Vì vậy, chúng tôi đã chọn đề tài "Một số ứng dụng của liên phân số" nhằm tìm hiểu những ứng dụng của liên phân số vào một số bài toán số học vớinhững ví dụ đơn giản có thể áp dụng cho họ
Liên phân số hữu hạn
Định nghĩa 1.1.1 Một biểu thức có dạng a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1
.+ 1 a n−1 + 1 a n với a 0 , a 1 , a 2 , , a n ∈ R trong đó a 1 , a 2 , , a n > 0 được gọi là một liên phân số hữu hạn và ký hiệu là
Trong trường hợp khi a 0 , a 1 , a 2 , , a n ∈ Z thì ta gọi [a 0 ;a 1 , a 2 , , a n ] là một liên phân số đơn hữu hạn.
Định lý 1.1.2 cho biết rằng, một số thực α là số hữu tỉ nếu và chỉ nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số đơn hữu hạn Tính chất này giúp nhận diện rõ ràng đặc trưng của các số hữu tỉ thông qua liên phân số, góp phần nâng cao hiểu biết về đặc điểm của tập hợp các số hữu tỉ trong toán học Theo đó, liên phân số đơn hữu hạn đóng vai trò quan trọng trong việc xác định và biểu diễn các số hữu tỉ một cách chính xác và rõ ràng.
Chứng minh Giả sử α = a b là số hữu tỉ (với a, b ∈ Z, b > 0) Khi đó bằng thuật toán Euclid ta có biểu diễn a = bq 0 + r 1 , b = r 1 q 1 + r 2 , r 1 = r 2 q 2 + r3, , r n−2 = r n−1 q n−1 +rn, r n−1 = rnqn+0, trong đóq0 ∈ Z, q1, , qn ∈ N ∗ và q n > 1 Từ đó a b = q 0 + r 1 b = q 0 + 1 q 1 + r 2 r1
Liên phân số đơn hữu hạn có dạng suy ra a b = [q0; q1, q2, , qn], phản ánh rằng nếu α = [q0; q1, q2, , qn], thì đó là một số hữu tỉ Định nghĩa 1.1.3 cho biết, khi α = [a0; a1, a2, , an] là một liên phân số hữu hạn, các giản phân thứ i của α được định nghĩa là liên phân số c_i = [a0; a1, a2, , ai], với 0 ≤ i ≤ n Ngoài ra, Định nghĩa 1.1.4 trình bày quy tắc truy hồi để xác định các giá trị P0, P1, , Pn và Q0, Q1, , Qn dựa trên các phần tử của liên phân số hữu hạn này, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và đặc điểm của liên phân số trong toán học.
Bổ đề 1.1.5 Nếu α = [a 0 ;a 1 , a 2 , , a n ] là một liên phân số đơn hữu hạn thì
Chứng minh Theo Định nghĩa 1.1.4 ta có Q 0 = 1 ≤ Q 1 Các trường còn lại, khi i ≥ 1 ta có a i ≥1, Q i−1 ≥ 1 nên
Q i+1 = a i+1 Q i + Q i−1 ≥ 1Q i + 1 > Q i Định lý 1.1.6 Choα = [a0;a1, a2, , an] là một liên phân số đơn hữu hạn, khi đó giản phân thứ i là c i = P i
Chứng minh Quy nạp theoi Khii = 0ta cóc 0 = a 0 = Q P 0
1 Giả sử i > 1 và c i = Q P i i Ta nhận thấy rằngc i+1 thu được từc i bằng cách thaya i bởi a i + a 1 i+1.
Do đó vì c i = a i P i−1 +P i−2 a i Q i−1 +Q i−2 nên ta có c i+1 = (a i + a 1 i+1)P i−1 + P i−2
Q i+1 Định lý 1.1.7 Cho α = [a0;a1, a2, , an] là một liên phân số hữu hạn, khi đó
Chứng minh Quy nạp theo m Nếu m = 1, ta có vế trái là
1 a 1 a 0 a 0 a 1 + 1 trong khi vế phải là
Giả sử đẳng thức đúng với m = k Xét m = k+ 1 ta phải chứng minh
Theo giả thiết quy nạp ta có vế phải đẳng thức trên bằng với
Pk ak+1Pk +P k−1 đó chính là ma trận
Điều quan trọng cần chứng minh là Định lý 1.1.8 về liên phân số đơn hữu hạn Theo đó, với α = [a₀; a₁, a₂, , aₙ], các phát biểu quan trọng như sau: Thứ nhất, đối với mọi 1 ≤ i ≤ n, ta có đẳng thức Pᵢ Qᵢ₋₁ - Pᵢ₋₁ Qᵢ = (-1)^{i-1} Thứ hai, với mọi 0 ≤ i ≤ n, cặp số (Pᵢ, Qᵢ) luôn là cặp số nguyên tố cùng nhau, đảm bảo tính nguyên tố cùng nhau của các phần tử trong phép tính này.
Chứng minh ý i) xác nhận rằng nó được suy ra từ Định lý 1.1.7 thông qua việc tính định thức hai vế của phương trình Ý thứ ii) được chứng minh dựa trên đẳng thức (-1)^{i-1} P_{i-1} Q_i - (-1)^{i-1} P_i Q_{i-1} = 1 cho mọi 1 ≤ i ≤ n, trong đó đối với i=0 ta có (P_0, Q_0) = (a_0, 1) Định lý 1.1.9 xét liên phân số đơn hữu hạn α = [a_0; a_1, a_2, , a_n], trong đó các đẳng thức sau được thiết lập: c_i - c_{i-1} = (-1)^{i-1} (đây là các mệnh đề chính liên quan).
QiQ i−2 với 2 ≤ i ≤n. Chứng minh i) Ta có c i −c i−1 = Pi
Định lý 1.1.10 chỉ ra rằng nếu α = [a₀; a₁, a₂, , aₙ] là một liên phân số đơn hữu hạn, thì các hệ số c₀, c₂, c₄, , c₅, c₃, c₁ thỏa mãn thứ tự c₀ < c₂ < c₄ < < c₅ < c₃ < c₁, đồng thời với điều kiện Qᵢ ≥ i cho mọi 0 ≤ i ≤ n Định nghĩa 1.1.11 mô tả dãy Fibonacci (Fₙ) theo quy tắc F₀ = 0, F₁ = 1 và Fₙ₊₁ = Fₙ + Fₙ₋₁ cho n ≥ 1, là dãy số nổi bật trong toán học Định lý 1.1.12 khẳng định rằng nếu α = [a₀; a₁, a₂, , aₙ] là một liên phân số đơn hữu hạn và (Fₙ) là dãy Fibonacci, thì Qᵢ ≥ Fᵢ₊₁ với mọi 0 ≤ i ≤ n, cung cấp một mối liên hệ quan trọng giữa phân số liên phân và dãy Fibonacci trong lý thuyết số.
Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo i Với i = 0, ta có Q0 = 1 ≥ 1 F 1 Với i = 1, ta có Q 1 = a 1 ≥ 1 = F 2 Giả sử k ≥ 1 và mệnh đề đúng với các trường hợp i ≤ k Từ đó ta có
Q k+1 = a k+1 Q k +Q k−1 ≥ F k+1 +F k = F k+2 (vì a k+1 ≥ 1 và Q k−1 ≥F k ; Q k ≥ F k+1 theo giả thiết quy nạp).
Liên phân số vô hạn
Bổ đề 1.2.1 Cho dãy số nguyên a 0 , a 1 , a 2 , trong đó a 1 , a 2 , > 0 Với mỗi i ≥0 ta đặt c i = [a 0 ;a 1 , a 2 , , a i ] Khi đó tồn tại giới hạn lim i→∞c i
Từ đó có cơ sở để ta có định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.2.2 Một biểu thức có dạng a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + .
(trong đóa 0 , a 1 , a 2 , ∈ R vớia 1 , a 2 , > 0) được ký hiệu là [a 0 ;a 1 , a 2 , ], nó được gọi là một liên phân số vô hạn.
Trong luận văn này, ta chủ yếu tập trung vào liên phân số đơn vô hạn, là dạng liên phân số vô hạn đặc biệt với các phần số nguyên thuộc Z Tất cả các phát biểu từ Định nghĩa 1.1.3 đến Bổ đề 1.2.1 đều đúng khi áp dụng cho liên phân số đơn vô hạn, cho thấy tính chất rộng và nhất quán của loại liên phân số này Định nghĩa 1.2.4 giới thiệu phần nguyên của một số thực x là bxc = max{n ∈ Z | n ≤ x} và phần thập phân frac(x) = x − bxc, trong đó 0 ≤ frac(x) < 1, giúp phân tích rõ hơn đặc điểm số thực trong liên phân số Đặc biệt, Định lý 1.2.5 kết luận rằng mọi số vô tỉ α đều có thể biểu diễn thành liên phân số đơn vô hạn, và ngược lại, bất kỳ liên phân số đơn vô hạn nào đều biểu diễn được một số vô tỉ, khẳng định mối liên hệ chặt chẽ giữa số vô tỉ và liên phân số đơn vô hạn.
Chứng minh rằng số α ∈ R−Q có thể được biểu diễn dưới dạng tiếp tục phân số vô hạn Bắt đầu với α₀ = α, ta định nghĩa dãy số aᵢ = floor(αᵢ) và αᵢ₊₁ = 1 / frac(αᵢ) cho i ≥ 0, trong đó frac(αᵢ) là phần thập phân của αᵢ Như vậy, các số a₀, a₁, a₂, đều là các số nguyên Tiếp theo, ta chứng minh bằng quy nạp rằng tất cả các αᵢ đều thuộc tập R−Q Cụ thể, với i = 0, α₀ là số vô tỉ Giả sử rằng α_k ∈ R−Q, thì frac(α_k) cũng thuộc R−Q, và từ đó α_{k+1} = 1 / frac(α_k) vẫn thuộc tập R−Q, hoàn thành bước quy nạp.
Từ đó ta thấy rằng ai < αi < ai + 1 ⇔ 0 < f rac(αi) < 1 với mọi i ≥ 0.
Suy ra α i+1 = 1 f rac(αi) > 1, và a i+1 = bα i+1 c ≥ 1 Vậy a 0 , a 1 , a 2 , ∈ Z trong đó a 1 , a 2 , >0 Bây giờ ta có α i+1 = 1 f rac(α i ) ⇔f rac(α i ) = 1 α i+1 ⇔ α i = a i + 1 α i+1 với mọi i ≥0 Do đó ta viết được α = α 0 = a 0 + 1 α1
Nói cách khác α = [a0;a1, a2, , ai, αi+1] = α i+1 P i + P i−1 α i+1 Q i + Q i−1 với mọi i > 0.
(lưu ý rằng i >0 và có i ≤ Q i theo định lý 1.1.10) Suy ra lim i→∞(α−c i ) = 0. Vậy α = lim i→∞α = lim i→∞c i = [a 0 ;a 1 , a 2 , ].
Ta chứng minh phần đảo Choα = [a 0 ;a 1 , a 2 , ] là một liên phân số đơn vô hạn Theo định lý 1.1.10, ta có c2n < α < c2n+1, do đó 0 < α −c2n < c 2n+1 −c 2n Mặt khác c 2n+1 −c 2n = 1
Q 2n+1 Q 2n (theo định lý 1.1.9) Do đó
Q 2n+1 Giả sử α là số hữu tỉ, tức là α = a b, (trong đó a, b ∈ Z, b > 0) Khi đó 0 < a bQ 2n − P 2n 2n+ 1 nên tồn tại n để
Nếu Q_{2n+1} > b, tức là tồn tại n sao cho 0 < aQ_{2n} − bP_{2n} < 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng aQ_{2n} − bP_{2n} là số nguyên với mọi n Do đó, giả thiết ban đầu là sai, kết luận rằng α là số vô tỉ.
Chú ý 1.2.6 cho thấy rằng mỗi số vô tỷ đều có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số đơn vô hạn Điều này khẳng định tính duy nhất của cách biểu diễn các số vô tỷ trong lý thuyết số học Việc hiểu rõ đặc điểm này giúp nâng cao kiến thức về cấu trúc của các số vô tỷ và các phương pháp tiếp cận trong toán học.
Ví dụ 1.2.7 Hãy biểu diễn α = √
11 thành liên phân số đơn vô hạn?
Ta sẽ tiến hành theo chứng minh của Định lý 1.2.5.
Bằng quy nạp ta suy ra được αi = √
5 + 2, với mọi i ≥ 1 Do đó ai = 4, với mọi i ≥1 Vậy α = √
Suy ra α 4 = α 2 , α 5 = α 1 , α 6 = α 2 Từ đó bằng quy nạp ta có
Kí hiệu: Từ nay về sau ta kí hiệu
2 thành liên phân số đơn vô hạn?
−r − = r + = α 1 ; a 2 = bα 2 c= br + c = 1, ã ã ã suy ra α i = r + , với mọi i ≥1 do đó a i = br + c = 1, với mọi i ≥ 1. Vậy α = −r − = [0; 1,1,ã ã ã] = [0; 1].
Bổ đề 1.2.9 Cho (F k ) là dãy Fibonacci Với mỗi k ≥ 0 ta đặt P k = F k ,
(vì F k+1 = F k +F k−1 ) Suy ra lim k→∞c k là số vô tỉ có dạng khai triển liên phân số α = [0; 1,1,ã ã ã] Mặt khỏc theo Vớ dụ 1.2.8 thỡ α = [0; 1,1, ] = [0; 1] √5−1
Giải phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn
Chú ý 1.3.1 Trước hết ta nhắc lại vài kiến thức về phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn.
(i) Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng
Ax ≡B (mod M) (1) trong đó A6≡ 0 (mod M).(ii) Phương trình (1) có nghiệm nếu và chỉ nếu d = (A, M) là ước của B;hơn nữa khi phương trình (1) có nghiệm thì nó có d nghiệm.
(iii) Khi phương trình (1) thỏa mãn điều kiện có nghiệm, đặt A = da, B db, M = dm thì (a, m) = 1 và phương trình (1) trở thành ax ≡ b (mod m) (2) trong đó a 6≡0 (mod m).
Trong bài viết này, chúng ta xét phương trình (2) với điều kiện (a, m) = 1 và giả thiết 1 < a < m, đảm bảo m và a là tối giản Bằng cách khai triển phân số m/a thành liên phân số đơn hữu hạn [a0; a1, a2, , an], ta tập trung vào hai phân số cuối cùng theo Định lý 1.1.8, kết quả là PnQn−1 − Pn−1Qn = (−1)^{n−1} Vì m = Pn và a = Qn, ta suy ra rằng aPn−1 ≡ (−1)^n (mod m), từ đó chứng minh rằng nghiệm duy nhất của phương trình là x ≡ (−1)^n Pn−1 b (mod m).
(v) Khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x ≡ x 0 (mod m) thì d nghiệm của phương trình (1) là các lớp x ≡ x 0 , x 0 +m, x 0 + 2m, , x 0 + (d−1)m (mod M).
Ví dụ 1.3.2 Phương trình50x ≡25 (mod 180)vô nghiệm vì(50,180) = 10 không là ước của 25.
Ví dụ 1.3.3 Giải phương trình 50x ≡20 (mod 180). Phương trình 50x ≡ 20 (mod 180) có nghiệm vì (50,180) = 10 là ước của
20 Bây giờ ta xét phương trình 5x ≡ 2 (mod 18) Do (5,18) = 1 nên nó có nghiệm duy nhất Ta có 18
5 = [3; 1,1,2] Vì thế n = 3, ta có P 2 = 7 nên phương trình 5x ≡ 2 (mod 18) có nghiệm duy nhất là x ≡ (−1) 3 7.2 (mod 18) hay x ≡ 4 (mod 18) Từ đó phương trình ban đầu có 10 nghiệm, đó là các lớp: x ≡ 4,22,40,58,76,94,112,130,148,166 (mod 180).
Giải phương trình nghiệm nguyên bậc nhất hai ẩn
Nhận xét 1.4.1 Phương trình nghiệm nguyên bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng
Phương trình Ax + By = C (1’), trong đó A, B, C là các số nguyên, chỉ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi d = (A, B) là ước của C Khi phương trình thỏa mãn điều kiện này, ta đặt A = da, B = db, C = dc để chuyển sang dạng đơn giản hơn, trong đó (a, b) = 1 Phương trình ban đầu sau đó được viết lại dưới dạng ax + by = c (2’), giúp xác định rõ điều kiện tồn tại nghiệm nguyên của phương trình.
Nếu (x0, y0) là một nghiệm của (2’) thì tập hợp nghiệm của (2’) là
{(x, y)|x = x 0 +bt, y = y 0 −at, t∈ Z}, và đây cũng là tập hợp nghiệm của phương trình (1’) Như vậy, việc giải phương trình (1’) quy về việc tìm một nghiệm (x0, y0) của (2’).
Chúng ta xem xét phương trình (2’) dưới điều kiện (a, b) = 1, với giả thiết không mất tính tổng quát là b > 0 Do (a, b) = 1, nên a và b là số tối giản, và chúng ta khai triển a/b thành phân số liên tiện Giả sử a/b = [a0; a1, a2, , an], theo Định lý 1.1.6, ta có thể viết a/b dưới dạng phân số xác định Pn, giúp phân tích rõ hơn cấu trúc của các số hữu tỷ này.
Trong bài viết, phương trình liên quan đến giản phân cuối và tính chất của nó được trình bày một cách rõ ràng, cho thấy rằng với các biến a = Pₙ và b = Qₙ, ta xác định nghiệm của phương trình dựa trên định lý 1.1.8, từ đó đưa ra các công thức xác định nghiệm x₀ và y₀ Cụ thể, kết quả cho biết rằng một nghiệm của phương trình (2') là x₀ = (−1)ⁿ⁻¹ c Qₙ⁻¹ và y₀ = (−1)ⁿ c Pₙ⁻¹, giúp hiểu rõ hơn về các tính chất của giản phân cuối trong lý thuyết số.
Ví dụ 1.4.2 Phương trình 6x+ 4y = 5 vô nghiệm vì (6,4) = 2 không là ước của 5.
Ví dụ 1.4.3 Giải phương trình −43x + 13y = 24 Ta thấy phương trình này có nghiệm vì (−43,13) = 1 là ước của 24.
13 = [−4; 1,2,4] Vì thế n= 3, ta có P 2 = −10, Q 2 = 3 nên một nghiệm (x0, y0) của phương trình đã cho là x 0 = (−1) 2 24.3 y 0 = (−1) 3 24.(−10) hay x 0 = 72 y 0 = 240.
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.4.4 Giải phương trình 258x−176y = 112 Phương trình này có nghiệm vì (258,−176) = 2 là ước của 112 Chia hai vế của phương trình cho (−2) ta được −129x+ 88y = −56.
88 = [−2; 1,1,6,1,5] Vì thế n = 5, ta có P4 = −22, Q 4 = 15 nên một nghiệm (x 0 , y 0 ) của phương trình −129x+ 88y = −56 là x0 = (−1) 4 (−56).15 y 0 = (−1) 5 (−56).(−22) hay x0 = −840 y 0 = −1232.
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình ban đầu là
Ứng dụng liên phân số giải phương trình Pell
Trong phần này, việc sử dụng biểu diễn liên phân số giúp xác định tất cả các nghiệm của phương trình Pell x² − dy² = 1 và phương trình liên quan x² − dy² = −1, với d là số nguyên dương không phải là số chính phương Đây là phương pháp hiệu quả để tìm các nghiệm nguyên của các phương trình cơ bản trong lý thuyết số Áp dụng biểu diễn liên phân số, ta có thể khai thác các đặc điểm của phần nguyên liên phân số để xác định tất cả các nghiệm của phương trình Pell và các phương trình đồng dạng liên quan Phương pháp này giúp mở rộng hiểu biết về cấu trúc các nghiệm nguyên trong các phương trình bất đẳng thức này, đồng thời góp phần vào việc nghiên cứu các ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực như lý thuyết số và mật mã.
Các phương trình có nghiệm (x₀, y₀) thì các cặp (-x₀, y₀), (x₀, -y₀), (-x₀, -y₀) cũng là nghiệm, do đó chỉ cần xem xét các nghiệm nguyên dương Định lý 1.5.2 nêu rõ rằng khi d là số nguyên dương không chính phương, độ dài chu kỳ của biểu diễn liên phân số đơn tuần hoàn của √d quyết định tính nghiệm của các phương trình x² - dy² = ±1 Cụ thể, nếu t chẵn, phương trình x² - dy² = -1 vô nghiệm, còn x² - dy² = 1 có nghiệm dạng (x = P_it−1, y = Q_it−1) với i = 1,2,3, ; nếu t lẻ, phương trình x² - dy² = -1 có nghiệm dạng (x= P_(2i−1)t−1, y= Q_(2i−1)t−1), còn x² - dy² = 1 có dạng (x= P_2it−1, y= Q_2it−1) Định lý 1.5.3 cho biết rằng nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình x² - dy² = 1 là (x₁, y₁), và mọi nghiệm khác có thể biểu diễn dưới dạng (x₁ + y₁√d)^k, với k là số nguyên dương nhằm mở rộng tập nghiệm.
Ví dụ 1.5.4 Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: i) x 2 −11y 2 = −1, ii) x 2 −11y 2 = 1. Giải Theo Ví dụ 1.2.7 ta có √
11 = [3; 3,6] nên t= 2. i) Vì độ dài chu kì của biểu diễn liên phân số đơn vô hạn tuần hoàn của √
11 là số chẵn nên phương trình x 2 −11y 2 = −1 vô nghiệm. ii) Ta có P1 = 10, Q1 = 3 nên (10,3) là nghiệm nguyên dương bé nhất của phương trình x 2 −11y 2 = 1, các nghiệm nguyên dương còn lại có dạng
Các nghiệm cần tìm là (10,3),(199,60),(3970,1197)
Ví dụ 1.5.5 Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: i) x 2 −5y 2 = −1, ii) x 2 −5y 2 = 1. Giải Theo Ví dụ 1.2.7, ta có √
5 = [2; 4] nên t = 1 là số lẻ Ta có j 0 1 2 3 4 5 a j 2 4 4 4 4 4
Q j 1 4 17 72 305 1292 i) Phương trình x 2 −5y 2 = −1 có nghiệm dạng: x = P (2i−1)t−1 y = Q (2i−1)t−1 với i = 1,2,3, Các nghiệm cần tìm là (2,1),(38,17),(682,305) ii) Phương trình x 2 −5y 2 = 1 có nghiệm dạng: x = P 2it−1 y = Q 2it−1 với i = 1,2,3, Các nghiệm cần tìm là (9,4),(161,72),(2889,1292)
Ví dụ 1.5.6 Giải phương trình Điôphăng x 2 −7y 2 = 1. Giải Ta có √
7 = [2; 1,1,1,4] nên t = 4 là số chẵn Ta có P 3 = 8, Q 3 = 3 nên (8,3) là nghiệm nguyên dương bé nhất của phương trình x 2 −7y 2 = 1, các nghiệm nguyên dương còn lại có dạng
Các nghiệm nguyên dương là (8,3),(127,48),(2024,765) Với x = 0 thì −7y 2 = 1 không tồn tại y.
Với y = 0 thì x 2 = 1 khi đó x = ±1. Vậy phương trình x 2 −7y 2 = 1 có các nghiệm nguyên là:
Xấp xỉ tốt nhất một số vô tỉ và góc nhìn hình học
Chương này tập trung vào cách xấp xỉ các số vô tỉ bằng các số hữu tỉ thông qua các giản phân của liên phân số, trình bày về khái niệm xấp xỉ tốt nhất loại một và loại hai Xấp xỉ tốt nhất loại một ra đời trước nhằm đánh giá sự sai khác giữa số vô tỉ α và phân số p/q, nhưng gặp phải một số hạn chế như không duy nhất và khó liên hệ với liên phân số Do đó, khái niệm xấp xỉ tốt nhất loại hai ra đời dựa trên việc đánh giá sai số |qα − p|, với ưu điểm minh họa hình học rõ ràng hơn Phần đầu của chương (Mục 2.1) nghiên cứu về hai loại xấp xỉ này dưới góc độ đại số, đồng thời xem xét các tính chất của số hữu tỉ đủ gần một số vô tỉ và khả năng tìm ra các xấp xỉ tốt hơn trong các trường hợp đặc biệt Phần tiếp theo (Mục 2.2) mô tả việc minh họa xấp xỉ số vô tỉ bằng các số hữu tỉ qua khoảng cách từ các điểm nguyên (q, p) đến một đường thẳng có độ nghiêng là α, cho thấy p/q là xấp xỉ tốt nhất của α khi điểm nguyên (q, p) là điểm gần nhất trên đường thẳng trong một miền giới hạn.
Xấp xỉ tốt nhất đối với số vô tỉ
Các số vô tỉ không thể biểu diễn dưới dạng a/b với a, b thuộc tập hợp số nguyên và b > 0 Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp xấp xỉ các số vô tỉ bằng các số hữu tỉ a/b để hiểu rõ hơn về tính chất của chúng Việc nắm vững cách xấp xỉ này không những giúp nâng cao kiến thức về số vô tỉ mà còn hỗ trợ trong các bài toán toán học phức tạp.
Các xấp xỉ tốt nhất trong toán học chính là các giản phân của các liên phân số đơn vô hạn Những xấp xỉ này giúp xác định chính xác hơn giá trị của số ban đầu được khai triển dưới dạng liên phân số Sử dụng các giản phân này tối ưu hóa việc xấp xỉ các số thực phức tạp, từ đó nâng cao độ chính xác trong các tính toán và phân tích toán học.
Bổ đề 2.1.1 Cho số vô tỉ α ∈ R−Q có khai triển thành liên phân số đơn vô hạn là α = [a 0 ;a 1 , a 2 , ], và các giản phân c k = P k
Q k , và cho số m ∈ Z. Khi đó α 0 = α+ m cũng là số vô tỉ có khai triển thành liên phân số đơn vô hạn dạng α 0 = [a 0 0 ;a 0 1 , a 0 2 , ], với các giản phân c 0 k = P k 0
Q 0 k thỏa mãn các điều kiện sau. i) a 0 0 = a 0 +m và với mọi k ∈ Z + ta có (a 0 k = a k và α 0 k = α k ) ii) với ∀k ∈ N ta có (Q 0 k = Q k và P k 0 = P k +mQ k ) iii) với ∀k ∈ N ta có c 0 k = ck +m.
(lưu ý, ở Chương 1 đã kí hiệu α = α 0 ;a i = bα i c và α i+1 = 1 f rac(αi)).
Chứng minh bằng phép quy nạp cho thấy rằng, với k = 0, ta có α₀₀ = α₀ = α + m, do đó a₀₀ = a₀ + m Khi k = 1, từ định nghĩa và tính chất của phân số, ta nhận thấy α₀₁ = α₁, dẫn tới a₀₁ = a₁ Giả sử cho k ∈ Z+, đã có α₀k = αk và a₀k = ak, thì theo định nghĩa quy nạp, α₀k+1 = αk+1 và từ đó a₀k+1 = ak+1 Phương pháp quy nạp được áp dụng đồng thời để chứng minh các đẳng thức cho cả các phần tử Pₖ và Qₖ: với k = 0, Q₀₀ = 1 = Q₀ và P₀₀ = a₀₀ = a₀ + m = P₀ + m = P₀ + mQ₀; với k = 1, ta có Q₀₁ = a₀₁ a₁ = Q₁ và P₁₀ = a₀₀ a₀₁ + 1 = (a₀ + m)a₁ + 1 = a₀a₁ + ma₁ + 1 = P₁ + mQ₁.
Do đó mệnh đề đúng với k = 0 và k = 1 Giả sử mệnh đề đúng với k = t−1 và k = t (với t ≥ 1), ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với k = t+ 1.
Ta có Q 0 t+1 = a 0 t+1 Q 0 t + Q 0 t−1 = a t+1 Q t + Q t−1 = Q t+1 (theo giả thiết quy nạp) và P t+1 0 = a 0 t+1 P t 0 +P t−1 0 = a t+1 (P t +mQ t ) +P t−1 +mQ t−1 = a t+1 P t +
P t−1 +m(a t+1 Q t + Q t−1 ) = P t+1 + mQ t+1 (theo giả thiết quy nạp) Từ đó ta suy ra ii) là đúng theo phương pháp quy nạp. iii) Từ ii) với mọi k ∈ N ta có c 0 k = P k 0
+m = c k +m. Định nghĩa 2.1.2 Cho α ∈ R−Q, và p, q ∈ Z với q > 0 Khi đó i) Phân số p q được gọi là một xấp xỉ tốt nhất loại một của α nếu
∀a, b ∈ Z : 1≤ b ≤q ⇒(|α − p q| ≤ |α− a b|) ii) Phân số p q được gọi là một xấp xỉ tốt nhất loại hai của α nếu
Trước kia, người ta quan tâm đến xấp xỉ tốt nhất loại một vì nó mang tính tự nhiên Tuy nhiên, việc sử dụng định nghĩa xấp xỉ loại một có thể dẫn đến nhiều kết quả cùng là xấp xỉ tốt nhất của số vô tỉ α, gây phức tạp hơn trong mối liên hệ với các liên phân số Do đó, sau này, người ta tập trung vào xấp xỉ tốt nhất loại hai để đảm bảo tính rõ ràng và chính xác hơn trong các kết quả xấp xỉ.
Bổ đề 2.1.4 Nếu p q là một xấp xỉ tốt nhất loại hai của α, thì p q cũng là một xấp xỉ tốt nhất loại một của α.
Chứng minh Vì p q là một xấp xỉ tốt nhất loại hai của α nên ∀a, b ∈ Z thỏa mãn 1 ≤ b ≤ q thì |qα−p| ≤ |bα −a| Ta có 0 < 1
Từ đó nhân vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức α− p q
Chứng tỏ p q là một xấp xỉ tốt nhất loại một của α. Định lý 2.1.5 Cho số vô tỉ α ∈ R −Q, và cho P i
(với i = 0,1,2,ã ã ã) là các giản phân của khai triển liên phân số đơn vô hạn của α Nếu a, b ∈ Z và 1≤ b < Qi+1 thì |Q i α−Pi| ≤ |bα−a|.
Chứng minh Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa hàm dấu của số thực θ như sau sign(θ) +1 nếu θ ≥ 0
−1 nếu θ 0, dẫn đến x > 0 Ngược lại, nếu y > 0, ta có b < Qi+1, từ đó Qi x = b − Qi+1 y < 0, nên x < 0 Điều này chứng tỏ rằng trong cả hai trường hợp, ký hiệu của y luôn ngược với ký hiệu của x, hay còn gọi là sign(y) = −sign(x) Theo Định lý 1.1.10, ta khẳng định rằng α nằm giữa các điểm P i.
Vậy cả hai trường hợp ta đều có sign(Q i α−P i ) =−sign(Q i+1 α−P i+1 ) Kết hợp với sign(y) = −sign(x) ta được sign(x(Qiα −Pi)) =sign(y(Qi+1α−Pi+1)).
≥ |Q i α−P i |. Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.1.6 Cho số vô tỉ α ∈ R−Q, và cho Pi
Q i (với i = 1,2,ã ã ã) là cỏc giản phân trong khai triển liên phân số đơn vô hạn của α Nếu a, b ∈ Z sao cho 1 ≤b ≤ Q i , thì
Chứng minh Với i ≥ 1, theo Bổ đề 1.1.5, ta có Q i+1 > Q i , từ đó b < Q i+1 nên 1 ≤b < Q i+1 vì thế áp dụng Định lý 2.1.5 ta có
= |bα−a| điều này trái với (*) Vậy giả sử sai Hệ quả được chứng minh.
Nhận xét 2.1.7 Ta thấy mệnh đề trên sai với i = 0 Ví dụ sau sẽ cho ta thấy điều đó.
8, theo Ví dụ 1.2.7 ta có √
P 0 = a 0 = 2;Q 0 = 1 Nếu i = 0 thì 1 ≤b ≤ Q 0 = 1 nên b = 1 Chọn a = 3, khi đó: α − P 0
≈ 0,2, như vậy khi i = 0 thì mệnh đề trên không còn đúng nữa. Định lý 2.1.9 Cho số vô tỉ α Nếu i ≥ 1 thì ci = P i
Q i là một xấp xỉ tốt nhất loại hai của α.
Chứng minh Vì i ≥ 1 nên ta thấy (1 ≤ b≤ Qi ⇒0 < b < Qi+1), do đó các giả thiết của Định lý 2.1.5 được thỏa mãn.
Từ chứng minh của Định lý 2.1.5 ta thấy rằng|Q i α−P i | < |bα −a|đúng với x 6= 0 và y 6= 0 Nếu x = 0 thì mâu thuẫn với 0 < b < Q i+1 , do vậy chỉ còn xét trường hợp y = 0 và x 6= 0 Khi đó |bα−a| = |x| |Q i α−Pi|.
Trong bài viết, khi |x| = 1, ta có |bα − a| = |Q_i α − P_i|, điều này chỉ đúng khi a = P_i và b = Q_i Đặc biệt, từ phương trình (Q_i α − P_i) = (bα − a), ta suy ra (Q_i − b)α = P_i − a, dẫn đến mâu thuẫn với α ∉ Q trừ khi Q_i = b và P_i = a Tương tự, từ phương trình (Q_i α − P_i) = −(bα − a), ta có (Q_i + b)α = P_i + a, cũng mâu thuẫn với α ∉ Q trừ khi −Q_i = b và −P_i = a, gây mâu thuẫn vì b ≥ 1.
Vậy theo Định nghĩa 2.1.2 thì với i ≥ 1ta có c i = P i
Q i là một xấp xỉ tốt nhất loại hai của α Định lý được chứng minh.
Bổ đề 2.1.10 Cho số vô tỉ α và i ≥1 Nếu c i = Pi
Q i là một xấp xỉ tốt nhất loại hai của α thì c 0 i = P i +mQ i
Q i = c i + m là một xấp xỉ tốt nhất loại hai của α 0 = α +m (với số nguyên m nào đó) Nói cách khác, ∀a 0 , b 0 ∈ Z:
Chứng minh Vì c i là một xấp xỉ tốt nhất loại hai của α, nên theo Định lý 2.1.9 ta có ∀a, b ∈ Z :
Từ Bổ đề 2.1.1 ta có mối quan hệ Q i = Q 0 i , P i = P i 0 −mQ i = P i 0 −mQ 0 i và α = α 0 −m; và ta đặt a = a 0 −b 0 m;b= b 0 Bây giờ ta thay thế Qi, Pi, α, a, b vào biểu diễn (1) Khi đó ta được
Q 0 i = ci +m là một xấp xỉ tốt nhất loại hai của α 0 Bổ đề được chứng minh.
Từ bổ đề trên ta thấy ngay hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.11 Khi xem xét tính xấp xỉ tốt nhất loại hai của số vô tỉ α, chúng ta có thể giả sử rằng α ∈ (0,1).
Chứng minh Ta chỉ cần chọn m = −bαc Khi đó α 0 = α+ m ∈ (0,1).
Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn về mối liên hệ giữa các số hữu tỉ và vô tỉ, đặc biệt là các số hữu tỉ gần vô tỉ α Định lý quan trọng cho thấy rằng mỗi khi một số hữu tỉ tiến gần vô tỉ α, thì số hữu tỉ đó phải xuất hiện trong khai triển liên phân số đơn vô hạn của α Cụ thể, Định lý 2.1.12 xác định rằng nếu α là số vô tỉ và tồn tại số hữu tỉ a/b với b > 0 sao cho hiệu α − a/b nhỏ hơn một giá trị nhất định, thì a/b chính là một phân số trong khai triển liên phân số của α, phản ánh tính chất gần gũi giữa các số đó.
< 1 2b 2 thì a b bằng một trong những giản phân của khai triển liên phân số đơn vô hạn của α.
Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta coi (a, b) = 1 Cho số vô tỉ α, và lấy c i = P i
Trong khai triển liên phân số đơn vô hạn của α, các giản phân của nó được đánh số theo chỉ số i = 0, 1, 2, , và giả sử phản chứng rằng không có một giản phân nào của khai triển này phù hợp với phân số b Lưu ý rằng theo Bổ đề 1.1.5, ta luôn có Qi < Qi+1 với mọi i ≥ 1, chứng tỏ thứ tự của các giản phân này luôn tăng trưởng qua từng bước Do đó, tồn tại một giá trị k₀ để đảm bảo tính hợp lý của chứng minh phản chứng liên quan đến dãy các giản phân trong khai triển Liên phân số đơn vô hạn của α.
Q k ≤ b < Q k+1 Theo Định lý 2.1.5, ta có |Q k α−P k | ≤ |bα−a| Ta có
2bQ k Lưu ý rằng theo điều giả sử của ta thì a b 6= P k
Q k và bP k −aQ k là số nguyên nên ta thấy rằng 1 bQ k ≤ bP k −aQ k bQ k
2b 2 , vì vậy b < Qk, điều này trái với Qk ≤ b < Qk+1 ở trên.
Vậy điều giả sử sai, nên định lý được chứng minh.
Chúng ta sẽ phân tích xem các phân số trung gian trong khai triển liên phân số đơn vô hạn tiến gần đến số vô tỉ α như thế nào Định lý 2.1.13 cho rằng, với số vô tỉ α và các phần tử ci = P i, chúng ta có thể xác định mức độ hội tụ của chuỗi phân số này đến α, giúp hiểu rõ hơn về cách các phân số vô hạn phân kỳ hoặc hội tụ gần đúng tới số vô tỉ đó trong quá trình khai triển.
Q i (với i = 0,1,2,ã ã ã ,) là cỏc giản phân của khai triển liên phân số đơn vô hạn của α Khi đó α − P i
Q 2 i Chứng minh Đầu tiên ta xét trường hợp i = 0 Ta có P 0 = a 0 , Q 0 = 1, nên
Q 2 0 Chứng tỏ mệnh đề đúng với i = 0 Giả sử i chẵn và i > 0 Theo Định lý
Giả sử i lẻ và i > 0 Theo Định lý 1.1.10, ta có P i+1
(theo Định lý 1.1.9), suy ra α − P i
Q i+1 Q i ; mặt khác theo Bổ đề 1.1.5, ta có Qi < Qi+1 với mọii ≥1, nên α− P i
Định lý 2.1.14 cho biết rằng nếu α là số vô tỷ, thì trong bất kỳ hai giản phân liên tiếp của khai triển liên phân số đơn vô hạn của α, ít nhất sẽ có một phần tử, chẳng hạn là P_i Điều này chứng tỏ tính chất đặc trưng của khai triển liên phân số vô hạn đối với các số vô tỷ Việc hiểu rõ đặc điểm này giúp nâng cao kiến thức về phân số liên phân số và các tính chất của số vô tỷ trong toán học.
Q i , và từ chứng minh của Định lý 2.1.5 ta có một trong hai trường hợp sau: P i
Q i Trong cả hai trường hợp ta đều có sgn(Q i+1
Lưu ý rằng 2ab < a 2 + b 2 khi a, b ∈ R, a 6= b, và a = 1
Q i+1 (với i ≥1) Do đó ta có
2Q 2 i Nói cách khác, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau
2Q 2 i phải đúng, đó là điều cần chứng minh. Để nghiên cứu về xấp xỉ tiếp theo của α, ta cần một kết quả kĩ thuật như bổ đề sau.
Chứng minh Vì x > 0, nên ta có x+ 1 x < √
5x+ 1 < 0, điều này được thỏa mãn khi
2 là các nghiệm của đa thức x 2 −√
Định lý 2.1.16 là một trong những mục đích chính để minh họa hình học về việc lấy xấp xỉ số vô tỉ Theo định lý này, nếu α là số vô tỉ, thì trong bất kỳ ba giản phân liên tiếp của khai triển liên phân số đơn vô hạn của α sẽ có ít nhất một giản phân phù hợp Điều này nhấn mạnh vai trò của các giản phân liên tiếp trong việc hiểu và xấp xỉ số vô tỉ một cách chính xác hơn.
Chứng minh Với mỗi j ta đặt k j = Q j
Q j−1 Trước hết ta chỉ ra rằng nếu (2) là sai đối với cả p q = P j−1
√5Q 2 j ), thì ta có bất đẳng thức k j + 1 k j < √
Nếu ở trong tình huống này, ta có
Hơn nữa, theo chứng minh của Định lý 2.1.14, ta có
5 ≥k j + 1 k j Mà ta biết rằng k j + 1 k j ∈ Q nên phải có √
Giả sử (2) là sai cho các p q = P i
Q i với i = n − 1, n, n + 1 Khi đó (3) đúng cho cả j = n và j = n+ 1 Từ Bổ đề 2.1.15, ta có 1 k n >
2 Mặt khác, từ hệ thức truy hồi trong Định nghĩa 1.1.4, ta có k n+1 = Q n+1
Giả sử giả thuyết ban đầu là sai, điều này dẫn đến việc chứng minh định lý 2.1.17 Theo đó, nếu α là số vô tỉ, thì tồn tại vô hạn các số hữu tỉ khác nhau (a/b, với a, b ∈ Z và b ≠ 0) thỏa mãn tính chất đặc biệt của nó Điều này khẳng định rằng số vô tỉ có thể được gần như vô hạn bởi các số hữu tỉ, góp phần làm rõ mối quan hệ giữa số vô tỉ và số hữu tỉ trong lĩnh vực số học.
Dựa trên Định lý 2.1.16, bất kỳ ba phân số liên tiếp trong khai triển liên phân số đơn vô hạn của α đều có ít nhất một phân số thỏa mãn điều kiện (4) Khi chọn phân số hữu tỉ a/b phù hợp, số a/b này đáp ứng đầy đủ các tiêu chí của định lý Do tính chất của khai triển liên phân số, chúng ta có thể lựa chọn vô hạn bộ ba phân số liên tiếp, từ đó có thể xác định vô hạn số hữu tỉ a/b thỏa mãn điều kiện của định lý Các phân số này là phân biệt, nhờ vào tính chất phân số trong khai triển liên phân số đơn vô hạn của α, qua đó chứng minh tính đa dạng của các phân số hữu tỉ thoả mãn tiêu chuẩn của định lý.
(P i , Q i ) = 1 và (i > j ⇒ Q i > Q j ), nên suy ra rằng (i 6= j ⇒ Pi
Q j ) với mọi i, j ≥ 1 Do đó định lý được chứng minh.
Chứng minh định lý sau đây được tham khảo từ [6, Định lý 194]. Định lý 2.1.18 Hằng số √
5 trong Định lý 2.1.16 và 2.1.17 là tốt nhất có thể Nói cách khác, các định lý này (Định lý 2.1.16 và 2.1.17) sẽ không đúng nếu thay √
5 bằng bất kì giá trị nào lớn hơn.
Chứng minh Ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu A > √
Aq 2 chỉ có hữu hạn nghiệm hữu tỷ p q, trong đó α là giá trị đặc biệt α √5−1
2 Giả sử trái lại rằng có vô hạn p, q nguyên dương sao cho α = p q + δ q 2 , |δ| < 1
Trong bài toán, vế trái là số có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 khi q ≠ 0, còn vế phải luôn là số nguyên Vì vậy, chỉ có thể xảy ra phương trình p² + pq − q² = 0 hoặc dạng biến đổi (2p + q)² = 5q², tuy nhiên điều này rõ ràng không thể xảy ra khi p và q thuộc tập số rationals (Q).
Ta sẽ thiết lập một bổ đề về tính xấp xỉ bởi các giản phân, do đó ta cần thêm một vài kết quả chuẩn bị.
Bổ đề 2.1.19 xác định rằng với các số Q₁, Q₂, Q₃, , Qₙ được xây dựng theo định nghĩa 1.1.4 và dãy Fibonacci (Fₖ) theo định nghĩa 1.1.11, ta có các phát biểu sau: Nếu cố định j ≥ 1, đặt Qⱼ = Qⱼ, Qⱼ+1 = Qⱼ + 0, và Qⱼ+k = Qⱼ+k−1 + Qⱼ+k−2 với mọi k ≥ 2, thì (i) với mọi k trong N, ta có Qⱼ+k = Fₖ+1 · Qⱼ; (ii) với mọi k trong Z⁺, Qⱼ+k > Qⱼ+k.
Chứng minh i) Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo k Ta có Q j = Q j = F 1 Q j (do F 1 = 1) nên mệnh đề đúng với k = 0 Ta có
Q j+1 = Q j = Q j = F 2 Q j (do F 2 = 1) nên mệnh đề đúng với k = 1 Bây giờ ta giả sử mệnh đề đúng với k = p−1 và k = p Khi đó với k = p+ 1 ta có
Q j+p+1 = Q j+p +Q j+p−1 = Fp+1Qj +FpQj = (Fp+1 +Fp)Qj = Fp+2Qj.
Liên phân số dưới góc độ hình học
Từ đầu cho đến nay ta đã nghiên cứu liên phân số dưới góc độ đại số.
Để hiểu sâu hơn về liên phân số, ta sẽ xem xét nó một cách trực quan hình học Trước tiên, cần trình bày các định nghĩa và định lý quan trọng giúp tìm xấp xỉ tốt nhất loại hai cho một số vô tỉ α Định nghĩa 2.2.1 xác định các điểm trong mặt phẳng và véc tơ, biểu thị bằng các chữ như A, B, C ∈ R² với các quy ước cụ thể: O = (0,0) là gốc; đoạn thẳng P Q được định nghĩa là tập hợp các điểm trên đoạn nối P và Q; độ dài của đoạn thẳng P Q kí hiệu là |P Q|, và độ dài của véc tơ từ gốc đến điểm A = (q, p) là ||A|| = |OP| Nếu q ≠ 0, thì độ nghiêng của điểm A được xác định bằng argA = p/q.
Kí hiệu Trong cả mục này ta sẽ giả sử rằng α ∈ R −Q, và theo Hệ quả 2.1.11, ta có thể giả sử thêm rằng α ∈ (0,1) Hơn nữa, đặt Z = (1, α) và
L = {(q, αq) | q ∈ R} là đường thẳng với độ nghiêng α, và α = [a 0 ;a 1 , a 2 , a 3 , ] có các giản phân là c k = P k
Chú ý rằng vì α ∈ (0,1) nên a 0 = 0 Với k ∈ N∪ {−1} ta đặt C k là điểm xác đinh bởi Ck = (Qk, Pk) ∈ R 2 và đặt C−1 = (0,1) Khi đó ta kí hiệu độ nghiêng của C k là argC k = c k với k ∈ N và
= a i+1 C i +C i−1 với mọi i ∈ Z + Lưu ý rằng kí hiệu trên vẫn bảo đảm khi i = 0, vì ta vẫn có
Trong mặt phẳng \(\mathbb{R}^2\), tập hợp các điểm được sinh ra bởi hai điểm \(P\) và \(Q\) tạo thành một lưới bao gồm tất cả các điểm dạng \(mP + nQ\) với mọi \(m, n \in \mathbb{Z}\) Một (P, Q)-nón dương đỉnh \(U\) bao gồm tất cả các điểm dạng \(U + aP + bQ\) với mọi \(a, b \in \mathbb{Z}^+\) Khi đường thẳng \(L\) trong mặt phẳng không chứa điểm \(P\), khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(L\) theo hướng \(P\) là độ dài của đoạn thẳng nối \(A\) với điểm duy nhất \(A + aP \in L\), ký hiệu là \(d_P(A, L)\).
P ⊥ L thì ta có khoảng cách trực giao d(A, L) = d P (A, L) (xem Hình 2.1).
Hình 2.1. Định lý 2.2.3 Cho A, A 0 , P ∈ R 2 , với P /∈ L Khi đó tỉ số d P (A, L) d P (A 0 , L) không phụ thuộc vào hướng của P.
Chứng minh Lấy θ là góc giữa đoạn thẳng nối điểm A đến điểm A+aP và đoạn thẳng nối điểm A đến hình chiếu vuông góc của nó lên L (Hình 2.2).
Trong đó, góc θ bằng góc giữa đoạn thẳng nối điểm A₀ đến điểm A₀ + a₀P và đoạn thẳng nối điểm A₀ đến hình chiếu vuông góc của nó lên đường thẳng L Do đó, khoảng cách từ điểm P đến đường L, d_P(A, L), bằng tích của khoảng cách từ A đến L, d(A, L), và cosθ, tức là d_P(A, L) = d(A, L) cosθ Tương tự, khoảng cách từ A₀ đến L, d_P(A₀, L), cũng bằng d(A₀, L) nhân cosθ Kết quả này cho thấy rằng, tích các khoảng cách này có liên hệ chặt chẽ và có thể biểu diễn thông qua hệ số cosθ.
= d(A, L) d(A 0 , L) là số độc lập với θ, hay tỉ số d P (A, L) d P (A 0 , L) không phụ thuộc vào hướng của P Vậy định lý được chứng minh.
Theo định lý trong mục 2.2.4, ta có thể tự do chọn hướng để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, giúp tối ưu hóa quá trình tính toán và đảm bảo độ chính xác cao Việc lựa chọn hướng phù hợp là yếu tố quan trọng, nhằm nâng cao hiệu quả của phép đo khoảng cách trong các bài toán hình học Điều này chứng tỏ sự linh hoạt trong phương pháp tính và mở rộng khả năng ứng dụng của định lý trong các tình huống thực tế.
Khi đó, chúng ta có thể xác định điểm nào gần đường thẳng L hơn so với một số hữu hạn các điểm còn lại, giúp cải thiện độ chính xác trong việc xác định vị trí Hình học xấp xỉ tốt nhất loại hai cho số vô tỉ α minh họa rõ ràng cách tiếp cận này, góp phần nâng cao hiệu quả trong các ứng dụng toán học và kỹ thuật.
Đường thẳng L có độ nghiêng α, được mô tả bằng tập hợp các điểm (q, αq) với q thuộc R Xấp xỉ tốt nhất của α trong lớp hai của các số nguyên là cặp (p, q) sao cho |qα - p| nhỏ hơn so với mọi cặp (p₀, q₀) có q₀ lớn hơn mặt định và nằm trong Z², tức là |qα - p| < |q₀α - p₀| Về mặt hình học, điều này có nghĩa là trong tất cả các điểm (q₀, p₀) của lưới nguyên Z² với hoành độ 1 ≤ q₀ ≤ q, thì điểm (q, p) là điểm gần nhất tới đường thẳng L theo hướng dọc (0,1) Khoảng cách từ (q₀, p₀) đến đường thẳng L theo hướng (0,1) được tính bằng |q₀α - p₀|; lý do là tồn tại θ trong khoảng (0,1) để điểm P = (q₀, θp₀) nằm trên đường thẳng L, từ đó ta có mối liên hệ θp₀ = αq₀, thể hiện rõ mối liên hệ tỷ lệ giữa các kết quả trong phép suy luận hình học này.
(0,1) bằng khoảng cách từ (q 0 , p 0 ) đến điểm P, tức là nó bằng |p 0 −θp 0 | |p 0 −p 0 q 0 α p 0 | = |p 0 −αq 0 | = |αq 0 −p 0 |) Vì thế người ta còn gọi (q, p) là điểm xấp xỉ tốt nhất loại hai của L (Hình 2.3).
Ta cũng thấy rằng miền xét những điểm (q 0 , p 0 ) như trên là các điểm nằm ngoài nón (q, p) + (Z + )A+ (Z + )B. Định nghĩa 2.2.5 Ta xét quá trình xây dựng được minh họa ở Hình 2.4:
Cho một số vô tỉ α, cùng với hai điểm nguyên A và B, mục đích của chúng ta là xây dựng điểm C ngoài của A và B, ký hiệu là C = C(A, B;α) Quá trình này nhằm xác định điểm C nằm ngoài của hai điểm nguyên A và B theo một quy trình xác định dựa trên α, nhằm mở rộng các khái niệm trong hình học vô tỉ Việc xây dựng điểm C này giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các điểm nguyên và các số vô tỉ trong không gian hình học, góp phần làm rõ các khái niệm về điểm ngoài trong lý thuyết hình học vô tỉ.
Trước khi bắt đầu mô tả quá trình xây dựng điểm ngoài, chúng ta cần bổ sung các đề số quan trọng giúp thực hiện các tính toán kỹ thuật cần thiết liên quan đến điểm ngoài Những đề số này sẽ hỗ trợ xác định chính xác vị trí và các đặc điểm kỹ thuật của điểm ngoài, đảm bảo quy trình xây dựng đạt hiệu quả cao Việc hiểu rõ các tính toán liên quan đến điểm ngoài là yếu tố then chốt để thiết kế hệ thống chính xác, từ đó nâng cao hiệu suất và độ bền của công trình.
Bổ đề 2.2.6 xác định rằng, đối với đường thẳng L có độ nghiêng α (0 < α < 1, α vô tỉ), nếu L cắt hình bình hành OBF A tại gốc O và điểm P (thuộc đoạn BF), đồng thời cắt đường kéo dài của AF tại điểm Q, thì tồn tại một mối liên hệ rõ ràng giữa các điểm này Điều này nhấn mạnh tính chất về sự giao cắt của đường thẳng L với hình bình hành và các đường liên quan trong hệ thống hình học, góp phần vào việc chứng minh các tính chất hình học trong bài toán.
Trong hình bình hành OBF A, giả sử đường thẳng L cắt hình tại điểm P (thuộc đoạn AF) tại gốc O và kéo dài tới điểm Q trên đường BF, là điểm nơi đường L cắt đường kéo dài của BF Với điều kiện 0 < θ < 1, ta có các công thức xác định P = θA + B và Q = A + (1/θ)B, giúp mô tả chính xác vị trí của các điểm trên hình bình hành, góp phần làm rõ mối liên hệ không gian giữa các điểm và các đoạn thẳng trong hình.
Xét tam giác OBP, trong đó góc tại đỉnh O có số đo là β, cho thấy mối liên hệ hình học quan trọng Đồng thời, tam giác ORQ, với điểm R = Q−A, cũng có góc tại đỉnh O bằng β, thể hiện tính đồng dạng giữa các tam giác này Áp dụng định lý về các tam giác đồng dạng, ta có thể chứng minh các quan hệ về độ dài và góc tương ứng, góp phần xác định các đặc điểm hình học của hệ hình đã đề cập.
|BP| kBk = |RQ| kRk ⇔ θkAk kBk = kAk kRk ⇒ kRk = 1 θkBk.
R = kRk kBkB = 1 θB nên Q = A+R = A+ 1 θB. ii) Xét tam giác OAP với góc ở đỉnh O là γ Khi đó tam giác ORQ, với
R = Q−B cũng là tam giác có góc ở đỉnh O là γ.
Theo định lý về các tam giác đồng dạng ta có
|AP| kAk = |RQ| kRk ⇔ θkBk kAk = kBk kRk ⇒ kRk = 1 θkAk.
Trong bài viết, ta trình bày định lý liên quan đến xây dựng điểm ngoài của hai điểm A và B với các giả thiết về các tham số như α và các đường có độ nghiêng α Đặc biệt, đường L = {(q, q^α) | q ∈ R} được sử dụng để xác định điểm ngoài C = C(A, B; α), dựa trên việc cắt hình bình hành OBF A tại các điểm giao nhau Định lý đã được chứng minh dựa trên các phép biến đổi hình học và các tính chất liên quan đến các số vô tỉ trong khoảng (0,1) Quá trình xây dựng này cung cấp nền tảng cho các kết quả quan trọng trong lý thuyết điểm ngoài, giúp hiểu rõ hơn về mô hình hình học phức tạp khi kết hợp các yếu tố vô tỉ và độ nghiêng của đường.
Theo Bổ đề 2.2.6, tồn tại một giá trị 0 < θ < 1 để P = θA + B, đồng thời điểm Q được xác định là Q = A + 1/θ B Điều này cho thấy điểm Q nằm trên cạnh của lưới và nằm giữa hai điểm C = A + b1 θc B và G = B + C Quá trình này kết thúc việc xác định điểm ngoài C = C(A, B;α) của các điểm A và B, như minh họa trong Hình 2.7.
Hình 2.7 minh họa tình huống cắt hình bình hành OBF tại gốc O và điểm P là giao điểm của đường thẳng L với đoạn AF, trong khi Q là giao điểm của L với phần mở rộng của đoạn BF Điểm P có thể biểu diễn dưới dạng P = θB + A với 0 < θ < 1, và dựa vào định lý tam giác đồng dạng, ta có Q = B + (1/θ)A Q nằm trên cạnh lưới và nằm giữa các điểm C = B + b1 θcA và G = A + C, đồng thời kết thúc quá trình xây dựng điểm ngoài C = C(A, B; α) của các điểm A và B Định lý 2.2.8 cho biết rằng, với mọi n thuộc tập hợp các số nguyên không âm, các lưới ZC_{n−1} + ZCn và giữ vai trò quan trọng trong việc phân tích cấu trúc lưới và các mối liên hệ giữa các điểm trong không gian.
ZC n +ZC n+1 là như nhau, tức là với mọi n ∈ Z + ta có
Trong không gian véc tơ R², chúng ta chọn một cơ sở là b = {C_{k−2}, C_{k−1}} để dễ dàng trong việc biểu diễn các véc tơ Ma trận M được xây dựng từ các tọa độ cột của các véc tơ C_{k−1} và C_k trong cơ sở b, cụ thể là M = [[C_{k−1}]_b [C_k]_b] Việc xác định ma trận này giúp chứng minh các tính chất liên quan đến không gian véc tơ, nhờ vào khả năng chuyển đổi phối cảnh trong cơ sở mới.