De dap an thi thu dai hoc 05

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Cho hinh vuông ABCD, trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AC  4.AM và N là trung điểm của cạnh CD.. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân..[r]

Đ THAM KH O Ề Ả

Email: info@123doc.org

Đ THI TUY N SINH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2012 Ề Ể Ạ Ọ Ẳ

Môn thi : TOÁN - kh i B ố

Ngày thi th : tháng 04 năm 2012 ử

I PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Ầ Ấ Ả

Câu I: Cho hàm s : ố

2x 3 y

x 1





 có đ th là ồ ị  C

1 Kh o sát s bi n thiên và vẽ đ th ả ự ế ồ ị  C c a hàm s ủ ố

2.L p phậ ương trình ti p tuy n c a đ th ế ế ủ ồ ị  C t i nh ng đi m thu c đ th có kho ng cách đ n đạ ữ ể ộ ồ ị ả ế ường

th ng ẳ  d : 3x 4y 2 0   b ng ằ 2.

Câu II:

1 Gi i phả ương trình: 9sinx 6cosx cos2x 3sin2x 8   

2 Gi i h phả ệ ương trình:

2x y2 5 4x 2 y2 6 2x y 2 0

1

2x y











Câu III: Tính tích phân:  

2

3 0

3sinx 2cosx

sinx cosx











Câu IV: Cho hình lăng tr đ ng tam giác ụ ứ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân t i ạ B, AB BC a  M t bênặ

ACC'A' là hình vuông c ng b ng ạ ằ a 2, M là trung đi m ể BC. Tính th tích kh i t di n ể ố ứ ệ B'MCA và kho ngả

cách gi a ữ 2 đường th ng ẳ AM, B'C

Câu V: Cho 3 s th c ố ự a,b,c0;2 th a mãn ỏ a b c 3   Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ

2 2 2

M

ab bc ca



II PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc B )

A Theo ch ươ ng trình chu n ẩ

Câu VI.a:

1 Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxy, cho hình ch nh t ữ ậ ABCD có phương trình c nh ạ AB: x 2y 1 0   , đường chéo BD: x 7y 14 0   và đường chéo AC đi qua đi m ể E 2;1  Tìm t a đ các đ nh c a hình chọ ộ ỉ ủ ữ

nh t.ậ

2 Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộOxyz, cho A 0;1;0 ,B 2;2;2 ,C 2;3;1      và đường th ngẳ

Tìm đi m ể M trên  d đ th tích t di n ể ể ứ ệ MABC b ng ằ 3.

Câu VII.a: Tìm căn b c hai c a s ph c: ậ ủ ố ứ z 1 4i 3

B Theo ch ươ ng trình nâng cao

Câu VI.b:

1 Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxy, Cho hinh vuông ABCD, trên c nh ạ AC l y đi m ấ ể M sao cho AC 4.AM và

N là trung đi m c a c nh ể ủ ạ CD Ch ng minh r ng ứ ằ BMNlà tam giác vuông cân.

2 Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộOxyz, cho A 0;1;0 ,B 2;2;2 ,C 2;3;1      và đường th ngẳ

 Tìm đi m ể N trên  d đ di n tích tam giác ể ệ NAB nh nh t.ỏ ấ

Câu VII.b: Gi i phả ương trình:

2 2 2

2

log 5 2x

log 2x 1





H ƯỚ NG D N CH M Ẫ Ấ Câu I.

2 M x ;y 0 0 là đi m thu c đ th ể ộ ồ ị  C , khi đó:   0

0





Ta có:

 ho c ặ 3x04y0 8 0

TH1:

0

0



  3x20 x00 x00 ho c ặ 0

1 x 3



TH2: 3x04y0 8 0

0 0

0



  3x2019x020 0  x05 ho c ặ 0

4 x 3



Phương trình ti p tuy n ế ế  d t i ạ M thu c đ th ộ ồ ị  C có d ng:ạ

  0 0  0

y y' x x x y x trong đó và

 

0

1





Phương trình ti p tuy n ế ế  d1 t i ạ M 0;31  là yx 3 .

Phương trình ti p tuy n ế ế  d2 t i ạ 2

1 11

3 4

Phương trình ti p tuy n ế ế  d3 t i ạ 3

7

4

Phương trình ti p tuy n ế ế  d4 t i ạ 4

4

3

  là y9x 13

V y, có ậ 4 ti p tuy n th a đ bài: ế ế ỏ ề yx 3,

Câu II.

1 Phương trình đã cho  9sinx 6cosx 2cos x 1 6sinxcosx 8  2   

sinx 1

  ho c ặ 2sinx 6cosx 7 0   ( không th a )ỏ



V y, nghi m c a phậ ệ ủ ương trình là: x 2 k2



2

 

1

2x y











Đi u ki n: ề ệ 2x y 0 

 

2

2x y t

2x y





 , ta có phương trình:

t 3







 V i ớ t 2 t c ứ 2x y 2 3 

2x y





 T ừ  2 và  3 , ta có h : ệ

2x y

1

2x y











3y x 2







 

 3

x

4

1

y

2







 

 

 ho c ặ

3 x 8 1 y 4









 

 H cho có nghi m: ệ ệ

 V i ớ t 3 t c ứ 2x y 3 4 

2x y





 T ừ 2 và  4 , ta có h : ệ

2

x y 2x y

2x y















V y, cho có nghi m: ậ ệ

Câu III Đ t ặ x 2 t dx dt, x 0 t 2, x 2 t 0.

Câu IV Th tích kh i t di n ể ố ứ ệ B'MCA

Vì ACC'A' là hình vuông nên AC a 2, nên ABC vuông cân t i ạ B

2 AMC ABC

B'MCA MCA

G i ọ N là trung đi m ể BB', ta có CB' MN  CB' AMN  d CB',AM  d CB', AMN   d C, AMN   

Vì B,C đ i x ng nhau qua ố ứ M nên d C, AMN   d B, AMN   

Xét t di n ứ ệ NABM có BA,BM, BN đôi m t vuông góc.ộ

K ẻ BI MA, I MA   NI MA

K ẻ BHAMN H NI

Khi đó d B, AMN   BH

V y ậ d CB',AM  BH a

7

Câu V

Cách 1: Vì a,b,c0;2 nên a 2 b 2 c 2        0 abc 2 ab bc ca    4 a b c    8 0

Hay

L i có: ạ Ta có: a b c  2a2b2c22 ab bc ca    a2b2c2 9 2 ab bc ca   

Khi đó:

  Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả a;b;c 0;1;2 và các hoán v ị

Cách 2: Đ t ặ A ab bc ca a b c      bc a 3 a   bc

Xét f a  a 3 a  bc v i ớ a0;2 Ta có: f ' a 2a 3 và f ' a 0

3 a 2

Ta th y, ấ A đ t min khi ạ a 0 ho c ặ a 2

V i ớ a 0  b c 3   b 1;2 , khi đó A bc b 3 b    g b  Ta có: g' b 2b 3 và g' b  0 b 3

2

Ta

th y ấ A đ t min b ng ạ ằ 2 khi b 1 ho c ặ b 2

V i ớ a 2  b c 1   b 0;1 , tương t Ta th y ự ấ A đ t min b ng ạ ằ 2 khi b 0 ho c ặ b 1

V y, ậ

5 maxM

2



x y ra khi ả a;b;c  0;1;2 và các hoán v ị

Câu VI.a:

1 B AB BD   to đ đi m ạ ộ ể B là nghi m c a h : ệ ủ ệ x 2y 1 0 x 7 B 7; 3

Gi s : ả ử A2a 1; a AB:2 2y 1 0; D   7d 14; d BD: x 7y 14 0  

             

Vì AB AD                 AB.AD 0  3 a 15d 5a 30      0 a 3

( không th a ) ho c ỏ ặ 3d a 6 0  



H n n a: ơ ữ BCxC 7; yC 3



ABCD là hình ch nh t nên ữ ậ C C  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

và d 3

L i có: ạ E 2;1 AC EA, EC

 

cùng phương 6d 13 8 2d      d 2 3d 7    d2 5d 6 0 

d 2 a 0 A 1; 0 , B 7; 3 , C 6; 5 , D 0; 0

V y, ậ A1; 0 , B 7; 3 , C 6; 5 , D 0; 0 là các đ nh c a hình ch nh t c n tìm.ỉ ủ ữ ậ ầ

2

 

x 1 2t

z 3 2t

 





 



  

 M d  M 1 2t; 2 t; 3 2t     

AB 2; 1; 2 , AC 2; 2;1  AB; AC 3; 6; 6 3 1; 2; 2 3.n, n1; 2; 2

Phương trình m t ph ng ặ ẳ ABC đi qua A 0;1;0  và có vect pháp tuy n ơ ế n1; 2; 2  là :

x 2y 2z 2 0   

ABC

 

Kho ng cách t ả ừ M đ n m t ph ng ế ặ ẳ ABC: d M, ABC  1 2t 2 2 t  2 3 2t  2 4t 11

3

1 4 4

 

Th tích t di n ể ứ ệ MABC b ng ằ

4t 11



ho c ặ

17

4



V y có hai đi m ậ ể M c n tìm là ầ

  ho c ặ

15 9 11

2 4 2



Câu VII.a: Xét s ph c ố ứ   x iy x,y   2 x2 y22xyi

 là căn b c hai c a s ph c ậ ủ ố ứ z 1 4i 3 khi và ch khi ỉ

2 2

1 4i 3

2xy 4 3







2

12

2 3

x





Câu VI.B:

1 Goi a là đ dài c nh hình vuông ộ ạ ABCD Ch n h t a đ ọ ệ ọ ộ Oxysao cho A 0;0 , B a;0 , C a,a      và D 0;a  T ừ

gi thi t ta có ả ế

1 1

4 4

1

2

1 3

4 4



,





T đó có ừ MN.MB 0  

và

5

MN MB a

8

BMN

  vuông cân t i ạ M

2 N d  M 1 2t; 2 t; 3 2t     

2 ABN

 

 

ABN

3 2

2

Câu VIIB

2

2

1 x 4

1

2











