Liên phân số với tử số bất kỳ

Năm 2011, Anselm và Weintraub [2] đãnghiên cứu và công bố một số kết quả về liên phân số tổng quát có dạng trong đó z là một số nguyên dương tùy ý.. Mọi số thực đều có thể biểu diễn dưới

HOÀNG THỊ THU HIỀN

LIÊN PHÂN SỐ VỚI TỬ SỐ BẤT KỲ

THÁI NGUYÊN - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

HOÀNG THỊ THU HIỀN

LIÊN PHÂN SỐ VỚI TỬ SỐ BẤT KỲ

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

Chương 1 Liên phân số chính tắc 3

1.1 Định nghĩa 3

1.2 Thuật toán biểu diễn số thực bằng liên phân số chính tắc 4

1.3 Liên phân số hữu hạn, liên phân số vô hạn 4

1.4 Dãy giản phân của số thực 5

1.5 Liên phân số của nghịch đảo 6

Chương 2 Liên phân số với tử số nguyên dương 7 2.1 Một số kết quả 7

2.2 Khai triển số vô tỷ bậc hai 14

2.3 Phương trình Pell 21

Chương 3 Liên phân số với tử số bất kỳ 28 3.1 Các liên phân số có dạng các hàm hữu tỷ 28

3.2 Biểu diễn, tính hội tụ và tính duy nhất 30

3.3 Khai triển với số hữu tỷ z 38

3.4 Khai triển tuần hoàn và số vô tỉ bậc hai giảm 40

3.5 Các khai triển tuần hoàn cho √n 43

Mỗi số thực đều có thể được viết dưới dạng liên phân số chính tắc Liên phân

số có nhiều ứng dụng thực tế (xem [1]) Năm 2011, Anselm và Weintraub [2] đãnghiên cứu và công bố một số kết quả về liên phân số tổng quát có dạng

trong đó z là một số nguyên dương tùy ý Năm 2017, Greene và Schmieg [3] đã

mở rộng kết quả của Anselm và Weintraub cho trường hợp z là một số thực bất

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo

TS Ngô Văn Định Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đápcác thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong Khoa Toán - Tin,trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng dẫn, truyềnđạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn.Cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong thờigian làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018

Người viết luận văn

Hoàng Thị Thu Hiền

x = a 0 + b1

a 1 + b2

a 2 + b3

a 3 +

trong đó b n là số nguyên dương

Mọi số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số chính tắc Cách biểudiễn số thực dưới dạng liên phân số cho ta khá nhiều đặc trưng thú vị Chẳnghạn, với liên phân số dạng chính tắc như đã nêu trong định nghĩa trên, ta có x

là số hữu tỷ khi và chỉ khi dãy {an } n≥1 là dãy hữu hạn; nếu dãy {an } n≥1 là mộtdãy vô hạn tuần hoàn thì xlà nghiệm của một đa thức bậc hai với hệ số nguyên

Để tránh phải viết công thức cồng kềnh, chúng ta thường viết liên phân số(1.1) dưới dạng:

f khác 0, ta lặp lại các bước trên với r thay bằng 1/f

= 4 + 1

2 + 743

= 4 + 1

2 + 143 7

= 4 + 1

2 + 1

6 + 17

Như vậy, ta có

415

93 = [4; 2, 6, 7].

1.3 Liên phân số hữu hạn, liên phân số vô hạn

Liên phân số hữu hạn biểu diễn số hữu tỉ Ngược lại, một số hữu tỉ bất kì cóthể biểu diễn bằng liên phân số hữu hạn theo 2 cách: cách thứ nhất, bằng thuậttoán nêu ở phần thuật toán biểu diễn số thực bằng liên phân số, ta được liênphân số

[a 0 ; a 1 , a 2 , , an−1, a n ];

cách thứ hai, từ biểu diễn ở cách thứ nhất, ta bớt đi 1 đơn vị ở thành phần cuối,

và thêm vào sau nó một thành phần đúng bằng 1:

[a 0 ; a 1 , a 2 , , an−1, a n − 1, 1].

Ví dụ 1.3 Thực hiện thuật toán nêu trong Mục 1.2, ta có:

√

1093 là nghiệm của đa thức bậc hai

7x2+ 27x − 13.

1.4 Dãy giản phân của số thực

Cho số thực r có dạng liên phân số là [a 0 ; a 1 , a 2 , , an−1, a n , ] (có thể hữuhạn hoặc vô hạn) Từ công thức biểu diễn trên, có thể xây dựng một dãy số hữu

tỉ (hữu hạn hoặc vô hạn) hội tụ đến r, dãy này gọi là dãy giản phân:

h 0

k 0

= a01

h n

k n = [a 0 ; a 1 , a 2 , , an−1, a n ]

5 6

11 13

16 19

27 32

1.5 Liên phân số của nghịch đảo

Cho số hữu tỷ dương r, nếu biết dạng liên phân số của nó là

cf N Hơn nữa, nếu N > 1 thì mỗi số hữu tỷ có cả khai triển cf N hữu hạn và

vô hạn; nếu N > 2 nó có khai triển không tuần hoàn Nếu N > 1, mọi số vô

tỷ bậc hai có cả khai triển tuần hoàn và không tuần hoàn Ở đây chúng ta sửdụng ngôn ngữ và ký hiệu chuẩn: x 0 = [a 0 , a 1 , a 2 , ] N là tuần hoàn theo chu kỳ

k từ i = m nếu ai+k = a i với mọi i ≥ m, và trong trường hợp này chúng ta viết

x 0 = [a 0 , , am−1, a m , , am+k−1] N

Chúng tôi cũng trình bày lại khái niệm về khai triểncf N tốt nhất của số thực

x 0, ký hiệu bởi x 0 = [[a 0 , a 1 , a 2 , ]]N

Trong Mục 2.2, chúng ta sẽ thấy rằng, với N > 1, mỗi số vô tỷ bậc hai cókhai triển tuần hoàn cfN

Lý thuyết về các liên phân số cổ điển liên quan mật thiết đến phương trìnhcủa Pell, và trong Mục 2.3 chúng ta trình bày lại các kết quả tương tự trongtrường hợp N > 1

2.1 Một số kết quả

Trong mục này chúng tôi trình bày lại các kết quả của Anselm và Weintraub[2] về liên phân số với tử số nguyên dương, tức là tổng quát của các liên phân sốchính tắc, trong đó “tử số” 1 được thay thế bằng một số nguyên dươngN tùy ý

Cho N là một số nguyên dương tùy ý, chúng ta xét các liên phân số dạng

trong đó a 0 là một số nguyên và a 1 , a 2 , a 3 , là các số nguyên dương Chúng ta

sẽ ký hiệu liên phân số này là [a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ] N và xem nó như là một khai triển

cfN Trước tiên, sử dụng phương pháp quy nạp ta dễ dàng có được các bổ đềsau:

Bổ đề 2.1 Cho b 0 là một số thực không âm và cho b 1 , , b n là các số thựcdương

(a) [b 0 , b 1 , , b n ]N = [b 0 , b 1 , , bk−1, [bk, bk+1, , b n ]N]N

(b) [b 0 , b 1 , , b n ] N = [b 0 , b 1 , , bn−1+ N/b n ] N

(c) Với số nguyên dương m bất kỳ,

[b 0 , mb 1 , b 2 , mb 3 , , kb n ] mN = [b 0 , b 1 , , b n ] N ,

trong đó k = 1 nếu n là chẵn và k = m nếu n là lẻ

Bổ đề 2.2 Xác định dãy {pn } và {qn } quy nạp theo

Chứng minh Theo Bổ đề 2.1(c), với mỗi n,

[a 0 , a 1 , , a n ] N = [b 0 , b 1 , , b n ] 1 ,

với b i = a i khi i chẵn và b i = a i /N khi i lẻ Cho C n = [b 0 , b 1 , , b n ] 1 Dãy

{C 0 , C 2 , C 4 , } tăng ngặt và dãy {C1 , C 3 , C 5 , } giảm ngặt, và mọi số hạngtrong dãy thứ nhất nhỏ hơn mọi số hạng trong chuỗi thứ hai Như vậy dãy thứnhất hội tụ đến giới hạn trên nhỏ nhất là L e và chuỗi thứ hai hội tụ tới cậndưới L 0, với L e ≤ L 0 Ta lại có L e = L 0, tức là, dãy {C0 , C 1 , C 2 , } hội tụ khi vàchỉ khi chuỗi P∞

n=0 b i phân kỳ Nhưng vì mỗi a i là một số nguyên, b i ≥ 1/N với

i ≥ 1, vì vậy ta thừa nhận trường hợp này

Chúng ta dễ dàng chứng minh trực tiếp sự hội tụ của {C0 , C 1 , C 2 , } Chúng

ta có |L0 − L e | = L 0 − L e < C 2n+1 − C 2n với mọi n, và từ Bổ đề 2.3 chúng ta có

C 2n+1 − C 2n = 1/q 2n+1 q 2n Ta lại có C n = [a 0 , a 1 , , a n ] N, bằng quy nạp chứngminh được q 2n+1 ≥ (a 1 /N )(1 + 1/N )n và q 2n ≥ (1 + 1/N)n, do đó 1/q 2n+1 q 2n → 0

khi n → ∞

Bây giờ chúng tôi trình bày một thuật toán để tạo ra khai triển cfN

Định lý 2.5 Cho x 0 ∈R, x 0 > 0 Xét thuật toán

(1) Cho i = 0

(2) Chọn a i ∈N sao cho x i − N ≤ a i ≤ ⌊x i ⌋, với ⌊xi ⌋ là phần nguyên của x i

(3) Đặt r i = x i − a i

(4) Nếu r i = 0, kết thúc Nếu không, hãy cho x i+1 = N

r i, tăng i, và đi đến bước(2)

Khi đó x 0 = [a 0 , a 1 , a 2 , ] N (trong đó chỉ có thể có hữu hạn a i)

Chứng minh Trước tiên chúng ta sẽ xác minh rằng thuật toán này có thể đượcthực hiện như mô tả Khó khăn duy nhất có thể nảy sinh nếu x i < 1 với một số

i > 0 vì sau đó chúng ta sẽ không thể chọn a i làm mô tả thuật toán Chúng tabiết rằng x 0 là một số dương và vì chúng ta cho phép a 0 là 0, chúng ta luôn cómột sự lựa chọn hợp lệ cho i = 0 bằng cách chọn a 0 = ⌊x 0 ⌋ Giả sử rằng chúng

ta đã chọn a i thỏa mãn bất đẳng thức trong bước (2) Suy ra có

0 ≤ x i − ⌊x i ⌋ ≤ x i − a i = r i < x i − (x i − N) = N.

Nếu r i = 0, thuật toán sẽ kết thúc Nếu không, chúng ta nhận được 0 < r i < N

do đó x i+1 = N

r i > 1 vì vậy chúng ta có thể thực hiện một sự lựa chọn hợp lệ cho

a i+1 Do đó, bằng quy nạp, chúng ta luôn có thể chọn a i như mô tả trong bước(2) nếu thuật toán vẫn chưa chấm dứt

Chứng minh hội tụ đến x 0 tương tự như trường hợp cổ điển và chúng ta bỏqua nó

Định nghĩa 2.6 Nếu trong bước (2) của thuật toán, chúng ta chọn a i = ⌊x i ⌋,chúng ta gọi đây là sự lựa chọn tốt nhất cho a i Nếu chúng ta thực hiện sự lựachọn tốt nhất cho mỗi a i thì chúng ta gọi khai triển liên phân số thu được là tốtnhất

Ta biểu thị một khai triển cfN tốt nhất là[[a 0 , a 1 , a 2 , ]]N và sử dụng ký hiệu

[[x 0 ]] N để biểu thị cho khai triển tốt nhất cf N của số thực x 0

Có một tiêu chí đơn giản để quyết định khi một khai triển cf N là một khaitriển cf N tốt nhất

Bổ đề 2.7 Một khai triển cfN vô hạn [a 0 , a 1 , ]N là khai triển cfN tốt nhấtkhi và chỉ khi a i ≥ N với mọi i ≥ 1 Một khai triển cf N hữu hạn [a 0 , a 1 , , a n ] N

là một khai triển cf N tốt nhất khi và chỉ khi n = 0, hoặc n > 0 và a i ≥ N với

có hai khai triển cf 1, dạng [a 0 , a 1 , , a n ] 1 với a n ≥ 2 và [a 0 , a 1 , , a n − 1, 1] 1, và

1 có hai khai triểncf 1 [1] 1 và [0, 1] 1 Trong bất kỳ trường hợp nào, khai triển cf 1

tốt nhất là khai triển đầu tiên

Định lý 2.8 Đối với N ≥ 2, mọi số vô tỷ dương x 0 có vô số khai triển cf N vôhạn, và vô số trong số những khai triển này là không tuần hoàn

Chứng minh Cho một số khai triển của x 0 , [a 0 , a 1 , a 2 , ]N, chúng ta sửa đổi nótheo cách sau: chọn một số k > 0 Thực hiện thuật toán trên x 0 và tạo mộtkhai triển khác[a′0, a′1, a′2, ] N bằng cách chọna′i = a i với mọi i < k Sau đó chọn

a′k = ⌊x k ⌋(một lựa chọn hợp lệ) Nếua′k 6= a k chúng ta có thể tiếp tục chọn a′ibất

kỳ và ta sẽ có một khai triển mới chox 0 Giả sử rằnga k = a′k Nếua k+1 6= ⌊x k+1 ⌋,chọna′k+1 = ⌊x k+1 ⌋và ta có một khai triển mới cho x 0 Giả sử rằng ak+1 = ⌊x k+1 ⌋

mô tả trước đó Điều này đảm bảo rằng không có dãy hữu hạn các sự lựa chọnnào sẽ được lặp lại vô hạn lần Như vậy với mọi s chúng ta có một khai triểnkhông tuần hoàn cho x0

Bổ đề 2.9 Khai triển cf N tốt nhất của một số hữu tỷ dương là hữu hạn.Chứng minh Nếu x 0 là một số hữu tỷ, thì r i là số hữu tỷ với mọii Cho r i = di

Đối với một số nguyên dương m, chúng ta cho mk biểu thị một dãy k số m,

và cho m∞ biểu thị một dãy vô số số m. Bằng tính toán trực tiếp, chúng ta có

bổ đề sau:

Bổ đề 2.10 (a) Cho N ≥ 2 Thì với k ≥ 0 bất kỳ, ta có

N = [(N − 1) k , N ]N và N = [(N − 1)∞]N.

(b) Cho N ≥ 4 là chẵn Thì

N = [N − 2, (N − 2)/2, N] N

(c) Cho N ≥ 3 là lẻ Thì

N = [N − 2, (N − 1)/2, 2N − 1, N] N

Định lý 2.11 Cho x 0 là một số hữu tỷ dương

(a) Đối vớiN ≥ 2 bất kỳ, x 0 có khai triển cfN hữu hạn với độ dài dài tùy ý, và

ít nhất một sự mở rộng cf N vô hạn

(b) Đối với N ≥ 3 bất kỳ, x0 có vô số khai triển cfN tuần hoàn khác nhau và

vô số các khai triển cf N không tuần hoàn khác nhau

(c) Với N = 2, mọi khai triển cf N vô hạn của x 0 đều có dạng

Trong trường hợp N lẻ, lập luận tương tự, sử dụng Bổ đề 2.10(c).

(c) Viết x0 = a/b là một phân số trong các số hạng nhỏ nhất Ta chứng minhđiều này bằng cách quy nạp theo b

Giả sử b = 1, do đó x 0 = a là một số nguyên Bằng cách kiểm tra thuậttoán của chúng ta, rất dễ dàng để thấy rằng bất kỳ khai triển cf 2 hữu hạnnào của x 0 phải là

a = [a] 2 = [a − 1, 1 k , 2] 2 cho một số k ≥ 0 = [a − 2, 1]2 nếu a ≥ 2,

và khai triển cf 2 vô hạn duy nhất của a là

a/b = [c − 1, 1, [x′2 ] 2 ] 2

với x′2 = 2(a − b(c − 1))/(2b − (a − b(c − 1))) và 2b − (a − b(c − 1)) < b, do đóbằng quy nạp chúng ta đã làm xong

Nhận xét 2.12 Chỉ có thể có hữu hạn các chuỗi tuần hoàn a 0 , a 1 , và một

số dương x 0 bất kỳ chỉ có hữu hạn khai triển cfN tuần hoàn (có thể không có).Việc lập luận chéo của chứng minh Định lý 2.8 cho thấy rằng bất kỳ số vô tỷ

x 0 nào đều có vô số các khai triển tuần hoàn cf N với N ≥ 2 bất kỳ, và việc xâydựng trong chứng minh của Định lý 2.11 cho thấy rằng bất kỳ số hữu tỷ x 0 nàođều có vô số các khai triển không tuần hoàn cf N với N ≥ 3 bất kỳ

2.2 Khai triển số vô tỷ bậc hai

Trong phần này, chúng tôi trình bày các kết quả về khai triển cf N của các số

vô tỷ bậc hai, tức là các số vô tỷ là nghiệm của một phương trình bậc hai với

Giả sử E là một số nguyên dương mà không phải là một số chính phương,

D = ⌊√E⌋, và a = E − D2, suy ra E = D2+ a với 1 ≤ a ≤ 2D Ngoài ra, N đượccho là nhỏ (đối với E) nếu N ≤ 2D và lớn (đối với E) trong trường hợp còn lại(lưu ý rằng N = 1 luôn là nhỏ)

Bổ đề 2.15 Giả sử rằng a là ước của 2DN Thì

√

E = [D, 2DN/a, 2D] N ,

tuần hoàn theo chu kỳ 2 nếu a 6= N và chu kỳ 1 nếu a = N Đây là khai triển

cfN tốt nhất của √E khi và chỉ khi a và N đều nhỏ so với E

Chứng minh Tính trực tiếp cho thấy rằng đây luôn luôn là một khai triển cf N

của √E, và nó suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.7 rằng đó là khai triển cf N tốt nhấtcủa √E chính xác khi các điều kiện nhất định được thỏa mãn

Nhận xét 2.16 Chú ý rằng nếu a là ước của 2D, thì

[D, 2DN/a, 2D]N = IN([D, 2DN/a, 2D] 1 ).

Nhưng nếu không, khai triển cf N này không đến từ một khai triển cf 1

Các trường hợp a = 1, a = 2, hoặc a = 4 và D chẵn được dề cập đến trong

Bổ đề 2.15 Trong trường hợp a = 4 vàD lẻ ta có những điều sau đây

Sử dụng Bổ đề 2.7 ta có thu được hai bổ đề sau đây:

Bổ đề 2.17 Cho D > 1 là lẻ, và cho E = D2+ 4 Sau đó

√

E = [[D, (D − 1)/2, 1, 1, (D − 1)/2, 2D]] 1 , tuần hoàn theo chu kỳ 5,

và

√

E = [[D, (D 2 − 1)/2, D, 2D 2 + 2, D, (D 2 − 1)/2, 2D]] D , tuần hoàn theo chu kỳ 6.

Bổ đề 2.18 (a) Với D > 1, nếu a = 2D − 1, thì

√

E = [D, 1, D − 1, 1, 2D] 1 theo chu kỳ 4và

√

E = [[D, D + 1, 2D 3 + 2D 2 − 2D, D + 1, 2D]] D , theo chu kỳ 4 .

(b) Với D ≥ 4 chẵn, nếu a = 2D − 3, thì

√

E = [D, 1, (D − 2)/2, 2, (D − 2)/2, 1, 2D] 1 theo chu kỳ 6và

√

E = [[D, D + 2, (D 2 − 2D)/2, D + 2, 2D]] D , theo chu kỳ 4khi D 6= 6 và theo chu kỳ 2 khi D = 6

(b) VớiD ≥ 5 lẻ và a = 2D − 3, bằng chứng số học cho thấy khai triển cf D tốtnhất của √E không phải luôn luôn tuần hoàn

(c) Nếua = 2D vàN là nhỏ, tức là, N ≤ 2D, sau đó √E được đề cập đến trong

Bổ đề 2.15, vì vậy hai trường hợp được đưa ra trong Bổ đề 2.18 (d) là haitrường hợp đầu tiên với N lớn Có vẻ như không có kết quả tương tự với

N = 2D + 3, và điều này có thể là một trường hợp không tuần hoàn

Ví dụ 2.20 Choa = 3 vàN = 2 Nếu D chia hết cho 3 thì √E được đề cập đếntrong Bổ đề 2.15 Nếu không chúng ta có

487 = [[22, 29, 5, 7, 16, , 16, 7, 5, 29, 44])2 tuần hoàn theo chu kỳ 136.

Ví dụ 2.21 Các ví dụ sau đây cho ta trường hợp N > 1 và [[ √

E]] N có chu kỳlẻ:

Bổ đề sau đây cho ta một số họ các chu kỳ lẻ:

Bổ đề 2.22 (a) Với j ≥ 1 bất kỳ, cho D = 3j + 1, a = 6j, E = D2 + a = 9j2+ 12j + 1 Thì

Khi đó, bằng tính toán, ta có bổ đề sau:

Bổ đề 2.24 (a) Cho x là N-giảm Cho A = ⌊x⌋ và y = N/(x − A) Thì y là

N-giảm và ⌊−N/y⌋ = A

(b) Cho x là N-giảm Khi đó, y = −N/x là N-giảm

Định lý 2.25 Cho x 0 là N-giảm và giả sử rằng [[x 0 ]]N là tuần hoàn theo chu

kỳ k Thì [[x 0 ]] N = [a 0 , a 1 , , ak−1] N, nghĩa là chu kỳ bắt đầu từ a 0

Chứng minh Chúng ta có x 0 = [x 0 ] N = [a 0 , x 1 ] N = [a 0 , a 1 , x 2 ] N = và từ Bổ đề2.24 chúng ta có x i là N-giảm với mọi i ≥ 0 Bây giờ theo giả thiết chúng ta có,với một số j,

x 0 = [a 0 , a 1 , , aj−1, a j , , aj+k−1] N

Đặt z = x j = xj+k Suy ra z = x j = N/(xj−1 − a j−1 ) và tương tự z = xj+k = N/(xj+k−1− a j+k−1 ) Như vậy

xj−1 = aj−1+ N/z, xj+k−1 = aj+k−1+ N/z,

xj−1 = aj−1+ N/z, xj+k−1 = aj+k−1+ N/z,

và do đó xj−1− x j+k−1 = aj−1− a j+k−1 Nhưng −1 < xi < 0 với mọi i, vì vậy

−1 < x j−1 − x j+k−1 < 1 Nhưng aj−1 và aj+k−1 là hai số nguyên, vì vậy ép

xj−1 = xj+k−1 và do đó aj−1 = aj+k−1 Thực hiện theo cách quy nạp đi xuốngchúng ta có đượcaj−2 = aj+k−2, , a 0 = ak và do đó chu kỳ bắt đầu bằnga 0

Hệ quả 2.26 Cho N là nhỏ Giả sử [[ √

E]] N là tuần hoàn theo chu kỳ k Khi

đó [[ √

E]]N = [a 0 , a 1 , , ak]N với ak = 2a 0

Chứng minh Đặt x = D + √

E Suy ra [[x]] N = [2a 0 , a 1 , a 2 , ] N Nhưng x là

N-giảm vì vậy [[x]] N là tuần hoàn bắt đầu với 2a 0, theo Định lý 2.25

Hệ quả 2.27 Cho N là lớn Giả sử [[ √

E]]N là tuần hoàn theo chu kỳ k Cho

h = ⌊N/(D +√E)⌋ ≥ 1 Khi đó [[ √

E]] N = [a 0 , a 1 , a 2 , , a k+1 ] N với a k+1 = a 1 + h.Chứng minh Chox = √

E Suy ra[[x]] N = [a 0 , a 1 , x 2 ] N với a 0 = D, x 1 = N

x 0 − a 0 = N

√

E − D, a1 = ⌊N/(

√

E − D)⌋ ≥ N, và x 2 = N/(x 1 − a 1 ) Chắc chắn x 2 > N.Bây giờ x 2 = N/(x 1 − a 1 ) và x 1 = N

−√E − D < 0, nên x 2 < 0 Ngoài ra,

−1/x 2 = (a 1 − x 1 )/N > a 1 /N ≥ 1, nên −1 < x2 Như vậy x 2 là N-giảm, và do đó,theo Định lý 2.25, [[x 2 ]] N = [a 2 , a 3 , ] N là tuần hoàn theo chu kỳ k bắt đầu với

Định lý sau đây cho ta thây chiều ngược lại của Định lý 2.25 cũng đúng

Định lý 2.28 Giả sử [[x 0 ]] N là tuần hoàn theo chu kỳ k bắt đầu từ a 0, [[x 0 ]] N = [a 0 , a 1 , , ak−1] N Thì, x 0 là N-giảm.

Chứng minh Đầu tiên quan sát thấy rằng x 0 > a 0 = ak ≥ N

Chứng minh Như chúng ta đã thấy

(palin-có dạng c 1 , , c j , d 1 , , dk với c 1 , , c j và d 1 , , dk là các dãy đối xứng

Nhận xét 2.32 Theo Định lý 2.30, chúng ta thấy rằng đối với N nhỏ, nếu

[[ √

E]]N tuần hoàn theo chu kỳ k với phần tuần hoàn cho bởi a 1 , , ak (luônluôn đúng với N = 1), thì hoặc ta có k = 1 hoặc a 1 , , ak là nửa đối xứng loại(k − 1, 1)

Bây giờ giả sử rằng N là lớn và [[ √

E]] N tuần hoàn theo chu kỳ k với phầntuần hoàn cho bởi a 2 , , ak+1 Trong trường hợp này tình huống phức tạp hơn

Ví dụ 2.33 (a) Các khai triển cf N trong Bổ đề 2.18(d) là nửa đối xứng loại(1, 1)

(b) Ta có khai triển nửa đối xứng

(d) Ta có khai triển nửa đối xứng

trong đó p i và q i được đưa ra bởi đệ quy trong Định lý 2.2 Trong trường hợp

cổ điển, điều này liên quan mật thiết đến các cách giải phương trình của Pell

p2− Eq2= 1 Trong mục này, chúng ta sẽ thấy một số tính chất tương tự trongtrường hợp N bất kỳ

v i+1

Rõ ràng u i+1 là một số nguyên Ta đi chứng minh rằng v i+1 là một số nguyênbằng quy nạp Lưu ý rằng u 1 = N a 0 , v 1 = E − a20 nên v 0 và v 1 là các số nguyên.Suy ra v i+1 ∈Z⇔ v i |N2iE − (a i v i − u i ) 2 ⇔ v i |N2iE − u2i

bất kỳ của √E Khi đó p2i − Eq2i = (−1)i+1vi+1.

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo i Với i = −1, p2

i − Eq i2 = (1)2− E(0)2 = 1 = v 0 Với i = 0, p2i − Eq i2= a20− E(1)2 = −(E − a 0 )2 = −v 1

Giả sử đúng với i Suy ra

[ √ E] N = [a 0 , , a i , x i+1 ] N

vi+1 .

Thay vào, ta được

Ni+1Eq i = u i+1 p i + pi−1v i+1 N, (2.1)

u i+1 q i + qi−1v i+1 N = Ni+1p i (2.2)Lấy p i(2.2)−qi (2.1) ta được

Ni+1(p2i − Eq2i ) = N v i+1 (p i qi−1− p i−1 q i ).

Nhưng chúng ta biết rằngp i qi−1− p i−1 q i = (−1)i−1Ni và thay thế và khử ta được

p2k−1− Eqk−12 = (−N)k, và u k = a 0 Nk = DNk

Ngược lại, nếu vk = Nk và uk chia hết cho Nk, thì [[ √

E]]N là tuần hoàn theochu kỳ k với a 1, và ak = 2a 0

Nhưng xk = ak+ N/xk+1, xk− a k = N/xk+1, vàx 0 = a 0 + N/x 1 , x 0 − a 0 = N/x 1,

do đó x k − a k = x 0 − a 0, tức là x k = a k − a 0 + √

E.Hơn nữa, ta có x k = uk+ N

k √ E

và trong trường hợp này chúng ta phải có a k = 2a 0

Nhận xét 2.37 Lưu ý trong trường hợp N = 1 điều kiện mà u k chia hết cho

Nk là tất yếu Nhưng trong trường hợp N > 1 thì không, và có thể là vk = Nk

nhưng u k không chia hết cho Nk, nên [[ √

E]] N không có chu kỳ k Ví dụ:

209]] 3 , v 6 = 36 nhưng khai triển này có chu kỳ 30.

Định nghĩa 2.38 Một dãy {di } là f-tuần hoàn theo chu kỳ k từ i = m nếu

d i+k = f d i với mọi i ≥ m

Chúng ta ký hiệu w i = p2i − Eq2i với i ≥ −1 và w−1 = 1

Định lý 2.39 Giả sử [[ √

E]] N tuần hoàn theo chu kỳ k Thì {wi } là(−N)k-tuầnhoàn theo chu kỳ k Nếu N là nhỏ có chu kỳ bắt đầu bằng i = −1, trong khi nếu

N lớn có chu kỳ bắt đầu với i = 1

Chứng minh Theo Bổ đề 2.35, định lý này tương đương với khẳng định rằng

{v i } là (−N)k-tuần hoàn theo chu kỳ k bắt đầu với i = 0 nếu N là nhỏ và i = 2

nếu N là lớn

Giả sử N là nhỏ Theo Định lý 2.36, uk = DNk vàvk = Nk, trong khi u 0 = D

vàv 0 = 1 Với i ≥ 1, xk+1 = x i theo tính tuần hoàn của [[ √

E]] N, mà theo Hệ quả2.26, bắt đầu với a 1, tức là,

nên vk+i = Nkv i và suy ra uk+i = Nku i

Nếu N là lớn, lập luận tương tự, lại sử dụng tính tuần hoàn của [[ √

E]] N,trong trường hợp này, theo Hệ quả 2.27, bắt đầu bằng a 2

Hệ quả 2.40 NếuC i = p i /q i là hội tụ thứicủa một khai triển cf N, thìgcd(p i , q i )

là ước của Ni với mọi i ≥ 0

Chứng minh Kết quả này được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.3

Bổ đề 2.41 Cho N ≤ 2D và giả sử N và 2D nguyên tố cùng nhau Đặt E =

D2+N và xét√E = [[D, 2D]]N Thì với mọi i ≥ 0, gcd(pi , q i ) = 1, vàw i = (−N)i+1.Chứng minh Bằng quy nạp đơn giản, bắt đầu với q 0 = 1, ta có q i ≡ 1( mod N)

với mọi i ≥ 0, suy ra gcd(p i , q i ) = 1 theo Hệ quả 2.40 Khẳng định thứ hai suy rangay từ Định lý 2.39

Bổ đề 2.41 chứng tỏ rằng p i và q i có thể là nguyên tố cùng nhau Dưới đây

là một số ví dụ về chặn trên đối với gcd(p i , q i ) như trong Hệ quả 2.40

Định nghĩa 2.43 Cho ep i và eq i là các số nguyên dương được xác định bởi

C i = p i /q i = pei / qei trong đó ep i / qei là phân số tối giản

Một cách tương tự ta định nghĩa {wei } bởi ew i = ep2i − Eeqi2 Trong trường hợpe

w i = 1 chúng ta có nghiệm của phương trình Pell

Bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng minh bổ đề sau đây:

Bổ đề 2.44 Với j ≥ 1 bất kỳ, cho D = 3j − 1, a = 4j − 1, E = D2 + a = 9j2− 2j

và N = 2a = 8j − 2 Khi đó

[[ √ E]] N = [[D, 4D + 1, 8D + 4, 4D + 2]] N