9 + 7

Vậy 2100 chia cho 9 d 7

b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1

Ta có:

2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức NiuTơn)

Vậy 2100 chia cho 25 d 1

* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân

 ( 51994)3 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625

 51994 = BS10000 + 15625  51994 chia cho 10000 d 15625

Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625

3 Tìm điều kiện chia hết

* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị củabiểu thức B:

+ n2 – n + 1 = - 1  n2 – n + 2 = 0 , kh«ng cã gi¸ trÞ cña n tho¶ m·n

 VD 3: T×m sè tù nhiªn n sao cho 2n - 1 chia hÕt cho 7

Gi¶i:

Ta cã luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 7 lµ 23 = 8 = 7 + 1

- NÕu n = 3k (k N) th× 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k 8 – 1 = 7NÕu n = 3k + 1(k N) th× 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k 2 – 1= 2(8k – 1) + 1

a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n

b/ n4 – 10n2 + 9 chia hÕt cho 384 víi mäi sè n lÎ

Gi¶i

a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4)

Với n chẵn, n = 2k ta có:

n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2) 8

b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3)

Với n lẻ, n = 2k +1, ta có:

n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3)

= 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16

Bài 2: Chứng minh rằng

a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n

b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dơng n

Giải:

Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1)

Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1

Xét các trờng hợp:

+ Với n = 2k A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8+ Với n = 2k +1  A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8

Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a  1 để chứng minh A9

Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3

 a2 là số chính phơng không chia hết cho 3 a2 chia cho 3 d 1

Bài toán là trờng hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:

- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p

- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chiahết cho p

Vì n là lập phơng của một số tự nhiên nên đặt n = a3

Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504

Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8

Nếu a lẻ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp (a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8

n  n

là số nguyên tố 7Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn

Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhờ khách đến thăm trờng gặphai học sinh Ngời khách hỏi:

- Cã lÏ hai em b»ng tuỉi nhau?

Gäi n¨m sinh cđa Mai lµ 19 9a th× 1 +9+a+9 = 19 + a Muèn tỉng nµy lµ sè ch½n th×

a{1; 3; 5; 7; 9} HiĨn nhiªn Mai kh«ng thĨ sinh n¨m 1959 hoỈc 1999 VËy Maisinh n¨m 1979, b¹n cđa Mai sinh n¨m 1980

1 C

¸c bµi to¸n tỉng qu¸t vỊ ® êng ph©n gi¸c

1/ Cho  ABC với AB > AC Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác trong và

N ( khác A ) thuộc đường phân giác ngoài của góc A Chứng minh rằng :

a/ AB – AC > MB – MC

b/ AB + AC < NB + NC

2/ Ba đường phân giác trong AD , BE , CF của  ABC gặp nhau tại O Từ O dựng

OG vuông góc với BC

a/Chứng minh góc BOD = góc COG b/Tính góc BOC theo A

c/Tính góc GOD theo góc B và góc C

3/ Cho  ABC , các đường phân giác AA’, BB’, CC’ Gọi L là giao điểm của AA’ và B’C’ , K là giao điểm của CC’ và A’B’ Chứng minh : BB’ là phân giác của góc KBL

4/ Cho  ABC có dộ dài 3 cạnh là a,b,c và la , lb , lc là độ dài 3 đường phân giácứng với các cạnh BC , CA , AB Chứng minh : 1a+ 1

HƯỚNG DẪN

Chú ý và nhận xét :+ Ta có thể tạo ra một đoạn thẳng bằng b+c bằng cách <2c từ B vẽ tia Bx // Ac cắt AC tại E

a

Qua B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt CA tại E ABE cân tại E Xét  ABE ta có : BE < AB + AE = 2AB = 2c

Xét  CBE ta có : AD // BE  BEAD= CE

AC  BE=AD CE

Lấy (1) + (2) +(3) suy ra điều phải chứng minh

5/ Cho tam giác ABC có các phân giác AY , BZ , CX Chứng minh rằng :

ý đến tính chất đường phân giác của tam giác + Bài toán yêu cầu chứng minh một bất đẳngthức

nên hãy chú ý đến các BĐT trong đó chú ý đến

BĐT Côsi

Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương AXXB ;BY

YC ;

CZ

ZA ta có :Theo tính chất đường phân giác : AXXB + BY

CZ ZA

c b

8/ Cho  ABC có độ dài ba cạnh là a , b , c Vẽ các phân giác AD , BE , CF Chứng minh

SDEF  ¼ SABC , dấu “=” xảy ra   ABC đều

ZX

A

2.TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GÓC1/ Cho  ABC , các đường phân giác trong BD , CE Tính số đo các góc của tam giác nếu BDE = 240 , CED = 180

2/ Cho  ABC , các góc B và C cóùù tỉ lệ 3 : 1 , phân giác của góc A chia diện tíchtam giác theo tỉ số 2: 1 Tính các góc của tam giác

3.HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1/ Cho  ABC có hai đường phân giác trong BD , CE cắt nhau tại I Biết ID = IE Chứng minh rằng hoặc  ABC cân tại A hoặc BAC = 600

HƯỚNG DẪN A

a/  IEA =  IDA Khi đó :

BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA   ABD =  ACE ( g – c – g ) 

AB = AC 

 ABC cân tại A

b/  IEA và  IDA không bằng nhau   ABC không cân ở A

Không mất tính tổng quát ta giả sử : C > B Lấy điểm E’ trên AB sao cho IE’ = IE = ID   IE’E cân  IE’E = IEE’  BEI = IE’A = IDA

Xét tứ giác ADIE có : D + E = 1800  A + DIE = 1800  A + BIE = ICB + IBC

 2A = 2ICB + 2IBC = C + B Mà BIE + DIE = 180 0 và A + B + C =

1800  A + 2A = 1800  A = 600

4.CỰC TRỊ1/ Cho  ABC với AB  AC và AD là đường phân giác trong Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh AC sao cho BM.CN = k không đổi ( k < AB2 ) Xác định vị trí của M , N sao cho diện tích của tứ giác AMDN là lớn nhất

HƯỚNG DẪNNhận xét :