de thi gvg cap huyen 6

Gọi O;R là đường tròn ngoại tiếp, I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác đó.. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÁ THƯỚC NĂM HỌC 2011 – 2012 KỲ THI ………

Đề thi có 01 trang

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: … tháng … năm 2011

Câu 1: (4 điểm)

1 Giải hệ phương trình:

¿

x2− 4 x +4 y2=0

x2+4 xy +4=0

¿{

¿

2 Giải phương trình: (2x2 – 3x +1)(2x2 + 5x +1) = 9x2

Câu 2: (4 điểm)

Cho biểu thức: A=( √x ( x√ √x −1 x +2) −

1

√x −1):(1 − √x +2

x+√x +1)

1 Tìm x để biểu thức A có nghĩa.

2 Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị của x để A < 2.

Câu 3: (4 điểm)

1 Chứng minh rằng: x8− x5− x4

+x2− x+1≥ 0 với mọi x

2 Cho phương trình: x2−2 (a −1 ) x +a − 4=0 (1) (a là tham số)

Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

giá trị của a Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương các nghiệm của phương

trình (1).

Câu 4: (6 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có góc C bằng 600 Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp,

I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác đó.

1 Chứng minh rằng: AOB = AIB = 1200, suy ra bốn điểm A, I, O, B nằm trên một đường tròn Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

2 Tia BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại E (E ≠ B) Chứng minh rằng AIE là tam giác đều, từ đó suy ra IA + IB ≤ 2R Dấu bằng xảy ra khi nào?

Câu 5: (2 điểm)

Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện: x2

+y2

+z2≤ 3 Tìm GTLN của

4 4 4

Hết

BÁ THƯỚC NĂM HỌC 2011 – 2012

Đáp án Đề thi … Môn thi: Toán

Câu

1

4 đ

1 (2 đ) Cộng vế với vế của hai phương trình ta được:



Từ đó ta có:

¿

x − 2=0 x+2 xy=0

¿{

¿

Dẫn đến:

¿

x=2 y=− 1

¿{

¿ ………

2.( 2điểm)

+ Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm

+ Với x khác 0, chia cả 2 vế của phương trình cho x2 0 ta được:

(2 x −3+1

x)(2 x+5+

1

x)=9

Đặt y=2 x+1

x ta có: (y −3)( y +5)=9 (2)

Giải (2) ta được y1 = - 6 và y2 = 4

 Với y1 = - 6 ⇔2 x+1

x=−6 Giải ra ta được :

x1,2=1 ±√7

2

 Với y1 = 4 ⇔2 x+1

x=4 Giải ra ta được :

x3,4=2 ±√2

2

Kết luận phương trình đã cho có 4 nghiệm như trên

0,5 0,5 0,5 0,5

0,25 0,25 0,5

0,25

0,5 0,25

Câu

2

4đ

1) (1đ) Điều kiện để A có nghĩa là: x 0 ; x 1

2) (3đ) A = x −2√x −(x+√x +1)

(√x −1)(x+√x +1) :

x +√x+1 −(√x+2) x+√x +1

= (√x −1)(x+√x +1)

(√x −1)(x +√x+1)(x − 1) =

1

x −1

A = x −11 < 2  2 - x −11 = 2 x − 3 x −1 > 0  x < 1 ; x > 3/2

Kết hợp với điều kiện ta có: 0 x < 1 ; x > 3/2

1 0,5 1

1 0,5

Câu

3

1/ (2đ0 Đặt T = x8 – x5 – x4 + x2 – x + 1, ta có

2T = 2x8 – 2x5 – 2x4 + 2x2 – 2x + 2 = 0,5

= (x8 – 2x4 +1) + (x8 – 2x5 + x2) + ( x2 - 2x + 1)=

= (x4 – 1)2 + x2(x3 – 1)2 + (x – 1)2 0 với mọi x  T 0 với

mọi x

Dấu bằng xảy ra  x = 1

………

2) (2đ) Biệt thức Δ’ = (a – 1)2 – (a – 4) = (a - 3/2)2 + 11/4 > 0 với mọi a nên phương

trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = 2(a – 1) và x1x2 = a – 4

x1 + x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = 4a2 – 10a + 12 = (2a – 5/2)2 + 23/4 23/4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 5/4

Vậy min(x12 + x22) = 23/4  a = 5/4

0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu

4

6,0đ

1) (4đ):- Vẽ hình đúng

- Ta có ∠ AOB = 2 ∠ ACB = 2 600 = 1200

Vì ∠ C = 600 nên ∠ A/2 + ∠ B/2 = 600 C

Do đó ∠ AIB = 1800 – 600 = 1200

- Hai điểm I và O cùng nằm trong

nửa mặt phẳng bờ AB, E

cùng nhìn AB dưới góc 1200

nên chúng nằm trên cung chứa góc 1200 ii

vẽ trên đoạn AB II

- Vậy 4 điểm A, I, O, B A

cùng nằm trên một đường tròn B

- Giả sử CI cắt (O) tại D

Vì ∠ ACD = ∠ DCB = 300

nên cung AD = cung DB và ∠ AOD = ∠ DOB = 600 D

Mà OA = OD = OB = R nên ΔOAD và ΔODB là các tam giác đều

Do đó: DA = DB = DO = R Suy ra đường tròn đi qua A, I, O, B có tâm là D và bán

kính bằng R

………

2) (2đ) Tia BI cắt (O) tại E Ta có ∠ AEB = ∠ ACB = 600  ∠ AIE =

600

Tam giác AIE là tam giác đều

Vậy IA = IE Do đó: IA + IB = IE + IB = EB 2R (độ dài dây cung không lớn

hơn độ dài đường kính)

Dấu bằng xảy ra  EB là đường kính của (O), khi đó I trùng O và ΔACB đều

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Câu

5

2đ

Đặt a = x2, b= y2, c = z2

Khi đó a, b, c không âm và a + b + c 3

Ta được: M 1 2 1 2 1 2

  

Thật vậy : a

1+a2≤

a

2 a=

1

2 Dấu ‘=’ xẩy ra khi a = 1

Tương tự b

1+b2≤

b

2 b=

1

2 Dấu ‘=’ xẩy ra khi b = 1

c

1+c2≤ c

2 c=

1

2 Dấu ‘=’ xẩy ra khi c = 1

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta có

3 2

M 

,

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

O I

Vậy GTLN của

3 2

M 

khi x = y = x = 1