Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5

Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng khi chia số đó cho hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì được thương là 15 và dư 2... Thử lại thấy thoả mãn.[r]

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG LỚP 5 Chương I: CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

§ 1 CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN Bài 1:

Tìm

  hàng !" #$ thì !%& %" là 2 (% 2,   hàng ) chia cho   hàng

!" #$ thì !%& %" là 2 (% 1

Hd:

+ abc, (a, b, c là các   2 0 ! 9, a khác 0)

Ta có: b = c 2 + 2 

hàng !" #$ = không ? < " 3 (vì  @ A  4 thì b = 4 x 2 + 2 = 10) DE suy ra c = 3

+ Ta

Bài 2:

Tìm

 M nó thì !%& 2000

Hd:

+ abcd,a0;0a,b,c,d 10

Theo !H bài ta có 2000 - abcd = a + b + c + d hay 2000 – (a + b + c + d) = abcd PE: E !? có = 19 ab

+ 2 ! tìm !%& c = 8 và d = 1

DE  / tìm là 1981

Bài 3:

Tìm

các

Hd:

+ ab a0;0a b, 10

PE: E !? có C là  có    c nên ababc51 hay a 9 c 51

2 a 9 c 51 E: E !? có a = 6

+ 2 a = 6 tìm !%& c = 3

= 3

DE 66 là  / tìm

Bài 4:

Tìm

hàng  và   hàng !" #$ thì !%& %" là 15 và (% 2

Hd:

+ ab,(a 0;a,b10)

Theo !/ bài ta có = (a – b) 15 +2ab

Hay b  16 = a  5 + 2

V a <  là 9 thì a  5 + 2 <  là 47

Khi ! b  16 <  là 47 nên b <  là 2 (vì 47 : 16 = 2 (% 15)

+ Vì a  5 + 2 0 nên b 0. 

b = 1 thì a = 14 : 5

b = 2 thì a = 6

Bài 5:

Tìm

thì !%& %" là 5 (% 12

Hd:

Ta có ab = 5  (a + b) + 12,

Sau khi

+ Vì 4  b + 12 chia  cho 4 nên : 5  a , suy ra a = 4 b a = 8, thay vào ta tìm

Bài 6:

Tìm

 M nó thì !%& %" là 11

Hd:

+ abc, (a, b, c là các   2 0 ! 9, a khác 0)

(theo bài ra)

abc a b c  

100          a 10 b c 11 a 11 b 11 c

89    a b 10 c (cùng 11    a 10 b c )

89 a cb a 1,cb89abc198

Bài 7:

Tìm  chia và %" M  phép chia có (% mà  $ chia là 5544, các  (%

Hd:

- PE: E !? có %" là  có 3    còn  chia là

 có 2   +

- Mô :h quá trình chia:

- Tìm 3 tích riêng

10, 14, 9

+ Tích M  chia và   hàng cao  M %" là

55 – 10 = 45

…

5544 -…

104 -…

144 -…

9

…

+ Tích M  chia và   hàng cao j 2 M %" là 104 – 14 = 90.

+ Tích M  chia và   hàng cao j 3 M %" 114 – 9 = 135

Trong 3 tích riêng có  45 là  k và h  nên  chia là  k mà  45 Z chia  cho  có 2   là 45 DE  chia là 45, %" là 123

Bài 8:

Khi nhân

2008 nên tích

Hd:

2008 – 208 = 1800 0!#$6+

tích

Theo

123

Bài 9:

Tìm

hàng  và   hàng !" #$ ta !%& %" là 28 (% 1

Hd:

Ta có ab = (a – b)  28 + 1

ab ab V a – b = 3 thì = 85  vì a – b = 8 – 5 = 3 ab

Bài 10:

Tìm

Hd:

, ( 0 a, b, c < 10, a 0)

Theo bài ra ta có: abc = (a + b + c)  20

khi ! ta có: 8  a = b suy ra a = 1, b = 8

Bài 11:

Tìm

Hd:

, ( 0 a, b, c < 10, a 0)

Theo bài ra ta có: abc = 5  a  b  c abc 5 , j là c = 0 b c = 5

DE suy ra b = 2 b b = 7

5 25

ab 

Bài 12:

Tìm

Hd:

, ( 0 a, b, c < 10, a 0)

Theo bài ra ta có: cab - abc = 765

 11  c = 85 + b + 10  a

Vì 85 + b + 10  a  95  11  c  95  c = 9

 14 = b + 10  a  a = 1, b = 4

Bài 13:

Tìm

Hd:

, ( 0 a, b, c < 10, a 0)

Theo bài ra ta có: abc = 7 bc

a 100 = 6 bc

 a là

a 50 = 3 bc

Bài 14:

Tìm

Hd:

, ( 0 a, b, c < 10, a 0)

Theo bài ra ta có: cba - abc = 693

 99  (c – a) = 693

 c – a = 693 : 99 = 7

 a = 1, c = 8 ; a = 2, c = 9 và b = 0, 1, 2, … , 9

Bài 15:

Tìm

Hd:

, ( 0 a, b, c < 10, a 0)

Theo bài ra ta có: abc5 - 5abc = 531

 abc 10 + 5 - ( 5000 + abc) = 531

abc = 614

Bài 16:

Tìm

Hd:

, ( 0 a, b, c, d < 10, a 0)

Theo bài ra ta có: abcd - ab = 4455

 cd = 99 ( 45 - ab )  ( 45 - ab ) = 0, ( 45 - ab ) = 1

V ( 45 - ab ) = 0:

V ( 45 - ab ) = 1:

Bài 17:

Tìm

Hd:

, ( 0 a, b, c, d < 10, a 0)

Theo bài ra ta có: abcd 4 = dcba

 a = 1 b a = 2 vì  a  3 thì tích abcd 4  không là  có 4  

V a = 1: Ta có 1bcd 4 = dcb1

V a = 2: Ta có 2bcd 4 = dcb2  4  d có E cùng là 2

 d = 3 b d = 8

V d = 3: Ta có 2bc3 4 > 3cb2 là vô lý V d = 8: Ta có 2bc8 4 = 8cb2  390  b + 30 = 60  c  39  b + 3 = 6  c  b = 1, c = 6

Bài 18:

Tìm

Hd:

Vì

, ( 0 b < 10, A > 0)

Theo bài ra ta có: Ab 7 = A0b

 b  6 = A  5  6  b = A  5  b = 5 (Vì A > 0)  A

= 1

Bài 19:

Tìm

Hd:

Vì

có 3 Abc , ( 0 b, c < 10, A > 0).

Theo bài ra ta có: Abc 6 = A0bc

 bc 5 = A 80 5    bc = A 80  bc = 80 (Vì A > 0)

 A = 1

Bài 1:

Cho dãy  2, 4, 6, 8, , 2006

a) Dãy này có bao nhiêu  Ar _ A j 190 là  A nào?

b)

Hd:

a) _ các  A7 (2006 – 2) : 2 + 1 = 1003

_ A j 190 là: (190 – 1)  2 + 2 = 380

b) Dãy  2, 4, 6, …, 98 có 4 + [(98 – 10) : 2 + 1]  2 = 94   +

Vì 94 < 100 nên

dãy  100, 102, 104, …, 998 DE   j 100 là   2

Bài 2:

Cho dãy  11, 13, 15, , 175

a) Tính

b) Tính L các  A M dãy  !c cho

Hd:

a) Dãy  11, 13, …, 99 có [(99 – 11) : 2 + 1]  2 = 90   + Dãy  101, 103,

…, 175 có [(175 – 101) : 2 + 1] x 3 = 114   + _ các   !c J ( trong dãy !c cho là: 90 + 114 = 204 0  6

+ Vì 204 > 136 > 90 nên

9  j 136 M dãy  11, 13, 15, , 175 là   j 136 – 90 = 46 M dãy 

101, 103, …, 175

+ Ta có: 46 : 3 = 15 0(% 1)

+ Tìm !%&  A j 16 M dãy  101, 103, …, 175 là 131

DE   j 136 M dãy !c cho là 1

b) _  A M dãy  !c cho là 45 + 38 = 83

DE suy ra:11 + 13 + 15 + … + 175 = (11 + 175) 83 : 2 = 7719

Bài 3:

Cho dãy  4, 8, 12, 16,

a) Xét xem các  2002 và 2008 có  dãy  !c cho không? V nó  thì cho

b)

Hd:

a)

2002 không chia  cho 4 nên không  dãy  !c cho _ 2008 chia  cho 4 nên

 dãy  !c cho

b) Trong dãy 12, 16, 20, …, 96 có [(96 – 12) : 4 + 1] × 2 = 44   + DE  

j 74 M dãy  !c cho là   j 74 – 2 – 22 × 2 = 28 M dãy  100, 104, 108,

…

Ta có 28 : 4 = 7 nên

cùng M  A j 7 M dãy  100, 104, 108, … 9  / tìm là 4

Bài 4:

Cho dãy  11, 14, 17, 20, …

a)

b) Tính L M 130  A !/ tiên M dãy  !c cho

Hd:

a) Dãy  11, 14, 17, …, 98 có    là: [(98 – 11) : 3 + 1] × 2 = 60

Dãy  101, 104, 107, …, 998 có    là: [(998 – 101) : 3 + 1] × 3 = 900

Vì 60 < 166 < 900 nên

9  j 166 M dãy  !c cho là   j 166 – 60 = 106 M dãy 

101, 104, …, 998

Ta có: 106 : 3 = 35 0(% 1) nên   j 166 M dãy  !c cho là   !/ tiên M  A j 36 trong dãy  101, 104, …, 998

_ A j 36 trong dãy  *3* 104, …, 998 là 206 DE   / tìm là 2

b) _ A j 130 là 398 DE L là (11 + 398) × 100 : 2 = 20450

Bài 5:

Cho dãy  1, 3, 5, 7, , 2009

a) Dãy này có bao nhiêu  Ar _ A j 230 là  A nào?

b)

Hd:

a) _ các  A7 (2009 – 1) : 2 + 1 = 1005

_ A j 230 là: (230 – 1)  2 + 1 = 459

b) 9  j 100 là   0

Bài 6:

Cho dãy  10, 12, 14, , 138

a)

b) Tính L các  A M dãy  !c cho

Hd:

a) _ các   !%& J ( trong dãy 10, 12, … 96, 98 là 2  45 = 90 0

 6+

Vì 103 > 90 nên

102, …, 138 9  j 103 M dãy  !c cho là   j 103 – 90 = 13 M dãy 

100, 102, …, 138

+ Ta có: 13 : 3 = 4 0(% 1) nên   j 103 M dãy  !c cho là   !/ tiên M  A j 5 trong dãy  100, 102, …, 138

_ A j 5 trong dãy  *33 102, …, 138 là 108 DE   / tìm là 1

b) _ các  A M dãy là (138 – 10) : 2 + 1 = 65

DE 10 + 12 + 14 + … + 138 = (10 + 138)  65 : 2 = 4810

Bài 7:

Cho dãy  101, 102, 103, …, 1000, 1001, , 2005

a) Dãy này có bao nhiêu  Ar _ A j 75 là  A nào?

b) Tính

Hd:

a) _  A là (2005 – 101) : 1 + 1 = 1905

_ A j 75 là (75 – 1) × 1 + 101 = 175

b) _   là 899 × 3 + 1006 × 4 = 8721

Vì có: 116 < 899  3 nên   j 116  dãy  101, 102, …999

Ta oó 116 : 3 = 38 0(% 2) nên   j 116 là   j 2 M  A j 39

M dãy  !c cho _ A j 39 là (39 – 1)  1 + 101 = 139 DE   / tìm là

  3

Bài 8:

Cho dãy  11, 16, 21, 26, 31,

a) Tính

nào?

b) Tính L M 203  A !/ tiên M dãy  !c cho

Hd:

a) [(96 – 11) : 5 + 1]  2 + [(996 – 101) : 5 + 1]  3] + 1  4 = 18  2 + 180  3 +

1  4 = 580

Ta có 18  2 < 124 < 180  3 nên   j 124  dãy  có ba   101,

106, …, 996

9  j 124 M dãy  !c cho là   j 124 – 18  2 = 88 M dãy 

101, 106, …, 996

Ta có 88 : 3 = 29 0(% 1) nên   j 88 dãy  101, 106, …, 996 là   j

1 M  A j 30 M dãy  101, 106, …, 996 _ A j 30 là (30 – 1)  5 + 101

= 246 DE   / tìm là   2

b) _ A j 203 là (203 – 1)  5 + 11 = 1021

L là (11 + 1021)  203 : 2 = 104748

Bài 9:

Cho dãy  2, 5, 8, 11, …, 2009

a) Dãy này có bao nhiêu  Ar _ A j 99 là  A nào?

b)

Hd:

a) _ các  A7 (2009 – 2) : 3 + 1 = 670

_ A j 99 là: (99 – 1)  3 + 2 = 296

b) Dãy  2, 5, 8 có 3   + Dãy  11, 14, 17, …, 98 có [(98 – 11) : 3 + 1]  2

= 60   + Có 3 < 50 < 60 nên   j 50 M dãy  !c cho  dãy  11, 14,

17, …, 98

9  j 50 M dãy  !c cho là   j 50 – 3 = 47 M dãy  11, 14, 17,

…, 98

Ta có 47 : 2 = 23 0(% 1) nên   j 47 dãy  11, 14, 17, …, 98 là   j

1 M  A j 24 M dãy  11, 14, 17, …, 98 _ A j 24 là (24 – 1)  3 + 11 =

80 DE   / tìm là   8

Bài 10:

Cho dãy  1, 5, 9, 13, …

a)

b) Tính L M 200  A !/ tiên M dãy  !c cho

Hd:

a) Dãy  1, 5, 9, 13, 17, 21, …, 97 có 3 + [(97 – 13) : 4 + 1]  2 = 47   + Dãy  101, 105, 109, …, 997 có [(997 – 101) : 4 + 1]  3 = 675   + Vì 47 < 135 <

675 nên

9  j 135 M dãy  101, 105, …, 997 là   j 135 – 47 = 88 M dãy  101, 105, …, 997

Ta có: 88 : 3 = 29 0(% 1) nên   j 88 dãy  101, 105, …, 997 là  

j 1 M  A j 30 M dãy  101, 105, …, 997 _ A j 30 là (30 – 1)  4 +

101 = 217 DE   / tìm là   2

b) _ A j 200 là (200 – 1)  4 + 1 = 797

L là (1 + 797)  200 : 2 = 79800

Bài 11:

Cho dãy  5, 8, 11, …

a) Tính L M 205  A !/ tiên M dãy  !c cho?

b)

Hd:

a) _ A j 204 trong dãy  là: [(204 – 1)  3] + 5 = 620

L M 204  A !/ M dãy: (620 + 5)  102 = 62500 + 1250 = 63750

L M 204  A !/ M dãy: 63750 + 623 = 64373

b) _ có 1   trong dãy là: (8 – 5) : 3 + 1 = 2

_ có 2   trong dãy là: (98 – 11) : 3 + 1 = 30

_ có 3   trong dãy là: (998 – 111) : 3 + 1 = 330

Ta có 2  1 + 30  2 < 135 < 330  3 nên   j 135  dãy  có ba 

 101, 104, …, 998

9  j 135 M dãy  !c cho là   j 135 – 30  2 - 2 = 63 M dãy 

101, 104, …, 998

Ta có 63 : 3 = 21 0(% 0) nên   j 63 dãy  101, 104, …, 998 là   j

3 M  A j 21 M dãy  101, 104, …, 998 _ A j 21 là (21 – 1)  3 + 101

= 161 DE   / tìm là   1

Bài 12:

Tính L S = 10, 11 + 11, 12 + 12, 13 + … + 98, 99 + 99, 100

Hd:

S = (10 + 11 + 12 + … + 98 + 99) + (0, 10 + 0, 11 + 0, 12 + … + 0, 98 + 0, 99)

= [(99  100) : 2 – (9  10) : 2] + [(99  100) : 2 – (9  10) : 2 : 100]

= 4905 + 49, 05

= 4954, 05

Bài 13:

Tính L S = 1 – 2 + 3 – 4 + …… - 1000 + 1001

Hd:

S = 1 + (3 – 2) + (5 - 4) + …… + (1001 – 1000)

= 1 + 1 + 1 + ……+ 1

= 1 + [(1001 – 2) : 1 + 1] : 2 = 501

Bài 14:

Cho dãy  , , 7, 1 , …

3

2 3 3

1 10 3

a) Xác !$  A j 2009 M dãy  !c cho?

b) Trong 2009

Hd:

3

DE  A j 2009 trong dãy  trên là: 10 1 20081

(2009 - 1) + =



b) _ A j 2007 trong dãy  trên là: 10 1

(2007 - 1) + = 669

3 3



Dãy

Bài 15:

a) Tìm x

(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + …… + (x + 28) = 155 b) Tính L7

S = 9, 8 + 8, 7 + …… + 2, 1 – 1, 2 – 2, 3 - … – 7, 8 – 8, 9

Hd:

a) Ta có:

x + 1 + x + 4 + x + 7 + …… + x + 28 = 155 (x + x + … + x) + (1 + 4 + 7 + … + 28) = 155

10  x + 145 = 155

x = 1 b) Ta có:

S = 9, 8 + 8, 7 + …… + 2, 1 – 1, 2 – 2, 3 - … – 7, 8 – 8, 9

= (2, 1 – 1, 2) + (3, 2 – 2, 3) + … (8, 7 – 7, 8) + (9, 8 – 8, 9)

= 1, 1  8 = 8, 8

Bài 1:

Hd:

Vì

Hay cách khác:

Ta có " !R7

Bài 2:

con.Tính

Hd:

Vì

Hay cách khác:

Ta có " !R7

Bài 3:

5 9

Hd:

Vì

mà

0:/6

Ta có " !R7

Bài 4:

8,2

Hd:

!6+

Ta có " !R7

Ta có

khi

Bài 5:

con Tính

Hd:

Ta có:

Ta có " !R7

Bài 6:

25

36

6

Hd:

Vì

cháu

Hay

Bài 7:

Hd:

!6+

Hay: 1

Khi

Bài 8:

con Tính

Hd:

Hay: 1

Ta có " !R7

Bài 9:

thì

Hd:

Theo bài ra ta có:

1)

6

Bài 10:

Hd:

Theo bài ra ta có:

1)

Bài 11:

Hd:

Theo bài ra ta có:

Mà

Bài 12:

Hi\n nay An nhiHu h"n Bình 14 tuLi Tính tuLi cMa 2 ng%Si hi\n nay, bit rng khi tuLi cMa Bình bng tuLi cMa An hi\n nay thì tuLi cMa An bng l/n tuLi cMa Bình khi !ó

3 5

27

20

15

Hd:

Theo bài ra ta có:

3 5

Hi\u s tuLi cMa 2 ng%Si sau này bng 5 2 l/n tuLi cMa Bình sau này

- 1 =

TuLi cMa An hi\n nay bng 1 l/n tuLi cMa Bình sau này Suy ta tuLi cMa Bình hi\n nay bng 2 1 l/n tuLi cMa Bình sau này

1 - =

3 3

VEy ta có s" !R nh% sau:

Theo s" !R trên ta có:

TuLi cMa An hi\n nay là: 14 : (3 – 1) × 3 = 21 (tuLi)

TuLi cMa Bình hi\n nay là: 14 : (3 – 1) × 1 = 7 (tuLi)

Bài 13:

5 3

M Hùng khi !+

Hd:

Theo bài ra ta có:

3 5

Hi\u s tuLi cMa 2 ng%Si sau này bng 5 2 l/n tuLi cMa Minh sau này

- 1 =

TuLi cMa Hùng hi\n nay bng 1 l/n tuLi cMa Minh sau này Suy ta tuLi cMa Minh hi\n nay bng 2 1 l/n tuLi cMa Minh sau này

1 - =

3 3

VEy ta có s" !R nh% sau:

Theo s" !R trên ta có:

TuLi cMa Hùng hi\n nay là: 12 : (3 – 1) × 3 = 18 (tuLi)

TuLi cMa Minh hi\n nay là: 12 : (3 – 1) × 1 = 6 (tuLi)

Bài 14:

14

12

Hd:

Theo bài ra ta có:

Mà nay và sau này % sau:

Bài 15:

Hd:

Theo bài ra ta có:

Mà

Bài 16:

Hd:

Theo bài ra ta có:

Mà sau 20

1 2

20 ) % sau:

90

Bài 17:

20 )

thì

Hd:

Theo bài ra ta có:

Mà

Bài 18:

3

Hd:

Theo bài ra ta có:

Mà

Do ! có " !R sau:

Bài 19:

3 5

Hd:

Theo bài ra ta có:

5 3

7

25

5 2

- 1 =

này Mà

1 - =

Bài 20:

thì

Hd:

Theo bài ra ta có:

Do ! suy ra:

Suy ra:

Mà ta



Bài 21:

Tính

2

Hd:

Theo bài ra ta có:

50%

 100%

Mà 62,5%

 100% - 62,5% = 37,5%

75%

Bài 1:

4

10, 14,

+ Tích M  chia   hàng cao  M %"

55 – 10 = 45

…

55 44 -…

104 -…

144 -…

…